Prezentacja multimedialna
Uważnie zapoznaj się z prezentacją, a następnie wykonaj polecenia.
Rozwiążemy równanie: . Ponieważ zbiorem wartości funkcji sinus jest przedział obustronnie domknięty od minus jeden do jeden, zatem iloczyn funkcji sinus x, sinus 2 x, sinus 3 x przyjmuje wartość co najwyżej jeden. Możliwe są następujące cztery przypadki.
Przypadek pierwszy
, , .
Przypadek drugi
, , .
Przypadek trzeci
, , .
Przypadek czwarty
, , .
Ilustracja przedstawiająca wszystkie trzy wykresy funkcji w układzie współrzędnych, to jest funkcji sinus x, sinus 2 x, sinus 3 x, pokazuje, że wykresy tych funkcji nie mają punktów wspólnych, czyli nasze równanie nie ma rozwiązania. Wykres funkcji sinus x jest znany i ma on okres równy 2 pi. Wykres funkcji sinus 2 x jest ściśniętym w pionie wykresem funkcji sinus x i ma on okres równy pi. Wykres funkcji sinus 3 x jest jeszcze bardziej ściśniętym w pionie wykresem funkcji sinus x i ma on okres równy dwie trzecie pi. Udowodnimy, że równanie nie ma rozwiązania.
Przypadek pierwszy
wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi drugich dodać 2 k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi czwartych dodać k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi szóstych dodać 4 k pi podzielić na 6, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: , , .
Przypadek drugi
wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi drugich dodać 2 k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi czwartych dodać k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi szóstych dodać 4 k pi podzielić na 6, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: , , .
Przypadek trzeci
wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi drugich dodać 2 k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi czwartych dodać k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi szóstych dodać 4 k pi podzielić na 6, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: , , .
Przypadek czwarty
wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi drugich dodać 2 k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi czwartych dodać k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi szóstych dodać 4 k pi podzielić na 6, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: , , .
Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Wykres funkcji jest nieregularną falą w okresie równym pi i nie osiąga wartości jeden.
Rozwiąż równanie: .