Film samouczek

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone pod filmem.

RQzs4rQAwhEr3

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1C4z1Di3

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji.

Polecenie 2

R1Cna0sdzNLjA

Łączenie par. Na podstawie informacji zawartych w filmie zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Na to aby funkcja posiadała ekstremum w danym punkcie wystarcza, aby jej pochodna w otoczeniu tego punktu była dodatnia.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Zmiana znaku pochodnej w otoczeniu punktu stacjonarnego jest warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji różniczko walnej.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeśli funkcja

f (x)

jest różniczkowalna w punkcie

x_{0}

i w otoczeniu tego punktu funkcja zmienia znak z dodatniego na ujemny, to funkcja ma w tym punkcie maksimum lokalne.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeśli funkcja

f (x)

jest różniczkowalna w punkcie

x_{0}

i w otoczeniu tego punktu funkcja zmienia znak z ujemnego na dodatni, to funkcja ma w tym punkcie maksimum lokalne.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Polecenie 3

Sprawdzimy, kiedy spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji $f (x) = \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x - 5}$ .

Funkcja $f (x)$ jako wymierna jest różniczkowalna w zbiorze $D_{f} = ℝ ∖ \{5\}$ . Jej pochodna dana jest wzorem

$f' (x) = \frac{(2 x - 5) (x - 5) - (x^{2} - 5 x + 4)}{{(x - 5)}^{2}} = \frac{x^{2} - 10 x + 21}{{(x - 5)}^{2}}$ , $D_{f'} = D_{f}$ .

Na mocy Twierdzenia o warunku wystarczającym istnienia ekstremum funkcji sprawdzamy kiedy pochodna jest dodatnia, a kiedy ujemna. Mamy kolejno:

$f' (x) > 0$ ,

$\frac{x^{2} - 10 x + 21}{{(x - 5)}^{2}} > 0$ ,

$x^{2} - 10 x + 21 > 0$ ,

$x \in (- \infty, 3) \cup (7, \infty)$ ;

$f' (x) < 0$ ,

$\frac{x^{2} - 10 x + 21}{{(x - 5)}^{2}} < 0$ ,

$x^{2} - 10 x + 21 < 0$ ,

$x \in (3, 7)$ .

Stąd warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji jest spełniony w otoczeniu punktów $3$ i $7$ .

Przeczytaj

Sprawdź się