Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania

RLnE1f64oe4T11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Metoda podstawiania jest łatwiejsza do stosowania, jeżeli przynajmniej w jednym z równań układu, przed jedną z niewiadomych, znajduje się współczynnik liczbowy $1$ .
Rozwiążemy teraz układ równań, w którym żaden ze współczynników liczbowych występujących przed niewiadomymi nie jest równy $1$ .

\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = 5 \\ 4 x - 2 y = 26 \end{matrix}

R1CUHhPt5Q20t1

Przykład 2

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{matrix} - 2 x + 4 y = 4 \\ x - 2 y = 3 \end{matrix}$ metodą podstawiania.
Wyznaczymy niewiadomą $x$ z drugiego równania układu i podstawimy otrzymane wyrażenie zamiast x do pierwszego równania układu.

\{\begin{matrix} x = 2 y + 3 \\ - 2 (2 y + 3) + 4 y = 4 \end{matrix}

Następnie rozwiążemy drugie równanie, przepisując pierwsze bez zmian.

\{\begin{matrix} x = 2 y + 3 \\ - 4 y - 6 + 4 y = 4 \end{matrix}

\{\begin{matrix} x = 2 y + 3 \\ - 4 y + 4 y = 4 + 6 \end{matrix}

\{\begin{matrix} x = 2 y + 3 \\ 0 ∙ y = 10 \\ 0 = 10 \end{matrix}

Drugie z równań układu okazało się równaniem sprzecznym, a więc układ równań jest układem sprzecznym.

Zapamiętaj!

Jeżeli, rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy wyrażenie algebraiczne z drugiego równania, okaże się równaniem sprzecznym, to taki układ jest układem sprzecznym.

Przykład 3

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{matrix} - 4 x + 6 y = 8 \\ 2 x - 3 y = - 4 \end{matrix}$ metodą podstawiania.
Wyznaczymy niewiadomą $x$ z drugiego równania układu i podstawimy otrzymane wyrażenie zamiast $x$ do pierwszego równania układu.

\{\begin{matrix} 2 x = 3 y - 4 | : 2 \\ - 4 x + 6 y = 8 \end{matrix}

\{\begin{matrix} x = 1,5 y - 2 \\ - 4 (1,5 y - 2) + 6 y = 8 \end{matrix}

Następnie rozwiążemy drugie równanie, przepisując pierwsze bez zmian.

\{\begin{matrix} x = 1,5 y - 2 \\ - 6 y + 8 + 6 y = 8 \end{matrix}

\{\begin{matrix} x = 1,5 y - 2 \\ - 6 y + 6 y = 8 - 8 \end{matrix}

\{\begin{matrix} x = 1,5 y - 2 \\ 0 ∙ y = 0 \\ 0 = 0 \end{matrix}

Drugie z równań układu okazało się równaniem tożsamościowym, czyli takim, którego zbiór rozwiązań tworzą wszystkie liczby rzeczywiste. Rozwiązywany układ równań jest zatem układem nieoznaczonym, czyli takim, który ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Zapamiętaj!

Jeżeli, rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy wyrażenie wyznaczone z drugiego równania, okaże się równaniem tożsamościowym, to układ równań ma nieskończenie wiele par liczb spełniających to równanie, czyli jest układem nieoznaczonym.

iUCvaI5q8N_d5e311

Ćwiczenie 1

Podany jest układ równań. Uporządkuj poniższe układy, tak aby utworzyły kolejne etapy rozwiązania danego układu równań metodą podstawiania.
$\{\begin{matrix} x + 2 y = 4 \\ 2 x + 2 y = 6 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 4 - 2 y \\ 8 - 4 y + 2 y = 6 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 4 - 2 y \\ y = 1 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 4 - 2 y \\ 2 x + 2 y = 6 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 4 - 2 y \\ - 2 y = - 2 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 4 - 2 y \\ 2 (4 - 2 y) + 2 y = 6 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 4 - 2 ∙ 1 \\ y = 1 \end{matrix}$

$c, e, a, d, b, g, f$

Ćwiczenie 2

Podany jest układ równań. Uporządkuj podane poniżej układy, tak aby utworzyły kolejne etapy rozwiązania danego układu równań metodą podstawiania.
$\{\begin{matrix} - 3 x + y = 8 \\ 5 x + 3 y = 10 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} y = 8 + 3 x \\ 14 x = - 14 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} y = 8 + 3 x \\ 5 x + 3 (8 + 3 x) = 10 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 8 + 3 x \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 8 + 3 ∙ (- 1) \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 5 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} y = 8 + 3 x \\ 5 x + 24 + 9 x = 10 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} y = 8 + 3 x \\ 5 x + 3 y = 10 \end{matrix}$

$g, b, f, a, c, d, e$

classicmobile

Ćwiczenie 3

Wyznaczając $x$ z pierwszego równania układu $\{\begin{matrix} 5 x + 7 y = 12 \\ 2 x - 5 y = 8 \end{matrix}$ , otrzymamy wyrażenie:

R16u8IxGu8gi1

$2,5 y + 4$
$2,4 - 1,4 y$
$\frac{12}{7} - \frac{5}{7} y$
$- 1,6 + 0,4 y$

static

Ćwiczenie 3

Wyznaczając $x$ z pierwszego równania układu $\{\begin{matrix} 5 x + 7 y = 12 \\ 2 x - 5 y = 8 \end{matrix}$ , otrzymamy wyrażenie:

R13whgg0EQYiV

$2,5 y + 4$
$2,4 - 1,4 y$
$\frac{12}{7} - \frac{5}{7} y$
$- 1,6 + 0,4 y$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Wyznaczając $y$ z drugiego równania układu $\{\begin{matrix} 3 x - 2 y = 6 \\ x + 4 y = 10 \end{matrix}$ , otrzymamy wyrażenie

Rp50YP5DJiZL5

$3 + 1,5 x$
$2 + \frac{2}{3} x$
$2,5 - 0,25 x$
$10 - 4 x$

static

Ćwiczenie 4

Wyznaczając $y$ z drugiego równania układu $\{\begin{matrix} 3 x - 2 y = 6 \\ x + 4 y = 10 \end{matrix}$ , otrzymamy wyrażenie

RPfGyUheidQKw

$3 + 1,5 x$
$2 + \frac{2}{3} x$
$2,5 - 0,25 x$
$10 - 4 x$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Po wyznaczeniu niewiadomej $x$ z pierwszego równania układu $\{\begin{matrix} - 2 x + 5 y = 12 \\ x - 4 y = 5 \end{matrix}$ i podstawieniu otrzymanego wyrażenia w miejsce niewiadomej $x$ do drugiego równania i jego uproszczeniu otrzymamy

R1AwutpGPfkuD

$3 y = 22$
$- 1,5 y = 11$
$3,6 y = 2,6$
$- 4,5 y = 9,5$

static

Ćwiczenie 5

RzBbmbe6FzToB

$3 y = 22$
$- 1,5 y = 11$
$3,6 y = 2,6$
$- 4,5 y = 9,5$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Po wyznaczeniu niewiadomej $y$ z drugiego równania układu $\{\begin{matrix} 3 x - 4 y = 6 \\ x - 2 y = 7 \end{matrix}$ i podstawieniu otrzymanego wyrażenia w miejsce niewiadomej $y$ do pierwszego równania i jego uproszczeniu otrzymamy

R1ZcqRKFbjOW4

$- 0,5 x = 4$
$1 \frac{2}{3} x = 11$
$x = - 8$
$- 5 x = 34$

static

Ćwiczenie 6

Rd0NRfvNkB1zu

$- 0,5 x = 4$
$1 \frac{2}{3} x = 11$
$x = - 8$
$- 5 x = 34$

iUCvaI5q8N_d5e591

Ćwiczenie 7

Rww8HVnbOpFWO1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

R12DCiBieiaNX1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

R1RE4B1Udumfr1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

R1WtApHRiF9l61

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 11

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymujemy równanie $3 x - 2 = 3 x + 1$ . Oznacza to, że układ jest

RnEdgvbX39q7u

nieoznaczony
sprzeczny
oznaczony

static

Ćwiczenie 11

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymujemy równanie $3 x - 2 = 3 x + 1$ . Oznacza to, że układ jest

RaaiybFBWt9on

nieoznaczony
sprzeczny
oznaczony

classicmobile

Ćwiczenie 12

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymujemy równanie $- 2 x + 3 = 2 x + 3$ . Oznacza to, że układ jest

R18Cdi2LCif9m

oznaczony
sprzeczny
nieoznaczony

static

Ćwiczenie 12

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymujemy równanie $- 2 x + 3 = 2 x + 3$ . Oznacza to, że układ jest

RoTKC8t3QioOu

oznaczony
sprzeczny
nieoznaczony

classicmobile

Ćwiczenie 13

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymujemy równanie $x - 3 + 2 = 2 x - x - 1$ . Oznacza to, że układ jest

R1Ngy290w1VKV

sprzeczny
nieoznaczony
oznaczony

static

Ćwiczenie 13

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymujemy równanie $x - 3 + 2 = 2 x - x - 1$ . Oznacza to, że układ jest

R1RBjfUghgZKe

sprzeczny
nieoznaczony
oznaczony

iUCvaI5q8N_d5e747

classicmobile

Ćwiczenie 14

Rozwiązaniem układu równań $\{\begin{matrix} - 3 x + 4 y = 5 \\ x - 2 y = 3 \end{matrix}$ jest para liczb

R1evRVawysD6E

$x = 5,8, y = 1,4$
$x = - 11, y = - 7$
$x = 7 \frac{2}{3}, y = 2 \frac{1}{3}$
$x = - 1 \frac{2}{3}, y = - 2 \frac{1}{3}$

static

Ćwiczenie 14

Rozwiązaniem układu równań $\{\begin{matrix} - 3 x + 4 y = 5 \\ x - 2 y = 3 \end{matrix}$ jest para liczb

Rzv5YFSvtje0X

$x = 5,8, y = 1,4$
$x = - 11, y = - 7$
$x = 7 \frac{2}{3}, y = 2 \frac{1}{3}$
$x = - 1 \frac{2}{3}, y = - 2 \frac{1}{3}$

classicmobile

Ćwiczenie 15

Rozwiązując układ równań $\{\begin{matrix} 3 x - y = 5 \\ 2 x - 3 y = 7 \end{matrix}$ metodą podstawiania, otrzymamy układ postaci

RN5k5O1MS31jp

$"{"\begin{matrix} y = 3 x - 5 \\ 2 x - 9 x + 15 = 7 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y = 5 - 3 x \\ 2 x + 9 x - 15 = 7 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y = 3 x - 5 \\ 2 x - 9 x - 15 = 7 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y = 5 - 3 x \\ 2 x - 9 x - 15 = 7 \end{matrix}""$

static

Ćwiczenie 15

Rozwiązując układ równań $\{\begin{matrix} 3 x - y = 5 \\ 2 x - 3 y = 7 \end{matrix}$ metodą podstawiania, otrzymamy układ postaci

R1EMHIscg0kxS

$"{"\begin{matrix} y = 3 x - 5 \\ 2 x - 9 x + 15 = 7 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y = 5 - 3 x \\ 2 x + 9 x - 15 = 7 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y = 3 x - 5 \\ 2 x - 9 x - 15 = 7 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y = 5 - 3 x \\ 2 x - 9 x - 15 = 7 \end{matrix}""$

classicmobile

Ćwiczenie 16

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Rs2zOOnhZgBsg

Para liczb $x = 9 y = - 5$ jest rozwiązaniem układu równań $"{"\begin{matrix} - 4 x + 2 y = 10 \\ 2 x - 2 y = 8 \end{matrix}""$ .
Wyznaczając $x$ z drugiego równania układu $"{"\begin{matrix} 5 x - 7 y = 12 \\ - 4 x + 7 y = 5 \end{matrix}""$ , otrzymamy $x = 1,75 y - 1,25$ .
Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymaliśmy równanie
$- 3 x + 3 x - 7 = - 7$ , to rozwiązywany układ jest sprzeczny.
Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymaliśmy równanie
$8 y - 7 y + 2 = 2$ , to rozwiązywany układ jest nieoznaczony.

static

Ćwiczenie 16

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R4bmFHzlY2D64

Para liczb $x = 9 y = - 5$ jest rozwiązaniem układu równań $"{"\begin{matrix} - 4 x + 2 y = 10 \\ 2 x - 2 y = 8 \end{matrix}""$ .
Wyznaczając $x$ z drugiego równania układu $"{"\begin{matrix} 5 x - 7 y = 12 \\ - 4 x + 7 y = 5 \end{matrix}""$ , otrzymamy $x = 1,75 y - 1,25$ .
Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymaliśmy równanie
$- 3 x + 3 x - 7 = - 7$ , to rozwiązywany układ jest sprzeczny.
Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymaliśmy równanie
$8 y - 7 y + 2 = 2$ , to rozwiązywany układ jest nieoznaczony.

Ćwiczenie 17

Rozwiąż układy równań metodą podstawiania.

$\{\begin{matrix} x = 2 y + 3 \\ x + 3 y = 8 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} y = x - 4 \\ 2 x - y = 7 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 2 - 3 y \\ x - y = 10 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} y = - 2 x + 3 \\ x - 2 y = 5 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = y - 3 \\ x - y = 4 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 3 y - 5 \\ 2 x + 3 y = 4 \end{matrix}$

$x = 5, y = 1$
$x = 3, y = - 1$
$x = 8, y = - 2$
$x = 2, 2, y = - 1,4$
układ sprzeczny
$x = - \frac{1}{3}, y = 1 \frac{5}{9}$

Ćwiczenie 18

Rozwiąż układy równań metodą podstawiania.

$\{\begin{matrix} x + 2 y = 10 \\ 3 x + 4 y = 6 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} 4 x - y = 2 \\ x - 2 y = 4 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} - 3 x + 2 y = 8 \\ - 2 x + y = 5 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} - 4 x + 8 y = 10 \\ 2 x - 4 y = - 5 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} - x - 2 y = 4 \\ 4 x + 2 y = 8 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x + 5 y = 2 \\ 2 x - y = 4 \end{matrix}$

$x = - 14, y = 12$
$x = 0, y = - 2$
$x = - 2, y = 1$
układ nieoznaczony
$x = 4, y = - 4$
$x = 2, y = 0$

Ćwiczenie 19

Rozwiąż układy równań metodą podstawiania.

$\{\begin{matrix} 2 x - 4 y = 10 \\ 3 x + 2 y = 7 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} 3 x - 2 y = 6 \\ 2 x - 3 y = 8 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} - 4 x + 5 y = 12 \\ 2 x + 4 y = 0,5 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} - 2 y + 5 x = 10 \\ - 5 x + 2 y = 6 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} - 3 x + 10 y = 5 \\ x - 5 y = - 1 \end{matrix}$

$x = 3, y = - 1$
$x = 0,4, y = - 2,4$
$x = - 1,75, y = 1$
układ sprzeczny
$x = - 3, y = - 0,4$

Liczba rozwiązań układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układów równań

Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania