Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją. Znajdziesz w niej powtórzenie wszystkich poznanych do tej pory wzorów ułatwiających obliczenia logarytmiczne.

RhpGp58EAC77p

Film nawiązujący do treści materiału

Polecenie 2

Wykaż, że jeśli $a \in (0, 1), b > 0$ to $\log_{a} (\frac{2 a b}{a + b}) \geq \log_{a} (a b)$ .

Skorzystamy z nierówności między średnią geometryczną a harmoniczną.

$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b}$

Logarytmujemy obie strony powyższej nierówności przy podstawie $a$ . Ponieważ $a \in (0, 1)$ , zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

$\log_{a} (\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}) \geq \log_{a} \sqrt{a b}$

Przekształcamy wyrażenia logarytmowane.

$\log_{a} (\frac{2}{\frac{a}{a b} + \frac{b}{a b}}) \geq \frac{1}{2} \log_{a} (a b)$

$\log_{a} (\frac{2 a b}{a + b}) \geq \frac{1}{2} \log_{a} (a b)$

C. n. d.

Przeczytaj