Animacja 3D

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją 3D dotyczącą miar kątów między płaszczyznami w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R1SgxPMXBWfXl

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1Akuqeq1

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego miary kątów pomiędzy płaszczyznami w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym.

Polecenie 2

Wyznacz pole i objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy $a$ , jeżeli wiadomo, że płaszczyzna przechodząca przez krawędź podstawy oraz wierzchołek górnej podstawy (jak na rysunku) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30 °$ .

R1ImWKzIpxnLS

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. Z górnego wierzchołka bryły poprowadzono przekątną dwóch sąsiednich ścian bocznych. Powstał trójkąt równoramienny wewnątrz bryły. Zaznaczono krawędź podstawy o długości a.

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia na rysunku i zaznaczmy odpowiedni kąt.

R1QMI70RFf3RB

Jeżeli $h$ jest długością krawędzi bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, to do wyznaczenia wartości $h$ korzystamy z trójkąta prostokątnego, jak na poniższym rysunku:

R1PmRgSWahN4c

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Przyprostokątne mają długość a pierwiastków z trzech przez dwa oraz h. Pomiędzy przyprostokątną o długości h a przeciwprostokątną zaznaczono kąt trzydziestu stopni.

Zatem:

$h \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$h = \frac{a}{2}$

Obliczamy pole powierzchni oraz objętość graniastosłupa:

$P_{c} = 2 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot a \cdot h = 2 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^{2} \cdot (\sqrt{3} + 3)}{2}$

$V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się