Geometryczna konstrukcja stycznej

Styczna do krzywej w zadanym punkcie to taka prosta, która w małym otoczeniu tego punktu ma przebieg podobny do przebiegu krzywej oraz w tym małym otoczeniu ma dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą. Spróbujmy narysować taką styczną w przypadku konkretnej funkcji, a później wyznaczyć jej równanie.

Poprawne narysowanie stycznej w danym punkcie wymaga najpierw narysowania siecznych wykresu w okolicy tego punktu. Zróbmy to na konkretnym przykładzie – wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji $y=x^2$ w punkcie $\left(1,1\right)$. Przypomnijmy sobie najpierw, że równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty $\left(x_1,y_1\right)$ i $\left(x_2,y_2\right)$ jest postaci

Weźmy teraz pod uwagę punkt na wykresie, położony blisko wybranego punktu $\left(1,1\right)$, na przykład $\left(1,1;1,21\right)$. Sieczna, przechodząca przez te dwa punkty, będzie postaci $y=2,1x-1,1$. Rozważmy jeszcze bliższy punkt: $\left(1,01;1,0201\right)$. Sieczna, przechodząca przez ten punkt oraz przez punkt początkowo wybrany $\left(1,1\right)$, będzie dana wzorem $y=2,01x-1,01$. Podobnie, sieczna przechodząca przez ustalony punkt $\left(1,1\right)$ oraz jeszcze bliższy $\left(1,001;1,002001\right)$, będzie miała postać $y=2,001x-1,001$. Możemy ten proces prześledzić na poniższej symulacji.

RNnTHqFX7KRxZ

Aplet przedstawia układ współrzednych z poziomoą osią X od minus czterech do pięciu i pionową osią Y od minus 1 do pięć w układzie zaznaczono parabolę oraz prostą, która ma dwa punkty A i B styczne z tą parabolą. Aplet daje możliwość zmiany położenia punktu B. Parabola ma ramiona skierowane do góry a jej wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych. Ustawiając współrzędne punktu B jako otwarcie nawiasu dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu otrzymujemy prostą, która przechodzi przez punkt A o współrzędnych otwracie nawiasu jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu i punkt B otwarcie nawiasu dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu. Oba te punkty leżą na paraboli, a równanie tej prostej jest następujące: $y=3x-2$. Ustawiając współrzędne punktu B jako otwarcie nawiasu jeden i pół średnik dwa i dwadzieścia pięć setnych zamknięcie nawiasu otrzymujemy prostą, która przechodzi przez punkt A o współrzędnych otwarcie nawisu jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu i punkt B . Oba te punkty leżą na paraboli, a równanie tej prostej jest następujące: $y=2.5x-1.5$. Ustawiając współrzędne punktu B jako otwracie nawiasu jeden i jedna setna średnik jeden i dwieście jeden tysięcznych zamknięcie nawiasu otrzymujemy prostą, która przechodzi przez punkt A o współrzędnych otwracie nawisu jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu i punkt B . Oba te punkty leżą na paraboli, a równanie tej prostej jest następujące: $y=2.01x-1.01$.

Aplet przedstawia układ współrzednych z poziomoą osią X od minus czterech do pięciu i pionową osią Y od minus 1 do pięć w układzie zaznaczono parabolę oraz prostą, która ma dwa punkty A i B styczne z tą parabolą. Aplet daje możliwość zmiany położenia punktu B. Parabola ma ramiona skierowane do góry a jej wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych. Ustawiając współrzędne punktu B jako otwarcie nawiasu dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu otrzymujemy prostą, która przechodzi przez punkt A o współrzędnych otwracie nawiasu jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu i punkt B otwarcie nawiasu dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu. Oba te punkty leżą na paraboli, a równanie tej prostej jest następujące: $y=3x-2$. Ustawiając współrzędne punktu B jako otwarcie nawiasu jeden i pół średnik dwa i dwadzieścia pięć setnych zamknięcie nawiasu otrzymujemy prostą, która przechodzi przez punkt A o współrzędnych otwarcie nawisu jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu i punkt B . Oba te punkty leżą na paraboli, a równanie tej prostej jest następujące: $y=2.5x-1.5$. Ustawiając współrzędne punktu B jako otwracie nawiasu jeden i jedna setna średnik jeden i dwieście jeden tysięcznych zamknięcie nawiasu otrzymujemy prostą, która przechodzi przez punkt A o współrzędnych otwracie nawisu jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu i punkt B . Oba te punkty leżą na paraboli, a równanie tej prostej jest następujące: $y=2.01x-1.01$.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1GbIsxUh

Udowodnimy, że gdy będziemy się zbliżać z drugim punktem nieskończenie blisko do punktu $\left(1,1\right)$, to równanie prostej siecznej będzie się nieskończenie mało różnić od równania $y=2x-1$, więc będzie to równanie prostej stycznej w tym punkcie.

Weźmy dowolnie małą liczbę dodatnią $h$ i rozważmy dwa punkty: $A=\left(1,1\right)$ i $B=\left(1+h,{\left(1+h\right)}^2\right)$, położone na wykresie funkcji $y=x^2$. Wyznaczmy najpierw współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$. Będzie on wynosił

co jest zgodne z naszymi oczekiwaniami.

Współczynnik $b$ będzie równy:

co również jest zgodne z naszymi oczekiwaniami.

Jeżeli założymy teraz, że wybrana liczba $h$ będzie dążyć do zera, to wartość $a$ będzie dążyć do $2$, a wartość $b$ do $\left(-1\right)$ i ostatecznie równanie prostej stycznej będzie postaci $y=2x-1$.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcjistyczna do krzywejstycznej do wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^3$ w punkcie $\left(1,1\right)$.

Rozwiązanie

Weźmy dowolnie małą liczbę dodatnią $h$ i rozważmy dwa punkty: $A=\left(1,1\right)$ i $B=\left(1+h,{\left(1+h\right)}^3\right)$, położone na wykresie funkcji $f\left(x\right)=x^3$.

Wyznaczmy najpierw współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$:

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{{\left(1+h\right)}^3-1}{\left(1+h\right)-1}=\frac{1+3h+3h^2+h^3-1}{h}=\frac{3h+3h^2+h^3}{h}=3+3h+h^2$

Wyraz wolny jest równy:

$b=a·\left(-x_1\right)+y_1=\left(3+3h+h^2\right)\left(-1\right)+1=-2-3h-h^2$.

Zakładamy, że $h$ dąży do zera, zatem wartość $a$ będzie dążyć do $3$, a wartość $b$ do $\left(-2\right)$ i ostatecznie równanie prostej stycznej jest postaci $y=3x-2$.

RVOvLNb8JGmun

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 3 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono dwa wykresy. Pierwszy z nich ma równanie $y=x^3$ i pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce, biegnie po łuku przez punkt nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu do punktu nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, tam następuje przegięcie wykresu funkcji i dalej biegnie on po łuku przez punktu nawias jeden średnik jeden aż wychodzi poza płaszczyznę układu. Drugi wykres oznaczono $y=f\left(x\right)$, jest to ukośna prosta, która przechodzi przez punkty nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Przykład 2

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji $f\left(x\right)=2x^2+x$ w punkcie $\left(0,0\right)$.

Rozwiązanie

Weźmy dowolnie małą liczbę dodatnią $h$ i rozważmy dwa punkty: $A=\left(0,0\right)$ i $B=\left(h,2h^2+h\right)$, położone na wykresie funkcji $f\left(x\right)=2x^2+x$.

Wyznaczmy najpierw współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$:

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2h^2+h-0}{h-0}=\frac{2h^2+h}{h}=2h+1$

Wyraz wolny jest równy:

$b=a·\left(-x_1\right)+y_1=\left(2h+1\right)·0+0=0$.

Zakładamy, że $h$ dąży do zera, zatem wartość $a$ będzie dążyć do $1$, zaś wartość $b$ jest równa $0$ i ostatecznie równanie prostej stycznej jest postaci $y=x$.

R10yKl58Fzfmn

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 3 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono dwa wykresy. Pierwszy z nich jest parabolą o ramionach skierowanych do góry, wierzchołek tej paraboli znajduje się w trzeciej ćwiartce. Równanie tej paraboli jest następujące $y=2x^2+x$. Drugi wykres oznaczono $y=f\left(x\right)$, jest to ukośna prosta, która przechodzi przez punkty nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu i nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu. Punkt nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu zaznaczono zamalowanym punktem, jest to punkt wspólny prostej i paraboli.

Powyższa metoda jest skomplikowana i czasochłonna. Gdybyśmy chcieli w ten sposób wyznaczyć styczną do wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^5-4x^2+3x-7$, byłoby to możliwe, ale uciążliwe. Istnieje na szczęście metoda analityczna wyznaczania równania stycznej do wykresu funkcji, której zasadniczą częścią jest obliczenie pochodnej funkcji w danym punkcie.

Podamy teraz przykłady funkcji, których styczne do ich wykresu mają więcej niż $1$ punkt wspólny z tym wykresem.

Przykład 3

Rozważmy funkcję $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x-1$ i narysujmy styczną do jej wykresu w punkcie $(3,-1)$. Sprawdzimy, ile punktów wspólnych ma ta styczna z wykresem funkcji $f$.

Rozwiązanie

Rysujemy wykres tej funkcji oraz prowadzimy styczną w punkcie $(3,-1)$:

RS2ZtubtiPUD3

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 5 i pionową osią y od minus 2 do dwa. W układzie zaznaczono dwa wykresy. Pierwszy z nich ma równanie $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x-1$ i pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce, biegnie po łuku przez punkt nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu do punktu znajdującego się w pierwszej ćwiartce, tam następuje przegięcie wykresu funkcji i dalej biegnie on po łuku do punktu nawias trzy średnik minus jeden skąd dalej biegnie po łuku i wychodzi poz płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. Drugi wykres oznaczono $y=f\left(x\right)$, jest to pozioma prosta, która przechodzi przez punkt nawias zero średnik minus jeden. Wykresy mają punkt wspólny o współrzędnych nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu., który został zaznaczony zamalowaną kropką.

Widzimy, że styczna do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x-1$ w punkcie $\left(3;-1\right)$ ma jeszcze $1$ punkt wspólny z wykresem funkcji $f$.

Przykład 4

Narysujemy styczną do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ w punkcie $(\frac{3}{8}\pi ,1)$. Sprawdzimy, ile punktów wspólnych ma ta styczna z wykresem funkcji $f$.

Rozwiązanie

Rysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ i prowadzimy styczną do tego wykresu w punkcie $(\frac{3}{8}\pi ,1)$:

RgjFTIVksonMU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus $\mathrm{\pi }$ do $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ i pionową osią y od minus 2 do dwa. W układzie zaznaczono dwa wykresy. Pierwszy z nich ma równanie $y=\sin \left(2x-\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 4}}\right)$ i kształt sinusoidy. Drugi wykres oznaczono $y=f\left(x\right)$, jest to pozioma prosta, która przechodzi przez trzy punkty stykające się z sinusoidą, punkty te zostały zaznaczone zamalowanymi punktami. Jeden z tych punktów ma współrzędne nawias $\frac{3\mathrm{\pi }}{8}$.

Styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $(\frac{3}{8}\pi ,1)$ ma z tym wykresem nieskończenie wiele punktów wspólnych.

Przedstawimy teraz przykład funkcji, która nie ma stycznej w podanym punkcie

Zauważmy, że istnieją funkcje ciągłe, które nie mają stycznych w nieskończenie wielu punktach swojego wykresu. Poniżej przedstawiamy przykład takiej funkcji:

R14KY6gdVvC87

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono wykres, który rozpoczyna się w punkcie nawias minus pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej znów biegnie ukośnie do punktu nawias minus trzy średnik dwa zamknięcie nawias, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus dwa, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus jeden średnik dwa, dalej biegnie w ten sam sposób przez następujące punkty: nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, aż do punktu nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu.

W żadnym punkcie o całkowitych odciętych styczna do wykresu funkcji $f$ nie istnieje.

Ciekawostka

Istnieje funkcja ciągła, która nie ma stycznej w żadnym punkcie swojego wykresu. Jest to funkcja Takagiego. Jest ona przykładem funkcji, dla której nie istnieje pochodna w żadnym punkcie dziedziny. Przy konstrukcji tej funkcji „zagęszczamy ostrza” zmodyfikowanej funkcji $f\left(x\right)=\left|x\right|$.

RQmHWJvPAJa4U

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 0 do 1 z podziałką co dwadzieścia pięć setnych i pionową osią y od 0 do jeden z podziałką co dwadzieścia pięć setnych. W układzie zaznaczono nieregularny wykres, który rozpoczyna się w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie nieregularnie kształtem zbliżonym do łuku do punktu nawias zero przecinek dwadzieścia pięć setnych średnik zero przecinek pięć zamknięcie nawiasu, dalej wykres na zmianę rośnie i maleje nie przekraczając wartości 0,75 i biegnie do punktu nawias zero przecinek pięć średnik zero przecinek pięć, dalej wykres znów ma zmienne wartości ale nadal nie przekracza wartości 0,75 i znów biegnie do punktu nawias zero przecinek siedemdziesiąt pięć setnych średnik zero przecinek pięć dziesiątych, dalej biegnie po łuku do punktu nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu.

Słownik