Kolejność wykonywania działań

Arytmetyka to część matematyki, która dotyczy działań na liczbach. Obliczaliście już wartości prostych wyrażeń arytmetycznych, w których występowało dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie. W bardziej złożonych wyrażeniach występują dwa działania, trzy działania lub jeszcze więcej działań.
Zajmiemy się na razie wyrażeniami, które mają dwa działania. Spójrz na poniższe wyrażenia.

$6 + 4 ∙ 5$
$17 - 4 + 10$
$24 : 8 - 2$
$(6 + 4) ∙ 5$
$17 - (4 + 10)$
$40 : 4 ∙ 5$

Ru9SMFl9Gt7BC1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D18isdYPe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Kolejność wykonywania działań

Reguła: Kolejność wykonywania działań

Działania wykonujemy w następującej kolejności:

najpierw wykonujemy działania w nawiasach,
następnie mnożenie lub dzielenie,
na końcu dodawanie lub odejmowanie.

Przykład 1

Obliczmy wartość wyrażenia, zgodnie z kolejnością wykonywania działań.

$6 + 4 ∙ 5$
Rqj1gcDc4DiSP1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D18isdYPe
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja

6 + 4 ∙ 5 = 6 + 20 = 26

Zapamiętaj!

Ze względu na kolejność wykonywania działań

mnożenie i dzielenie są działaniami równorzędnymi.
dodawanie i odejmowanie są działaniami równorzędnymi.

Wykonywanie działań w określonej kolejności ma duże znaczenie.

Przykład 2

Obliczmy wartość wyrażenia $17 - 4 + 5$ , zgodnie z kolejnością wykonywania działań.

RAPbdui9x9TWd1

Działanie: 17 -4 +5 =13 +5 =18. Liczba 13 to wynik odejmowania liczb 17 i 4. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

R14nzyUedzH1n1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Jeżeli w wyrażeniu występuje nawias, to zgodnie z kolejnością wykonywania działań, w pierwszej kolejności wykonujemy działania w nawiasie. Ale jak postępować, gdy w wyrażeniu są $2$ nawiasy albo w nawiasie są $2$ działania? Rozważmy takie sytuacje w wyrażeniach, w których występują $3$ działania.

$2 ∙ ((20 + 25) : 9)$

W tym wyrażeniu najpierw wykonujemy działanie w tym nawiasie, który nie zawiera w sobie innego nawiasu. Następnie zajmujemy się działaniem w kolejnym nawiasie.

2 ∙ ((20 + 25) : 9) = 2 ∙ (45 : 9) = 2 ∙ 5 = 10

Zwróć uwagę, że zapisując w wyrażeniu więcej niż jeden nawias, tyle samo nawiasów otwieramy, pisząc znak ( i zamykamy, pisząc znak ).

$(13 - 6) ∙ (8 + 3)$

Tutaj możemy równocześnie wykonać działania w obu nawiasach.

(13 - 6) ∙ (8 + 3) = 7 ∙ 11 = 77

$3 ∙ (18 - 12 : 6)$

W nawiasie mamy dwa działania: odejmowanie i dzielenie. Zgodnie z kolejnością ich wykonywania, najpierw wykonujemy dzielenie.

3 ∙ (18 - 12 : 6) = 3 ∙ (18 - 2) = 3 ∙ 16 = 48

Ćwiczenie 2

Oblicz wartość wyrażenia.

$(28 - (36 - 12)) ∙ 3$
$13 ∙ (45 : (9 + 6))$
$(95 - 14) : (27 ∙ 3)$
$(46 + 54) : (12 + 13)$
$(84 - 44 : 11) : 4$
$67 - (39 - 12 + 16)$

$12$
$39$
$1$
$4$
$20$
$24$

Przykład 4

Klaudia miała $22$ plakaty swoich ulubionych zespołów. Od każdej z dwóch przyjaciółek dostała po $5$ nowych plakatów. Ile plakatów ma teraz Klaudia?
Rozwiążmy to zadanie dwoma sposobami.

sposób $I$

Zapisujemy dwa wyrażenia.

2 ∙ 5 = 10

22 + 10 = 32

Odpowiedź: Klaudia ma teraz $32$ plakaty.

sposób $II$

Zapisujemy jedno wyrażenie.

22 + 2 ∙ 5 = 22 + 10 = 32

Odpowiedź: Klaudia ma teraz $32$ plakaty.

Do kolejnych zadań będziemy stosować sposób $II$ , czyli postaramy się układać od razu jedno wyrażenie, które pozwoli odpowiedzieć na postawione pytanie.

classicmobile

Ćwiczenie 3

Piotrek miał $26 zł$ . Kupił $3$ batony po $4 zł$ każdy. Wskaż wyrażenie, które pozwoli ci obliczyć, ile złotych mu zostało.

R8OXpZY65Ic1K

$(26 ∙ 3 - 4) zł$
$((26 - 4) ∙ 3) zł$
$(26 - 3 ∙ 4) zł$
$((26 - 3) ∙ 4) zł$

static

Ćwiczenie 3

Piotrek miał $26 zł$ . Kupił $3$ batony po $4 zł$ każdy. Wskaż wyrażenie, które pozwoli ci obliczyć, ile złotych mu zostało.

Rk1ntmH0Wj2kh

$(26 ∙ 3 - 4) zł$
$((26 - 4) ∙ 3) zł$
$(26 - 3 ∙ 4) zł$
$((26 - 3) ∙ 4) zł$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Trzech synów złożyło się na prezent urodzinowy dla mamy. Dwóch z nich dało po $16 z ł$ , a trzeci $12$ $z ł .$ Za całą kwotę kupili mamie cztery jednakowe kwiaty. Wskaż wyrażenie, które pozwoli ci obliczyć, ile złotych kosztował jeden kwiat.

R186l2lREnOCo

$((2 ∙ 16 + 12) : 4) zł$
$(2 ∙ (16 + 12) : 4) zł$
$((2 ∙ 12 + 16) : 4) zł$
$(2 ∙ 16 + 12 : 4) zł$

static

Ćwiczenie 4

R12qwFsCd0dnK

$((2 ∙ 16 + 12) : 4) zł$
$(2 ∙ (16 + 12) : 4) zł$
$((2 ∙ 12 + 16) : 4) zł$
$(2 ∙ 16 + 12 : 4) zł$

Ćwiczenie 5

Na klasową imprezę tata Staszka kupił $56$ sztuk owoców dwóch rodzajów. Mandarynek kupił o $14$ więcej niż bananów. Ile bananów kupił na tę imprezę tata Staszka?

R6YaKwE9fc9Qf1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D18isdYPe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

$21$ bananów

wyrażenie, np. $(56 - 14) : 2$

Dzielenie z resztą

Trening mistrza – ćwiczenia przed sprawdzianem