a) Jeśli funkcja $f$ jest różniczkowalna w przedziale $\left(a, b\right)$ i $f\text{'}\left(x\right)<0$ dla $x\in \left(a, x_0\right)$ oraz $f\text{'}\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(x_0, b\right)$, to funkcja ma w punkcie $x_0$ minimum.

b) Jeśli funkcja $f$ jest różniczkowalna w przedziale $\left(a, b\right)$ i $f\text{'}\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(a, x_0\right)$ oraz $f\text{'}\left(x\right)<0$ dla $x\in \left(x_0, b\right)$, to funkcja ma w punkcie $x_0$ maksimum.

Na podstawie wykresów pochodnej funkcji przedstawionych na poniższych rysunkach ustalimy punkty, w których te funkcje osiągają ekstremum.

a)

R1ckejIH7N7yy

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus trzech do trzech. Zaznaczono w  nim wykres pochodnej funckji f, który jest parabolą z ramionami skierowanymi do góry, która ma miejsce zerowe w punkcie 0 i 2 oraz wierzchołek w punkcie o współrzędnych $\left(1,-3\right)$.

b)

RDdvPnL8SfyKv

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. W układzie zaznaczono wykres pochodnej funkcji f. Wykres rośnie od minus nieskończoności delikatnie nad osią X do punktu $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, następnie maleje przechodząc przez początek układu współrzędnych do punktu $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$. Od tego momentu funkcja rośnie asymptotycznie zbliżając się do pionowej osi X dla argumentów dążących do nieskończoności.

c)

RDtp6HxVv879G

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus dwóch do trzech. W układzie zaznaczono wykres pochodnej funkcji f. Wykres biegnie w dół od nieskończoności prawie pionowo wzdłuż osi Y do początku układu współrzędnych, a  następnie biegnie w górę do punktu, gdzie dla argumentu bliskiego jedynce funkcja przyjmuje wartość powyżej jeden Następnie od tego punktu wykres biegnie w dół przebijając oś X w punkcie równy jeden do minus nieskończoności.

d)

R1VAzANbdONZb

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus jeden do pięciu. W układzie zaznaczono wykres pochodnej funkcji f. Wykres biegnie w dół od nieskończoności do punktu x równego minus jeden i następnie biegnie w górę to punktu gdzie dla argumentu bliskiego zeru funkcja przyjmuje wartość bliską czwórki, dalej biegnie w dół do punktu $\left(1,0\right)$ i łukiem łączy się z punktem $\left(2,0\right)$ i od tego punktu wykres funckji biegnie w górę do plus nieskończoności.

Rozwiązanie:

Ad a)
Funkcja $f$ osiąga ekstrema w punktach $0$ i $2$. W punkcie $0$ pochodna przyjmuje wartość zero i w otoczeniu tego punktu zmienia znak z „$+$” na „$-$”, zatem spełniony jest warunek wystarczający, czyli funkcja osiąga w tym punkcie maksimum. W punkcie $2$ pochodna przyjmuje wartość zero i w otoczeniu tego punktu zmienia znak z „$-$” na „$+$”, zatem spełniony jest warunek wystarczający, czyli funkcja osiąga w tym punkcie minimum.

Ad b)
Funkcja $f$ osiąga ekstrema w punkcie $0$. W punkcie $0$ pochodna przyjmuje wartość zero i w otoczeniu tego punktu zmienia znak z „$+$” na „$-$”, zatem spełniony jest warunek wystarczający, czyli funkcja osiąga w tym punkcie maksimum.

Ad c)
Funkcja $f$ może osiągać ekstrema w punktach $0$ i $1$. W punkcie $0$ pochodna przyjmuje wartość zero, ale w otoczeniu tego punktu nie zmienia znaku, zatem nie jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum. W punkcie $1$ pochodna przyjmuje wartość zero oraz zmienia znak zatem spełniony jest warunek wystrczający ekstremum. Funckja posiada w tym punkcie ekstremum.

Ad d)
Funkcja $f$ może osiągać ekstrema w punktach $\left(-1\right)$, $1$, $2$. W punktach tych pochodna przyjmuje wartość zero, ale w otoczeniach tych punktów nie zmienia znaku, zatem nie jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Funkcja nie posiada w tych punktach ekstremów.

Wykażemy, że funkcja dana wzorem $f\left(x\right)=x^2{\left(x-2\right)}^2$ ma trzy ekstrema.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}$. Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=4x^3-12x^2+8x$, $D_{f\text{'}}=D_f$.

Warunek konieczny:

$4x^3-12x^2+8x=0$,

$x\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$,

$x=0$, $x=1$, $x=2$

Warunek wystarczający:

Poniższy rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji.

R1eKdfgwblAWb

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus dwa do dwa. W układzie zaznaczono wykres pochodnej funkcji f. Wykres funckji biegnie w górę od minus nieskończoności do punktu gdzie dla argumentu, bliskiego jedynce funkcja przyjmuje wartość powyżej jedynki i przechodzi przez początek układu współrzędnych, następnie biegnie w dół przechodząc przez punkt $\left(1,0\right)$ , a następnie wykres funkcji odbija się i biegnie w górę do nieskończoności przechodząc przez punkt $\left(2,0\right)$ .

$f\text{'}\left(x\right)>0$, dla $x\in \left(0, 1\right)\cup \left(2, \infty \right)$.

$f\text{'}\left(x\right)<0$, dla $x\in \left(-\infty , 0\right)\cup \left(1, 2\right)$.

W punktach $0$ i $2$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc funkcja posiada w nich minimum lokalne. W punkcie $1$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc funkcja posiada w nim maksimum lokalne. Zatem funkcja posiada trzy ekstrema.

Dla jakich wartości parametru $a$ funkcja $f$ dana wzorem $f\left(x\right)=x^3-a{x}^2+3x$ nie spełnia warunku wystarczającego istnienia ekstremum w otoczeniu pewnego punktu?

Rozwiązanie:

Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalnafunkcja różniczkowalnaróżniczkowalna w zbiorze $\mathrm{ℝ}$. Jej pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-2ax+3$, $D_{f\text{'}}=D_f$. Aby nie był spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji jej pochodna nie zmienia znaku, czyli w naszym przypadku $f\text{'}\left(x\right)⩾0$. Otrzymujemy kolejno:

$3x^2-2ax+3⩾0$,

$\Delta =4a^2-36=4\left(a^2-9\right)$.

Aby pochodna była niedodatnia lub nieujemna $\Delta ⩽0$. Inaczej mówiąc, pochodna jest opisana funkcją kwadratową. Ramiona paraboli będącej jej wykresem skierowane są ku górze, zatem, aby pochodna nie zmieniała znaku może posiadać co najwyżej jedno miejsce zerowe. Stąd otrzymujemy $a\in ⟨-3, 3⟩$. Dla $a\in ⟨-3, 3⟩$ nie jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji $f$.

R10yuSd0CsM3b

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedem do siedem oraz z pionową osią Y od minus pięć do pięć. W układzie zaznaczono wykres funckji $f\left(x\right)=x^3-a{x}^2+3x$ , dla których współczynnik a jest ustalany za pomocą suwaka znajdującego się pod wykresem. Suwak jest z zakresu od minus pięciu do pięciu z krokiem co jedną dziesiątą. Przykład 1. Ustalamy współczynnik a na poziomie równym jeden. Wówczas wykres funckji f  biegnie w górę na całej swojej dziedzinie oraz w  początku układów współrzędnych znajduje się punkt przegięcia. Przykład 2. Ustalmy współczynnik a na poziomie minus cztery. Wówczas wykres funckji biegnie w górę od minus nieskończoności do punktu, gdzie dla argumentu bliskiego minus dwa funkcja osiąga wartość bliską dwóch. Następnie biegnie w dół do punktu, gdzie dla argumentu bliskiego zeru funkcja osiąga wartość bliską minus jeden. Następnie wykres funckji biegnie w górę przechodząc przez początek układów współrzędnych i dąży do plus nieskończoności. Punkty w których funkcja zmieniała monotoniczność zostały zaznaczone pomarańczowym kółkiem. Przykład 3. Ustalmy współczynnik a na poziomie cztery. Wówczas wykres funckji biegnie w górę od minus nieskończoności do punktu, gdzie dla argumentu bliskiego jeden funkcja osiąga wartość bliską jeden. Następnie wykres biegnie w dół do punktu, gdzie dla argumentu bliskiego dwa funkcja osiąga wartość bliską minus jeden. Następnie wykres funckji b iegnie w górę przechodząc przez początek układów współrzędnych i dąży do plus nieskończoności. Punkty w których funkcja zmieniała monotoniczność zostały zaznaczone pomarańczowym kółkiem.

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedem do siedem oraz z pionową osią Y od minus pięć do pięć. W układzie zaznaczono wykres funckji $f\left(x\right)=x^3-a{x}^2+3x$ , dla których współczynnik a jest ustalany za pomocą suwaka znajdującego się pod wykresem. Suwak jest z zakresu od minus pięciu do pięciu z krokiem co jedną dziesiątą. Przykład 1. Ustalamy współczynnik a na poziomie równym jeden. Wówczas wykres funckji f  biegnie w górę na całej swojej dziedzinie oraz w  początku układów współrzędnych znajduje się punkt przegięcia. Przykład 2. Ustalmy współczynnik a na poziomie minus cztery. Wówczas wykres funckji biegnie w górę od minus nieskończoności do punktu, gdzie dla argumentu bliskiego minus dwa funkcja osiąga wartość bliską dwóch. Następnie biegnie w dół do punktu, gdzie dla argumentu bliskiego zeru funkcja osiąga wartość bliską minus jeden. Następnie wykres funckji biegnie w górę przechodząc przez początek układów współrzędnych i dąży do plus nieskończoności. Punkty w których funkcja zmieniała monotoniczność zostały zaznaczone pomarańczowym kółkiem. Przykład 3. Ustalmy współczynnik a na poziomie cztery. Wówczas wykres funckji biegnie w górę od minus nieskończoności do punktu, gdzie dla argumentu bliskiego jeden funkcja osiąga wartość bliską jeden. Następnie wykres biegnie w dół do punktu, gdzie dla argumentu bliskiego dwa funkcja osiąga wartość bliską minus jeden. Następnie wykres funckji b iegnie w górę przechodząc przez początek układów współrzędnych i dąży do plus nieskończoności. Punkty w których funkcja zmieniała monotoniczność zostały zaznaczone pomarańczowym kółkiem.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D18D62daM

Dla jakich wartości parametru $m\in \mathrm{ℝ}$ funkcja $f$ dana wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}\left(m-1\right)x^2+\left(m^2-1\right)x+2$ spełnia warunek wystarczający istnienia ekstremum w otoczeniu pewnego punktu?

Rozwiązanie:

Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $D_f=\mathrm{ℝ}$. Jej pochodna dana jest wzorem

$f\text{'}\left(x\right)=x^2+\left(m-1\right)x+m^2-1$, $D_{f\text{'}}=D_f$.

Aby spełniony był warunek wystarczający istnienia ekstremum dla tej funkcji wystarczy sprawdzić czy pochodna zmienia znak w otoczeniu pewnego punktu, ponieważ dziedziną pochodnej jest $\mathbb{R}$. Zatem w naszym przypadku pochodna $f\text{'}\left(x\right)$ powinna mieć dwa miejsca zerowe, czyli $\Delta >0$. Otrzymujemy kolejno:

$\Delta =-3m^2-2m+5=-3\left(m-1\right)\left(m+\frac{5}{3}\right)>0$,

$m\in \left(-\frac{5}{3}, 1\right)$.

Dla $m\in \left(-\frac{5}{3}, 1\right)$ funkcja posiada punkty dla których spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji $f$.

funkcję nazywamy różniczkowalną jeśli ma pochodną w każdym punkcie dziedziny

jeśli funkcja $f\left(x\right)$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0$ i ma w tym punkcie ekstremum, to