Przeanalizuj działanie symulacji interaktywnej. Za każdym razem określ dziedzinę, zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności funkcji po przekształceniu. Następnie samodzielnie wykonaj poniższe polecenie.
RZPbV0ZDhFmu1
Na symulacji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu, oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, którego położenie zmienia się w zależności od zmiany ustawień wartości parametrów p i q. Poniżej można wybrać przekształcenie funkcji f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu. Przykład 1. Gdy p, równa się, trzy, oraz q, równa się, dwa początek funkcji znajduje się w zamalowanym punkcie nawias, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Linia zakrzywia się, oraz zmierza w dół, przecinając oś X w punkcie x, równa się, siedem. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu względem osi Y. Funkcja zmierza od minus nieskończoności, zakrzywia się i kończy w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, minus, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Miejscem zerowym funkcji jest punkt x, równa się, siedem. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu względem osi X. Funkcja zaczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, trzy, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, zakrzywia się i zmierza do plus nieskończoności, przecinając oś X w punkcie x, równa się, siedem. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji minus, f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu f nawias, x, zamknięcie nawiasu względem początku układu współrzędnych. Malejąca funkcja zmierza od minus nieskończoności, zakrzywia się i kończy się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinając oś X w punkcie x, równa się, minus, siedem. Przykład 2. Gdy p, równa się, zero, oraz q, równa się, minus, dwa początek funkcji znajduje się w zamalowanym punkcie nawias, zero, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu. Linia zakrzywia się, oraz zmierza w nieskończoność. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu względem osi Y. Funkcja zmierza od minus nieskończoności, zakrzywia się w górę i kończy w zamalowanym punkcie o nawias, zero, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu względem osi X. Funkcja zaczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, zakrzywia się i zmierza do plus nieskończoności. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji minus, f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu f nawias, x, zamknięcie nawiasu względem początku układu współrzędnych. Malejąca funkcja zmierza od minus nieskończoności, zakrzywia się i kończy się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. >. Przykład 3. Gdyp, równa się, minus, cztery, oraz q, równa się, minus, jeden początek funkcji znajduje się w zamalowanym punkcie nawias, minus, cztery, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji jest malejący, zakrzywia się, oraz zmierza w plus nieskończoność. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu względem osi Y. Funkcja jest rosnąca, wykres zmierza od minus nieskończoności, zakrzywia się w górę i kończy w zamalowanym punkcie o współrzędnychnawias, cztery, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu względem osi X. Funkcja jest rosnąca, zaczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnychnawias, minus, cztery, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, zakrzywia się i zmierza do plus nieskończoności. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji minus, f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu f nawias, x, zamknięcie nawiasu względem początku układu współrzędnych. Malejąca funkcja zmierza od minus nieskończoności, zakrzywia się i kończy się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, cztery, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu.
Na symulacji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu, oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, którego położenie zmienia się w zależności od zmiany ustawień wartości parametrów p i q. Poniżej można wybrać przekształcenie funkcji f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu. Przykład 1. Gdy p, równa się, trzy, oraz q, równa się, dwa początek funkcji znajduje się w zamalowanym punkcie nawias, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Linia zakrzywia się, oraz zmierza w dół, przecinając oś X w punkcie x, równa się, siedem. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu względem osi Y. Funkcja zmierza od minus nieskończoności, zakrzywia się i kończy w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, minus, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Miejscem zerowym funkcji jest punkt x, równa się, siedem. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu względem osi X. Funkcja zaczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, trzy, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, zakrzywia się i zmierza do plus nieskończoności, przecinając oś X w punkcie x, równa się, siedem. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji minus, f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu f nawias, x, zamknięcie nawiasu względem początku układu współrzędnych. Malejąca funkcja zmierza od minus nieskończoności, zakrzywia się i kończy się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinając oś X w punkcie x, równa się, minus, siedem. Przykład 2. Gdy p, równa się, zero, oraz q, równa się, minus, dwa początek funkcji znajduje się w zamalowanym punkcie nawias, zero, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu. Linia zakrzywia się, oraz zmierza w nieskończoność. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu względem osi Y. Funkcja zmierza od minus nieskończoności, zakrzywia się w górę i kończy w zamalowanym punkcie o nawias, zero, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu względem osi X. Funkcja zaczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, zakrzywia się i zmierza do plus nieskończoności. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji minus, f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu f nawias, x, zamknięcie nawiasu względem początku układu współrzędnych. Malejąca funkcja zmierza od minus nieskończoności, zakrzywia się i kończy się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. >. Przykład 3. Gdyp, równa się, minus, cztery, oraz q, równa się, minus, jeden początek funkcji znajduje się w zamalowanym punkcie nawias, minus, cztery, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji jest malejący, zakrzywia się, oraz zmierza w plus nieskończoność. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu względem osi Y. Funkcja jest rosnąca, wykres zmierza od minus nieskończoności, zakrzywia się w górę i kończy w zamalowanym punkcie o współrzędnychnawias, cztery, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu względem osi X. Funkcja jest rosnąca, zaczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnychnawias, minus, cztery, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, zakrzywia się i zmierza do plus nieskończoności. Wybierając przekształcenie wykresu funkcji minus, f nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu otrzymujemy odbicie lustrzane wykresu f nawias, x, zamknięcie nawiasu względem początku układu współrzędnych. Malejąca funkcja zmierza od minus nieskończoności, zakrzywia się i kończy się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, cztery, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem .
Rsr2iVdNcT5G1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus dwóch do ośmiu, oraz z pionową osią od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący łamaną. Łamana składa się z połączonych ze sobą dwóch półprostych, zbiegających się ze sobą w punkcie o współrzędnych . Pierwsza półprosta skierowana jest w dół, przebiega przez punkt. Druga półprosta skierowana jest w górę i przebiega przez punkt o współrzędnych . Obie półproste zbiegają się w punkcie o współrzędnych .
Niech .
a) Wyznacz wzór funkcji .
b) Naszkicuj wykres funkcji .
c) Określ przedziały monotoniczności funkcji .
a) Funkcja wyraża się wzorem:
.
b) Wykres funkcji przedstawia się następująco:
RJIooiyBzUnAQ
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy będące łamaną. Łamana niebieska, oznaczona składa się z połączonych ze sobą dwóch półprostych, zbiegających się ze sobą w punkcie o współrzędnych . Pierwsza półprosta jest malejąca i przecina oś x w punkcie równym jeden. Druga półprosta jest rosnąca i przecina oś x w punkcie pięć. Łamana czerwona, oznaczona składa się z połączonych ze sobą dwóch półprostych zbiegających się w punkcie o współrzędnych . Pierwsza półprosta jest rosnąca i przecina oś x w punkcie równym minus pięć. Druga półprosta jest malejąca i przecina oś x w punkcie minus jeden.
