Mamy: $12\sqrt{3}=\frac{1}{2}·4·12·\sin \alpha$.

Stąd: $\sin \alpha =\frac{12\sqrt{3}}{24}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ponieważ $\alpha$ jest kątem rozwartym, to: $\alpha =120°$.

Oznaczmy przez $x$ długość trzeciego boku.

Z twierdzenia cosinusów:
$x^2=4^2+{12}^2-2·4·12·\cos 120°$
$x^2=160+96\cdot \frac{1}{2}$
$x^2=208$, co daje: $x=4\sqrt{13}$

Korzystamy z zależności: $P=\frac{1}{2}·\left(a+b+c\right)·r$; gdzie $a$, $b$, $c$ – długości boków trójkąta, zaś $r$ – długość promienia koła wpisanego w ten trójkąt.

$12\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot \left(4+12+4\sqrt{13}\right)\cdot r$

$r=\frac{12\sqrt{3}}{8+2\sqrt{13}}=8\sqrt{3}-2\sqrt{39}$