Wzór na pole trójkąta

Przykład 1

Rysunek przedstawia trójkąt $ABC$ o podstawie $a$ i wysokości $h$ . Odcinek $DE$ dzieli wysokość trójkąta na dwie równe części.
Przemieszczając odpowiednio części trójkąta, zbuduj prostokąt. Określ długości boków tego prostokąta i oblicz jego pole.

R1P5oAlCgN2aS1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D16g8sBbj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Czy pole trójkąta $ABC$ jest większe, czy mniejsze od pola otrzymanego prostokąta? Dlaczego?

Pole trójkąta

Twierdzenie: Pole trójkąta

Pole $P$ trójkąta o wysokości $h$ poprowadzonej do podstawy długości $a$ jest równe $P = \frac{a ∙ h}{2}$ .

RjGJ9VZKtVUeL1

Rysunek trójkąta o wysokości h poprowadzonej do podstawy długości a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Pole trójkąta równoramiennego jest równe $420 c m^{2}$ . Oblicz obwód trójkąta, jeżeli jego podstawa ma długość $40 cm$ .

R1ZZ5Ivo6HKii1

Rysunek trójkąta równoramiennego o wysokości h, ramieniu a i podstawie równej 40 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy wysokość $h$ trójkąta.

420 = \frac{40 \cdot h}{2}

h = 21 cm

Obliczamy długość a boku trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

h^{2} + {(\frac{40}{2})}^{2} = a^{2}

2 1^{2} + 2 0^{2} = a^{2}

441 + 400 = a^{2}

841 = a^{2}

a = \sqrt{841} = 29

a = 29 cm

Obliczamy obwód trójkąta.

L = 2 a + 40

L = 2 \cdot 29 + 40 = 98

L = 98 cm

Obwód trójkąta jest równy $98 cm .$

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są zarazem wysokościami trójkąta. Zatem, aby obliczyć pole trójkąta prostokątnego, wystarczy znać długości jego przyprostokątnych.

Pole trójkąta prostokątnego

Twierdzenie: Pole trójkąta prostokątnego

Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $a$ i $b$ jest równe $P = \frac{a ∙ b}{2}$

R1R9NZDunhBkO1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Oblicz pole trójkąta, w którym miary dwóch kątów są równe $30 °$ i $60 °$ , a najdłuższy bok jest równy $4$ .
W trójkącie, w którym miary dwóch kątów są równe $30 °$ i $60 °$ , trzeci kąt ma miarę $90 °$ .

RNxr8TfJ97YBl1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 2, dwa pierwiastki z trzech i przeciwprostokątnej 4. Bok równy 2 leży naprzeciwko kąta 30 stopni, a bok dwa pierwiastki z trzech naprzeciwko kąta 60 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem jest to trójkąt prostokątny.
Najdłuższy bok to przeciwprostokątna, ma ona długość $4$ . Z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych $30 °$ i $60 °$ wynika, że przyprostokątne tego trójkąta mają długości $2$ i $2 \sqrt{3}$ .
Obliczamy pole trójkąta.

P = \frac{2 \cdot 2 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}

Pole trójkąta jest równe $2 \sqrt{3}$ .

icObTwPj67_d5e213

Pole trójkąta równobocznego

R1f0wRt2NCa0D1

Rysunek trójkąta równobocznego o boku a i wysokości jedna druga pierwiastka z trzech razy a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a jest równa $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ . Wstawiając tę wartość do wzoru na pole trójkąta, otrzymujemy wzór na pole trójkąta równobocznego

P = \frac{ah}{2} = \frac{a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}

Pole trójkąta równobocznego

Twierdzenie: Pole trójkąta równobocznego

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ jest równe $P = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ .

RqOcKTtM8i3f11

Rysunek trójkąta równobocznego o boku a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Pole trójkąta jest równe $P$ . Podstawa trójkąta ma długość równą wysokości poprowadzonej do tej podstawy. Oblicz długość podstawy.

$a = \sqrt{2 P}$

Ćwiczenie 2

Pole trójkąta jest równe $20 c m^{2}$ . Oblicz

wysokość trójkąta, wiedząc, że podstawa do której poprowadzono wysokość, jest równa $4 cm$ .
długość podstawy trójkąta, wiedząc, że wysokość poprowadzona do tej podstawy, jest równa $1 dm$ .

Pole $P$ trójkąta o wysokości $h$ , poprowadzonej do podstawy długości $a$ , wynosi $P = \frac{ah}{2}$ , stąd

$h = \frac{2 P}{a}, h = \frac{40}{4} = 10$ , $h = 10 cm$
$a = \frac{2 P}{h}$ , $a = \frac{40}{10} = 4$ , $a = 4 cm$

Ćwiczenie 3

Wysokość $CD$ trójkąta $ABC$ dzieli podstawę $AB$ w stosunku $1 : 3$ . Wykaż, że pola trójkątów $ADC$ oraz $DBC$ pozostają również w stosunku $1 : 3$ .

pole P trójkąta $ABC$ o wysokości $h$ , poprowadzonej do podstawy długości $a$ , wynosi $P = \frac{ah}{2}$
pole $P_{1}$ trójkąta $ADC$ wynosi $P_{1} = \frac{\frac{a}{4}}{2} h = \frac{1}{4} P$
pole $P_{2}$ trójkąta $DBC$ wynosi

P_{2} = \frac{\frac{a}{4}}{2} h = \frac{3}{4} P

P = P_{1} + P_{2}

Stąd

P_{1} : P_{2} = 1 : 3

Ćwiczenie 4

Wysokość $CD$ trójkąta $ABC$ ma długość $8$ i dzieli podstawę $AB$ w stosunku $1 : 3$ . Pole trójkąta jest równe $32$ . Oblicz pole trójkąta $ADC$ oraz pole trójkąta $DBC$ .

Pola trójkątów $ADC$ oraz $DBC$ są w stosunku $1 : 3$ , ich suma wynosi $32$ , zatem jeden z nich ma pole równe $8$ , a drugi $24$ .

Ćwiczenie 5

Wysokość $CD$ trójkąta $ABC$ dzieli podstawę $AB$ w stosunku $1 : 3$ . Oblicz iloraz pól trójkątów $ADC$ oraz $DBC$ .

$\frac{1}{3}$

Ćwiczenie 6

Skonstruuj trójkąt o bokach $| AC | = 14, | BC | = 20$ oraz wysokości $CD$ równej $12$ . Oblicz pole wyznaczonego trójkąta. Przeanalizuj jednoznaczność rozwiązania.

$P = 6 (12 + 2 \sqrt{13}$ )

Ćwiczenie 7

Oblicz pole trójkąta $ABC$ .

RBhhAz6ga8rI31

Rysunek trójkąta prostokątnego równoramiennego A B C o przeciwprostokątnej c oraz przyprostokątnych a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole $P$ trójkąta o wysokości $h$ , poprowadzonej do podstawy długości $a$ , obliczane według wzoru

P = \frac{ah}{2}

Ćwiczenie 8

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $9,5 cm$ i $12 cm$ .

$57 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 9

Oblicz pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o przeciwprostokątnej długości

$6 \sqrt{2}$
$0,5 \sqrt{2}$
$1$
$\frac{2}{5}$

Wskazówka. Pole $P$ trójkąta prostokątnego, równoramiennego o przeciwprostokątnej $c$ oraz przyprostokątnych $a$ wynosi

P = \frac{a^{2}}{2}

z twierdzenia Pitagorasa

c^{2} = 2 a^{2}

więc

P = \frac{\frac{c^{2}}{2}}{2} = \frac{c^{2}}{4} .

$18$
$\frac{1}{8}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{25}$

Ćwiczenie 10

Zmień położenie wierzchołków trójkąta $ABC$ tak, aby otrzymać trójkąt prostokątny. Oblicz pole tego trójkąta, przyjmując, że długość jednej kratki jest równa $1$ .

RWjOyqYrNdosi1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D16g8sBbj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

icObTwPj67_d5e542

Ćwiczenie 11

Pole trójkąta prostokątnego jest równe $12$ . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej, wiedząc, że

pierwsza przyprostokątna ma długość $4$
pierwsza przyprostokątna jest równa drugiej
pierwsza przyprostokątna jest dwukrotnie dłuższa od drugiej
pierwsza przyprostokątna jest trzykrotnie krótsza od drugiej

Pole $P$ trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$ oraz $b$ wynosi $P = \frac{ab}{2}$ .

$12 = \frac{4 b}{2}, b = 6$
$12 = \frac{b^{2}}{2}, b = 2 \sqrt{6}$
$12 = \frac{2 b^{2}}{2}, b = 2 \sqrt{3}$
$12 = \frac{\frac{b^{2}}{3}}{2}, b =$ 6 $\sqrt{2}$

Ćwiczenie 12

Oblicz obwód $L$ trójkąta prostokątnego wiedząc, że

jego pole jest równe $6$ , a jedna z przyprostokątnych ma długość $4$
jego pole jest równe $30$ , a jedna z przyprostokątnych ma długość $12$
jego przyprostokątne są równe, a pole wynosi $2 4,5$ .

Wskazówka. Pole $P$ trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$ oraz $b$ wynosi $P = \frac{ab}{2}$ . Przeciwprostokątna $c$ z twierdzenia Pitagorasa wynosi

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

L = a + b + c

$6 = \frac{4 a}{2}, a = 3, c = 5, L = 4 + 3 + 5 = 12$
$30 = \frac{12 a}{2}, a = 5, c = 13, L = 12 + 5 + 13 = 30$
$24,5 = \frac{a^{2}}{2}, a = 7, b = 7, c = 7 \sqrt{2}, L = 7 + 7 + 7 \sqrt{2} = 14 + 7 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 13

Udowodnij, że pole trójkąta rozwartokątnego jest różnicą pól dwóch trójkątów prostokątnych.

Wskazówka: Jeśli w trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest rozwarty, a $BD$ jest wysokością trójkąta $ABC$ opuszczoną z wierzchołka $B$ , to pole trójkąta $ABC$ jest różnicą pola trójkąta $ABD$ i pola trójkąta $BCD$ .

Ćwiczenie 14

Oblicz pole $P$ trójkąta równoramiennego, którego podstawa ma długość $80$ , a ramię $41$ .

Pole $P$ trójkąta o wysokości $h$ , poprowadzonej do podstawy długości $a$ , jest równe

P = \frac{ah}{2} .

W trójkącie równoramiennym o ramieniu $41$ i podstawie $a = 80$ wysokość opuszczona na tę podstawę wynosi, z twierdzenia Pitagorasa

h = \sqrt{41^{2} - 40^{2}} = 9 .

Zatem

P = 360 .

Ćwiczenie 15

Ramiona trójkąta równoramiennego mają długość $10$ , a jego podstawa ma długość $16$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Pole $P$ trójkąta o wysokości $h$ poprowadzonej do podstawy długości $c$ , jest równe

P = \frac{ch}{2} .

W trójkącie równoramiennym o ramieniu $a = 10$ i podstawie $c = 16$ wysokość opuszczona na tę podstawę wynosi, z twierdzenia Pitagorasa

h = \sqrt{a^{2} - ({\frac{c}{2})}^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6 .

Zatem

P = 48 .

Ćwiczenie 16

Oblicz obwód $L$ trójkąta równoramiennego, którego pole jest równe $660$ , a podstawa ma długość $120$ .

Pole $P$ trójkąta o wysokości $h$ , poprowadzonej do podstawy długości $c$ , wynosi

P = \frac{ch}{2}

W trójkącie równoramiennym o ramieniu $a$ i podstawie $c$ wysokość opuszczoną na tę podstawę obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

h = \sqrt{a^{2} - ({\frac{c}{2})}^{2}}

a^{2} = h^{2} + ({\frac{c}{2})}^{2}

Stąd

660 = \frac{120 h}{2}

h = 11

oraz

a^{2} = 121 + 3600 = 3721

a = 61

Zatem

L = 61 + 61 + 120 = 242

classicmobile

Ćwiczenie 17

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $\sqrt{2} dm$ wynosi

R1MitZcua1V0r

$2 {dm}^{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} {dm}^{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} dm$

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wynosi: $P = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ , zatem

P = \frac{\sqrt{3}}{4} {(\sqrt{2})}^{2} .

P = \frac{\sqrt{3}}{2} d m^{2}

static

Ćwiczenie 17

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $\sqrt{2} dm$ wynosi

RXQgxZ41h161A

$2 {dm}^{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} {dm}^{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} dm$

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wynosi: $P = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ , zatem

P = \frac{\sqrt{3}}{4} {(\sqrt{2})}^{2} .

P = \frac{\sqrt{3}}{2} d m^{2}

classicmobile

Ćwiczenie 18

Pole $P$ trójkąta równobocznego o wysokości $9 \sqrt{3} cm$ wynosi

R15uD2k0StT5c

$100 {cm}^{2}$
$80 \sqrt{3} {cm}^{2}$
$81 \sqrt{3} {cm}^{2}$

Pole trójkąta równobocznego o boku długości a wynosi $P = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$
Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości $a$ jest równa $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , a więc 9 $\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ , stąd

a = 18

P = 81 \sqrt{3} {cm}^{2}

P = 81 \sqrt{3} {cm}^{2}

static

Ćwiczenie 18

Pole $P$ trójkąta równobocznego o wysokości $9 \sqrt{3} cm$ wynosi

R9yuJj2Zo7v5R

$100 {cm}^{2}$
$80 \sqrt{3} {cm}^{2}$
$81 \sqrt{3} {cm}^{2}$

a = 18

P = 81 \sqrt{3} {cm}^{2}

P = 81 \sqrt{3} {cm}^{2}

classicmobile

Ćwiczenie 19

Pole trójkąta równobocznego o obwodzie $12 mm$ wynosi

R1Zs9ivlG9Wka

$4 \sqrt{3} {mm}^{2}$
$\sqrt{3} {mm}^{2}$
$12 \sqrt{3} {mm}^{2}$

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wynosi $P = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ , ponieważ $a = \frac{12}{3} = 4$ , to

P = 4 \sqrt{3} {mm}^{2}

static

Ćwiczenie 19

Pole trójkąta równobocznego o obwodzie $12 mm$ wynosi

RReEiOFJkYf9Y

$4 \sqrt{3} {mm}^{2}$
$\sqrt{3} {mm}^{2}$
$12 \sqrt{3} {mm}^{2}$

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wynosi $P = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ , ponieważ $a = \frac{12}{3} = 4$ , to

P = 4 \sqrt{3} {mm}^{2}

Ćwiczenie 20

Oblicz wysokość $h$ trójkąta równobocznego, którego pole $P$ jest równe liczbie ze zbioru $\{\sqrt{3}$ , $2 \sqrt{3}$ , $15 \sqrt{3}, 16 \sqrt{3}\} .$
Pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wynosi: $P = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ , stąd $a = \sqrt{\frac{4 P \sqrt{3}}{3}}$ .

Wysokość $h$ trójkąta równobocznego o boku długości $a$ jest równa $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ .

Ćwiczenie 21

Oblicz obwód $L$ trójkąta równobocznego, którego pole $P$ jest równe liczbie ze zbioru $\{\sqrt{3}$ , $2 \sqrt{3}$ , $15 \sqrt{3}, 16 \sqrt{3}\} .$ Pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wynosi $P = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ , stąd $a = \sqrt{\frac{4 P \sqrt{3}}{3}}$ .

Obwód $L$ trójkąta równobocznego o boku długości $a$ jest równy $3 a$ .

classicmobile

Ćwiczenie 22

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1cx5UPKj2hcF

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $\sqrt{3}$ wyraża się liczbą naturalną.
Pole trójkąta równobocznego zawsze wyraża się liczbą niewymierną.
Jeśli pole trójkąta równobocznego wyraża się liczbą niewymierną, to również obwód tego trójkąta wyraża się liczbą niewymierną.

Fałsz, ponieważ $P = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$
Fałsz, ponieważ jeśli bok trójkąta ma długość $2 \sqrt[4]{3}$ , to jego pole jest $3$ .
Fałsz, ponieważ jeśli bok trójkąta ma długość $2$ , to jego pole wynosi $\sqrt{3,}$ a obwód $6$ .

static

Ćwiczenie 22

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RQtqTX6HcvMy2

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $\sqrt{3}$ wyraża się liczbą naturalną.
Pole trójkąta równobocznego zawsze wyraża się liczbą niewymierną.
Jeśli pole trójkąta równobocznego wyraża się liczbą niewymierną, to również obwód tego trójkąta wyraża się liczbą niewymierną.

Fałsz, ponieważ $P = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$
Fałsz, ponieważ jeśli bok trójkąta ma długość $2 \sqrt[4]{3}$ , to jego pole jest $3$ .
Fałsz, ponieważ jeśli bok trójkąta ma długość $2$ , to jego pole wynosi $\sqrt{3,}$ a obwód $6$ .

Pole figury. Jednostki pola

Pole równoległoboku

Pole trójkąta

Wzór na pole trójkąta

Pole trójkąta równobocznego