Przeanalizuj zawartość poniższej prezentacji multimedialnej oraz rozwiąż poniższe zadania.
R1O2iKlBmEB4L
Prezentacja multimedialna. Slajd pierwszy. Dla wektor u, nie równa się, wektor zero oraz wektor v, nie równa się, wektor zero mamy: wektor u jest równoległy do wektor v wtedy i tylko wtedy, gdy mamy k różne od 0, takie że wektor u, równa się, k, razy, wektor v. Slajd drugi. Przypomnijmy, że długość iloczynu wektora przez liczbę jest równa iloczynowi długości tego wektora przez wartość bezwzględną tej liczby. wartość bezwzględna z, k, razy, wektor u, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, k, koniec wartości bezwzględnej, razy, wartość bezwzględna z, wektor u, koniec wartości bezwzględnej. Slajd trzeci. Sprawdźmy jak kryterium równoległości przenosi się na współrzędne wektorów. Rozważmy najpierw wektory, które nie są równoległe do żadnej z osi układu współrzędnych. wektor u, równa się, nawias kwadratowy, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego oraz wektor v, równa się, nawias kwadratowy, c, średnik, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego, przy założeniu że a jest różne od 0, b jest różne od 0, c jest różne od 0, d jest różne od zero. wektor u, równa się, k, razy, wektor v. Slajd czwarty. Dla wektora u o współrzędnych a b i wektora v o współrzędnych c d, korzystając z twierdzenia o równości wektorów otrzymujemy wniosek, że współrzędne wektorów równoległych są proporcjonalne, z czego wynika równość a d, minus, b c, równa się, zero. Otrzymano ją w następujący sposób: nawias kwadratowy, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, k, razy, nawias kwadratowy, c, średnik, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego po wymnożeniu mamy: nawias kwadratowy, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, k c, średnik, k d, zamknięcie nawiasu kwadratowego, czyli a, równa się, k c oraz b, równa się, k d, wyznaczamy k: k, równa się, początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka oraz k, równa się, początek ułamka, b, mianownik, d, koniec ułamka, ostatecznie otrzymujemy początek ułamka, b, mianownik, d, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka, aby otrzymać nasze równaniem, mnożymy na krzyż. Slajd piąty. Jeśli wektory są równoległe do którejkolwiek z osi, oznacza to że a równa się 0 i c równa się 0 albo b równa się 0 i d równa się 0. W obu przypadkach równość a d, minus, b c, równa się, zero również jest spełniona. Slajd szósty. Wektory o współrzędnych nawias kwadratowy, pięć, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu kwadratowego oraz nawias kwadratowy, minus, dziesięć, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu kwadratowego są równoległe, bo każda współrzędna drugiego wektora jest iloczynem odpowiedniej współrzędnej pierwszego wektora przez tę samą liczbę w tym przypadku minus dwa. Slajd siódmy. Wyznaczmy teraz wartości parametru a dla których wektory o współrzędnych nawias kwadratowy, a, plus, jeden, średnik, dwa a, plus, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy, a, minus, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego są równoległe. Slajd ósmy. Zgodnie z podanym wcześniej kryterium wystarczy wyznaczyć takie a, żeby spełnione było równanie nawias, a, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, a, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa a, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero. Slajd dziewiąty. Wymnażamy równanie i otrzymujemy minus, dwa a, minus, dwa, minus, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery a, minus, a, plus, dwa, równa się, zero, po uproszczeniu otrzymujemy minus, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a, równa się, zero, czyli naszymi rozwiązaniami są a, równa się, zero oraz a, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Dla a, równa się, zero otrzymujemy wektory o współrzędnych nawias kwadratowy, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy, minus, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego, natomiast dla a, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka otrzymujemy wektory o współrzędnych nawias kwadratowy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy, początek ułamka, minus, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Slajd dziesiąty. Ponieważ żaden z wektorów nie jest wektorem zerowym, warunki zadania spełniają liczby 0 i początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka.
Prezentacja multimedialna. Slajd pierwszy. Dla wektor u, nie równa się, wektor zero oraz wektor v, nie równa się, wektor zero mamy: wektor u jest równoległy do wektor v wtedy i tylko wtedy, gdy mamy k różne od 0, takie że wektor u, równa się, k, razy, wektor v. Slajd drugi. Przypomnijmy, że długość iloczynu wektora przez liczbę jest równa iloczynowi długości tego wektora przez wartość bezwzględną tej liczby. wartość bezwzględna z, k, razy, wektor u, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, k, koniec wartości bezwzględnej, razy, wartość bezwzględna z, wektor u, koniec wartości bezwzględnej. Slajd trzeci. Sprawdźmy jak kryterium równoległości przenosi się na współrzędne wektorów. Rozważmy najpierw wektory, które nie są równoległe do żadnej z osi układu współrzędnych. wektor u, równa się, nawias kwadratowy, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego oraz wektor v, równa się, nawias kwadratowy, c, średnik, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego, przy założeniu że a jest różne od 0, b jest różne od 0, c jest różne od 0, d jest różne od zero. wektor u, równa się, k, razy, wektor v. Slajd czwarty. Dla wektora u o współrzędnych a b i wektora v o współrzędnych c d, korzystając z twierdzenia o równości wektorów otrzymujemy wniosek, że współrzędne wektorów równoległych są proporcjonalne, z czego wynika równość a d, minus, b c, równa się, zero. Otrzymano ją w następujący sposób: nawias kwadratowy, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, k, razy, nawias kwadratowy, c, średnik, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego po wymnożeniu mamy: nawias kwadratowy, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, k c, średnik, k d, zamknięcie nawiasu kwadratowego, czyli a, równa się, k c oraz b, równa się, k d, wyznaczamy k: k, równa się, początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka oraz k, równa się, początek ułamka, b, mianownik, d, koniec ułamka, ostatecznie otrzymujemy początek ułamka, b, mianownik, d, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka, aby otrzymać nasze równaniem, mnożymy na krzyż. Slajd piąty. Jeśli wektory są równoległe do którejkolwiek z osi, oznacza to że a równa się 0 i c równa się 0 albo b równa się 0 i d równa się 0. W obu przypadkach równość a d, minus, b c, równa się, zero również jest spełniona. Slajd szósty. Wektory o współrzędnych nawias kwadratowy, pięć, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu kwadratowego oraz nawias kwadratowy, minus, dziesięć, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu kwadratowego są równoległe, bo każda współrzędna drugiego wektora jest iloczynem odpowiedniej współrzędnej pierwszego wektora przez tę samą liczbę w tym przypadku minus dwa. Slajd siódmy. Wyznaczmy teraz wartości parametru a dla których wektory o współrzędnych nawias kwadratowy, a, plus, jeden, średnik, dwa a, plus, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy, a, minus, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego są równoległe. Slajd ósmy. Zgodnie z podanym wcześniej kryterium wystarczy wyznaczyć takie a, żeby spełnione było równanie nawias, a, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, a, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa a, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero. Slajd dziewiąty. Wymnażamy równanie i otrzymujemy minus, dwa a, minus, dwa, minus, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery a, minus, a, plus, dwa, równa się, zero, po uproszczeniu otrzymujemy minus, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a, równa się, zero, czyli naszymi rozwiązaniami są a, równa się, zero oraz a, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Dla a, równa się, zero otrzymujemy wektory o współrzędnych nawias kwadratowy, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy, minus, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego, natomiast dla a, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka otrzymujemy wektory o współrzędnych nawias kwadratowy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy, początek ułamka, minus, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Slajd dziesiąty. Ponieważ żaden z wektorów nie jest wektorem zerowym, warunki zadania spełniają liczby 0 i początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka.
