Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z przekształceniami wykresu funkcji $f_{1} (x) = \frac{1}{x}$ , w wyniku których otrzymamy wykres funkcji $f (x) = |\frac{1}{1 - |x|} + 1|$ . Wyznacz dziedzinę funkcji $y = f (x)$ .

RgPJRaAYFuyji

Slajd 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią

Y

od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji

f_{1}

, który stanowi hiperbola. Gałęzie hiperboli leżą w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych a ich wierzchołki znajdują się w punktach

(1; 1)

oraz

(- 1; - 1)

. Dana jest funkcja

f

. Określ wszystkie przekształcenia płaszczyzny, w wyniku których wykres funkcji

f_{1} (x) = \frac{1}{x}

został przekształcony w funkcję

f

RcLojaTHsyfar

Slajd 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią

Y

od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji

f_{2}

oraz linią przerywaną wykres funkcji

f_{1}

. W wyniku przesunięcia funkcji

f_{1}

1

jednostkę w prawo i

1

jednostkę w dół otrzymujemy funkcję

f_{2}

. Wykres funkcji

f_{2}

stanowi hiperbola, której asymptotę poziomą opisuje równanie

y = - 1

, a pionową

x = 1

. Wierzchołki hiperboli stanowią punkty o współrzędnych

(2; 0)

oraz

(0; - 2)

R1B1SqAU6HdPE

Slajd 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią

Y

od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji

f_{3}

oraz linią przerywaną wykres funkcji

f_{2}

. Wykres funkcji

f_{2}

przekształcamy symetrycznie względem osi

X

i otrzymujemy wykres funkcji

f_{3}

. Wykres funkcji

f_{3}

stanowi hiperbola, której asymptotę poziomą opisuje równanie

y = 1

, natomiast pionową

x = 1

. Wierzchołki hiperboli znajdują się w punktach o współrzędnych

(0; 2)

oraz

(2; 0)

RyoXA5g8vo1XH

Slajd 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią

Y

od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji

f_{3}

oraz linią przerywaną wykres funkcji

f_{2}

. Wykres funkcji

f_{4}

otrzymujemy w symetrii osiowej względem osi

Y

wartości funkcji dla dodatnich argumentów - usuwamy część wykresu znajdującą się po lewej stronie osi

Y

i odbijamy symetrycznie prawą stronę wykresu na lewą względem osi

Y

. Wykres funkcji

f_{4}

składa się z trzech części. Część pierwsza stanowi gałąź hiperboli o wierzchołku w punkcie

(- 2; 0)

oraz asymptocie poziomej opisanej równaniem

y = 1

oraz pionowej

x = - 1

. Część druga stanowi krzywą biegnącą niemal pionowo w dół od plus nieskończoności do punktu

(0; 2)

a następnie od punktu

(0; 2)

niemal pionowo w górę do plus nieskończoności. Krzywa wypłaszcza się do asymptot pionowych

x = - 1

oraz

x = 1

. Część trzecia stanowi gałąź hiperboli o wierzchołku w punkcie

(2; 0)

oraz asymptocie poziomej opisanej równaniem

y = 1

oraz pionowej

x = 1

RYhKL4JG9nuXl

Slajd 5. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią

Y

od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f oraz linią przerywaną wykres funkcji

f_{4}

. Ostatecznie wykres funkcji

f

otrzymujemy w symetrii osiowej względem osi

X

ujemnych wartości funkcji

f_{4}

– odbijamy symetrycznie nad oś

X

tę część wykresu, która jest pod osią

X

. Wykres funkcji f składa się z trzech części. Część pierwsza stanowi łuk biegnący nad osią X wzdłuż asymptoty

y = 1

, od minus nieskończoności do punktu

(- 2; 0)

, następnie od punktu

(- 2; 0)

do plus nieskończoności niemal pionowo w górę wzdłuż asymptoty

x = - 1

. Część druga stanowi krzywą biegnącą niemal pionowo w dół od plus nieskończoności, wzdłuż asymptoty

x = - 1

do punktu

(0; 2)

, następnie od punktu

(0; 2)

niemal pionowo w górę, wzdłuż asymptoty

x = 1

do plus nieskończoności. Część trzecia stanowi krzywą biegnącą od plus nieskończoności wzdłuż asymptoty

x = 1

, niemal pionowo w dół do punktu

(2; 0)

a następnie od punktu

(2; 0)

wzdłuż asymptoty

y = 1

do plus nieskończoności.

R10jpqpws6ATT

Polecenie 2

Korzystając z wykresu funkcji $f (x) = |\frac{1}{1 - |x|} + 1|$ , przedstawionego w galerii zdjęć, wyznacz liczbę rozwiązań równania $f (x) = p$ w zależności od parametru $p \in ℝ$ . Naszkicuj wykres funkcji zależności liczby rozwiązań od parametru $p$ .

R1WdRnBRdPzqK

Gdy: $h (p) = \{\begin{cases} 0 & p \in (- \infty, 0) \\ 2 & p \in \{0\} \cup ⟨1, 2) \\ 3 & p = 2 \\ 4 & p \in (0, 1) \cup (2, \infty) \end{cases}$

R14oTrBOtyYsf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią p od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią ha od p od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z kilku elementów. Element pierwszy to pozioma półprosta otwarta biegnąca wzdłuż poziomej osi p od minus nieskończoności do punktu zero zero, który oznaczono niezamalowanym kółkiem. Punkt ten nie należy do półprostej, ogranicza ją tylko prawostronnie. Drugi element to zamalowany punkt zero dwa. Trzeci element wykresu to poziomy odcinek otwarty o długości jeden. Z lewej strony odcinek ogranicza niezamalowany punkt o współrzędnych zero cztery. Z prawej strony odcinek ogranicza niezamalowany punkt o współrzędnych jeden cztery. Czwarty element wykresu to poziomy prawostronnie otwarty odcinek o długości jeden. Lewy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie o współrzędnych jeden dwa. Z prawej strony odcinek ogranicza niezamalowany punkt o współrzędnych dwa dwa. Piąty element to zamalowany punkt o współrzędnych dwa trzy. Szósty element to pozioma półprosta ograniczona lewostronnie niezamalowanym punktem o współrzędnych dwa cztery. Półprosta biegnie na poziomie ha równa się cztery.

Polecenie 3

Rozważmy funkcję $f (x) = \frac{2}{|x - 1|} + 1$ , której wykres widzimy na poniższym rysunku.

RwbFJkzUPzqQQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 5 i pionową osią y od minus 1 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji y=fx. Wykres ma kształt hiperboli, której asymptotami są proste x=1 oraz y=1. Pierwsza cześć pojawia się w drugiej ćwiartce nad poziomą asymptotą, biegnie przez punkt nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce wzdłuż lewej strony pionowej asymptoty. Druga część znajduje się w całości w pierwszej ćwiartce i biegnie wzdłuż prawej strony asymptoty następnie przechodzi przez punkty nawias dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu i nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu nad pionową asymptotą.

Z jakimi funkcjami i w jakiej kolejności należy złożyć funkcję $f_{1} (x) = \frac{2}{x}$ aby otrzymać funkcję $f$ ?

$g (x) = |x|$ , $s (x) = x - 1$ , $t (x) = x + 1$

Rozważmy złożenie $f_{1} \circ g$ . Zauważmy jako ciekawostkę, że w tym przypadku identycznie wygląda wykres funkcji $g \circ f_{1}$

R1a26N8nOKoKp

Następnie chcemy przesunąć wykres otrzymanej funkcji o wektor $[1, 1]$ . Operacja ta odpowiada złożeniu funkcji $t \circ f_{1} \circ g \circ s$ .

Rzeczywiście: $t \circ f_{1} \circ g \circ s (x) =$ $t \circ f_{1} \circ g (x - 1) = t \circ f_{1} (|x - 1|) = t (\frac{2}{|x - 1|}) = \frac{2}{|x - 1|} + 1$ .

Przeczytaj

Sprawdź się