Podobieństwo trójkątów prostokątnych

Tales w swoich obliczeniach wykorzystał własności trójkątów prostokątnych podobnych.
Zauważmy, że jeżeli jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę równą jednemu z kątów ostrych drugiego trójkąta prostokątnego, to miary wszystkich kątów w tych trójkątach są równe.
Można też wykazać, że jeżeli miary wszystkich kątów w dwóch trójkątach prostokątnych są równe, to odpowiednie boki tych trójkątów są proporcjonalne.
Zatem, aby określić podobieństwo trójkątów prostokątnych, wystarczy stwierdzić, że trójkąty te mają równy jeden z kątów ostrych bądź stosunek dwóch ich odpowiednich boków jest równy (z twierdzenia Pitagorasa wynika, że znając długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, można obliczyć długość trzeciego boku).

R1Z0ky730VYW11

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1guiH66W

Animacja pokazuje trzy różnych wymiarów zdjęcia żaglówki, na których narysowano trójkąty prostokątne o kątach 90 stopni i alfa. W pierwszym trójkącie brakujący kąt beta równy 90 stopni minus alfa. W drugim trójkącie kąt beta prim równy 90 stopni minus alfa równy beta. W trzecim trójkącie kąt beta bis równy 90 stopni minus alfa równy beta, więc trójkąty są podobne.

Ważne!

RowCTEI8IIxQ81

Rysunek dwóch trójkątów prostokątnych A B C i D E F. W obu trójkątach zaznaczony kąt o mierze alfa. Zapis: trójkąt A B C podobny do trójkąta D E F. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dwa trójkąty prostokątne są podobne, gdy stosunek dwóch ich odpowiednich boków jest równy.

R1ZJh5VGvbVEs1

Rysunek dwóch trójkątów prostokątnych M U R i T Y P. Zapis: stosunek długości boku MR do boku MU jest równy stosunkowi długości boku TP do boku TY. Trójkąt M U R podobny do trójkąta T Y P. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego $ABC$ są równe $36$ i $77$ . Przeciwprostokątna w trójkącie $EFG$ jest równa $17$ , a jedna z przyprostokątnych $7,2$ . Sprawdź, czy trójkąty te są podobne.

R52eH91B8pOPt1

Rysunek dwóch trójkątów prostokątnych A B C i E F G. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego A B C są równe 36 i 77 a przeciwprostokątna ma długość c. W trójkącie E F G przeciwprostokątna jest równa 17, a przyprostokątne mają długość 7,2 oraz d. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy długość przyprostokątnej $FD$ trójkąta $DEF$ , korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

d^{2} + {(7,2)}^{2} = 1 7^{2}

d^{2} = 289 - 51,84

d^{2} = 237,16

d = 15,4

d > 0

Znajdujemy stosunek dłuższych przyprostokątnych trójkątów $ABC$ i $DEF$ , a następnie krótszych.

\frac{77}{15,4} = 5

\frac{36}{7,2} = 5

Znalezione stosunki są równe, zatem trójkąty są podobne. Skala podobieństwa jest równa $5$ .

Przykład 2

W trójkącie prostokątnym $EWA$ podobnym do trójkąta $BUT$ kąty pozostają w stosunku $1 : 2 : 3$ .
Przeciwprostokątna trójkąta $BUT$ ma długość $6 cm$ . Oblicz pole trójkąta $BUT$ .
Obliczamy miary kątów ostrych trójkąta $EWA$ .

x + 2 x + 3 x = 180 °

gdzie

x > 0

6 x = 18 0^{°}

x = 30 °

2 x = 60 °

Kąty ostre trójkąta $EWA$ mają miary $30 °$ i $60 °$ .
Z podobieństwa trójkątów wynika, że miary kątów trójkąta $BUT$ są równe miarom kątów trójkąta $EWA$ .

R9P5geeE6Rjhy1

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy $u$ , $t$ – długości przyprostokątnych trójkąta $BUT$ . Z własności trójkąta prostokątnego o kątach $30 °$ i $60 °$ wynika, że $t = 3$ cm, $u = 3 \sqrt{3} cm$ .
Możemy więc obliczyć pole trójkąta $BUT$ .

P = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \sqrt{3} = 4,5 \sqrt{3}

Pole trójkąta $BUT$ jest równe $4,5 \sqrt{3} {cm}^{2}$

i4OVMKy7yZ_d5e200

Zastosowanie podobieństwa trójkątów prostokątnych

Przykład 3

Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku w punkcie $D$ . Kąt $ACB$ ma miarę $45 °$ . Trójkąt $EFG$ jest podobny do trójkąta $ABD$ w skali $5 : 1$ . Najdłuższy bok trójkąta $EFG$ ma długość $80$ . Oblicz długość okręgu o środku w punkcie $D$ i promieniu $DA$ .
Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg, zatem punkty $A, B, C$ leżą na okręgu.

RYNya6SNLOuW41

Rysunek trójkąta A B C wpisanego w okrąg o środku w punkcie D. Kąt wpisany A C B ma miarę 45 stopni, a kąt środkowy A D B oparty na tym samym łuku ma miarę 90 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt $ADB$ jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt $ACB$ . Ma zatem miarę dwa razy od niego większą .

|∢ ADB| = 2 \cdot |∢ ACB|

|∢ ADB| = 2 \cdot 45 ° = 90 °

Kąt ADB jest prosty, więc trójkąt $ADB$ jest prostokątny.
Ponieważ $|AD| = |BD|$ , zatem trójkąt $ADB$ jest równoramienny.
Trójkąt $EFG$ jest podobny do trójkąta $ADB$ , jest więc też trójkątem prostokątnym równoramiennym. Najdłuższy jego bok to przeciwprostokątna. Z podobieństwa trójkątów wynika, że przeciwprostokątna trójkąta ADB jest pięciokrotnie krótsza od przeciwprostokątnej trójkąta $EFG$ .

|AB| = 80 : 5 = 16

Odcinek DA to przyprostokątna trójkąta $ABD$ . Obliczamy długość tego odcinka.

|AB| = |DA| \cdot \sqrt{2}

|DA| = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8 \sqrt{2}

Obliczamy długość okręgu.

L = 2 \cdot π \cdot 8 \sqrt{2} = 16 π \sqrt{2}

Długość okręgu o środku w punkcie $D$ i promieniu $DA$ jest równa $16 π \sqrt{2}$ .

Przykład 4

Na placu Świątecznym stoi choinka, która rzuca cień długości $10 m$ . W tym samym czasie stojący pod drzewem Mikołaj o wzroście $180 cm$ rzuca cień długości $1,2 m$ . Oblicz wysokość choinki.
Oznaczamy przez $x$ wysokość choinki.
Zapisujemy wzrost Mikołaja w metrach.

180 cm = 1,8 m

Korzystając z podobieństwa trójkątów prostokątnych $ACE$ i $BCD$ , zapisujemy odpowiednią proporcję, z której wyznaczamy $x$ .

\frac{x}{1,8} = \frac{10}{1,2}

\begin{array}{l} 1,2 x = 18 \\ x = 15 \end{array}

Wysokość choinki jest równa $15 m$ .

Przykład 5

Aby określić przybliżoną odległość statku od brzegu, można wykorzystać sposób podany przez Talesa.
Na brzegu należy wbić cztery patyki. Pierwszy w punkcie $A$ – leżącym najbliżej statku. Drugi w punkcie $B$ , znajdującym się w określonej odległości od punktu $A$ (np. w odległości $60$ kroków). Trzeci w punkcie $C$ , znajdującym się w określonej odległości od $B$ (np. $30$ kroków) i leżącym na prostej $AB$ . Teraz należy znaleźć taki punkt $D$ , leżący na prostej prostopadłej do prostej $AC$ , że patyki wbite w punkcie $B$ oraz $D$ i statek $S$ znajdują się na jednej linii.
Załóżmy, że odległość z punktu $C$ do punktu $D$ wynosi $90$ kroków. Trójkąty $ASB$ i $BCD$ są trójkątami prostokątnymi podobnymi – miary ich kątów są równe. Zapisujemy wynikającą stąd proporcję i wyznaczamy długość odcinka $AS$ , czyli odległość statku od brzegu.

\frac{| AB |}{| AS |} = \frac{| BC |}{| CD |}

\frac{60}{| AS |} = \frac{30}{90}

30 |AS| = 60 \cdot 90

|AS| = 180

Przyjmując, że długość kroku człowieka wynosi około $0,7 m$ , stwierdzamy, że odległość statku od brzegu wynosi około $0,7 m \cdot 180 \approx 126 m$ .

R1eyFW1HFxXjR1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1guiH66W

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

E-podręczniki z matematyki

Przykład 6

W trapezie prostokątnym $ABCD$ , w którym kąt $ADC$ jest prosty, przedłużono ramiona do przecięcia w punkcie $E$ . Podstawy trapezu $ABCD$ mają długości $4$ i $6$ . Wysokość trapezu jest równa $10$ . Oblicz długość odcinka $BE$ .

RS3DiI5wLEsdF1

Rysunek trapezu prostokątnego A B C D z zaznaczonymi przedłużonymi ramionami do punktu przecięcia E. Powstał trójkąt prostokątny C D E o przyprostokątnych równych x oraz 44. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąt $CDE$ otrzymany po przedłużeniu ramion $AD$ i $BC$ trapezu, jest trójkątem prostokątnym. Odcinki $AB$ i $CD$ są równoległe, zatem kąty trójkąta $CDE$ są równe kątom trójkąta prostokątnego $AEB$ . Trójkąty te są podobne, zatem stosunki ich odpowiednich boków są równe.
Korzystając z tego, obliczymy długość $x$ boku $ED$ trójkąta $CDE$ .

\frac{|ED|}{|DC|} = \frac{|EA|}{|AB|}

\frac{x}{4} = \frac{x + 10}{6}

6 x = 4 x + 40

2 x = 40

x = 20

Trójkąt $AEB$ jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości $x + 10$ i 6, czyli $30$ i $6$ .
Odcinek $BE$ jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Jego długość obliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

{|BE|}^{2} = 3 0^{2} + 6^{2}

{|BE|}^{2} = 936

|BE| = \sqrt{936} = 6 \sqrt{26}

Długość odcinka $BE$ jest równa $6 \sqrt{26}$ .

Przykład 7

W trójkącie prostokątnym $ABC$ poprowadzono wysokość $CD$ z wierzchołka kąta prostego. Punkt $D$ podzielił przeciwprostokątną $AB$ na odcinki $|AD| = x$ i $|DB| = y$ . Wykaż, że ${|CD|}^{2} = xy$ .
Oznaczmy: $α, β$ - miary kątów ostrych w trójkącie $ABC$ .

R1TPwGnyqvWZA1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C podzielonego wysokością CD na dwa trójkąty prostokątne A D C i C D B. W trójkącie prostokątnym A D C zaznaczony kąt alfa i kąt 90 minus alfa. W trójkącie prostokątnym C D B zaznaczony kąt beta i kąt 90 minus beta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odcinek $CD$ dzieli trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty prostokątne $ADC$ i $CDB$ .
Kąty ostre w trójkącie $ADC$ mają miary $α$ i $90 ° - α$ . Kąty ostre w trójkącie $CDB$ mają miary $β$ i $90 ° - β$ .
Ponieważ $α + β = 90 °$ , więc $β = 90 ° - α$ i $α = 90 ° - β$ . Zatem trójkąty $ADC$ i $CDB$ mają równe kąty, są więc podobne.

RjRrwovREB8b21

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C podzielonego wysokością CD na dwa podobne trójkąty prostokątne A D C i C D B. W trójkącie prostokątnym A D C zaznaczony kąt alfa i kąt beta. W trójkącie prostokątnym C D B zaznaczony kąt alfa i kąt beta. Suma kątów alfa i beta jest równa 90 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisujemy wynikającą stąd proporcję i wyznaczamy ${|CD|}^{2}$ .

\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|DB|}{|CD|}

\frac{|CD|}{x} = \frac{y}{|CD|}

{|CD|}^{2} = xy

i4OVMKy7yZ_d5e371

classicmobile

Ćwiczenie 1

Trójkąty prostokątne $T$ i $M$ są podobne. Jeden z kątów trójkąta $T$ ma miarę $35 °$ . Wynika z tego, że różnica miar kątów ostrych trójkąta $M$ jest równa

R1e2a92b80Y6B

$10 °$
$15 °$
$20 °$
$55 °$

static

Ćwiczenie 1

Trójkąty prostokątne $T$ i $M$ są podobne. Jeden z kątów trójkąta $T$ ma miarę $35 °$ . Wynika z tego, że różnica miar kątów ostrych trójkąta $M$ jest równa

R1LiUV0UBi5p5

$10 °$
$15 °$
$20 °$
$55 °$

Ćwiczenie 2

Sprawdź, czy romby o przekątnych długości $9 dm$ i $4 dm$ oraz $5 dm$ i $11,25 dm$ są podobne.

Romby są podobne.
Wskazówka $-$ $\frac{9}{4} = \frac{11,25}{5}$

Ćwiczenie 3

Wykaż, że trójkąty $ABD$ i $BCD$ są podobne.

R1ObfRp1sU3J61

Rysunek kwadratu A B C D i rysunek trójkąta prostokątnego A B C. W kwadracie A B C D poprowadzona przekątna BD. W trójkącie A B C poprowadzona z kąta prostego wysokość BD leży na przeciwprostokątnej AC. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wskazówka $-$ należy pokazać równe kąty w tych trójkątach.

Ćwiczenie 4

Wskaż parę wielokątów podobnych. Uzasadnij, że są one podobne.

R3pxUgTDHcz2Q1

Rysunek różnych wielokątów. Na pierwszym rysunku prostokąt A E F N z poprowadzoną przekątną AF. Wewnątrz zaznaczone prostokąty A B J K, A C H L oraz A D G M. Punkty K, L, M leżą na boku AN prostokąta A E F N. Punkty B, C , D leżą na boku AE prostokąta A E F N. Punkty J, H, G leżą na przekątnej AF prostokąta A E F N. Na drugim rysunku trójkąt równoboczny M N O oraz trójkąt równoboczny O U W. Podstawy WU i MN w obu trójkątach są równoległe. Wierzchołki W i U trójkąta O W U leżą odpowiednio na bokach MO i NO trójkąta M N O. Na trzecim rysunku prostokąt A B C D z poprowadzonymi przekątnymi, które przecinają się punkcie W. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wszystkie prostokąty są podobne.
Trójkąt $MNO$ jest podobny do trójkąta $WUO$ .
Trójkąt $AWL$ jest podobny do trójkąta $BEW$ .

Ćwiczenie 5

W trójkąt prostokątny $ABC$ wpisano kwadrat $ADEF$ o boku długości $4 cm$ tak, jak na rysunku.
Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że przyprostokątna $AC$ ma długość $9 cm$ .

Re92PnBG0UUDC1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C, w który wpisany jest kwadrat A F E D. Wierzchołek D kwadratu leży na przyprostokątnej AC trójkąta, wierzchołek F na przyprostokątnej AB, zaś wierzchołek E na przeciwprostokątnej BC trójkąta A B C. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$P = 32,4 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 6

W trójkącie prostokątnym poprowadzono z wierzchołka kąta prostego wysokość. Wykaż, że utworzone w ten sposób trójkąty są podobne.

Ćwiczenie 7

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną na odcinki długości $25 dm$ i $9 dm$ . Oblicz pole trójkąta.

$255 {dm}^{2}$

Ćwiczenie 8

W okrąg o promieniu długości $2,5 cm$ wpisano trójkąt $A’B’C’$ podobny do trójkąta prostokątnego $ABC$ o bokach długości $9 cm, 12 cm$ i $15 cm$ . Jaki obwód ma trójkąt $A’B’C’$ ?

$12 cm$

Ćwiczenie 9

W trójkącie prostokątnym $ABC$ stosunek długości przyprostokątnych jest równy $\frac{7}{5}$ .
Trójkąt $A’B’C’$ jest podobny do trójkąta $ABC$ . Krótsza przyprostokątna trójkąta $A’B’C’$ ma długość
$10 cm$ . Jaką długość ma druga przyprostokątna?

$14 cm$

i4OVMKy7yZ_d5e606

Ćwiczenie 10

W trójkącie prostokątnym $ABC$ stosunek długości przyprostokątnych jest równy $\frac{4}{3}$ .
W trójkącie $A’B’C’$ długości boków wynoszą $15 cm, 12 cm, 9 cm$ . Czy ten trójkąt jest podobny do trójkąta $ABC$ ?

Ćwiczenie 11

W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości $5 cm$ i $10 cm$ . Oblicz długość tej wysokości.

$h = 5 \sqrt 2 cm$

Ćwiczenie 12

Trójkąt prostokątny $ABC$ ma przyprostokątne, długości $4$ i $3$ . Znajdź długość wysokości opuszczonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.

$h = \frac{12}{5}$

Ćwiczenie 13

Trójkąt prostokątny $ABC$ ma przyprostokątne długości $4$ i $3$ . Znajdź długości odcinków na które wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną.

$3,2$ oraz $1,8$

Ćwiczenie 14

Udowodnij, że długość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną iloczynu długości odcinków, na które dzieli ona przeciwprostokątną.

Wskazówka $-$ skorzystaj z podobieństwa odpowiednich trójkątów prostokątnych.

Ćwiczenie 15

Przekątna trapezu prostokątnego podzieliła go na dwa trójkąty prostokątne podobne. Krótsze ramię trapezu ma długość $6$ , a krótsza podstawa $8$ . Oblicz obwód trapezu.

$34$

Ćwiczenie 16

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną długości $30$ na dwa odcinki, z których jeden ma długość $x$ . Oblicz pole trójkąta.

$P = \frac{30 h}{2}$ , $h = \sqrt{xy},$ $y = 30 - x, h = \sqrt{x (30 - x)}$ , stąd $P = 15 \sqrt{x (30 - x)}$

Ćwiczenie 17

Dwa okręgi styczne zewnętrznie zostały wpisane w kąt (każdy z nich jest styczny do ramion kąta). Odległości środków tych okręgów od wierzchołka kąta wynoszą odpowiednio $20$ i $30$ . Oblicz obwody okręgów.

$8 π$ oraz $12 π$

Ćwiczenie 18

Podstawy trapezu mają długości $16$ i $12$ , a wysokość trapezu ma długość $9,6$ . Znajdź odległości punktu przecięcia się przedłużeń ramion boków nierównoległych tego trapezu od obu podstaw.

$28,8$ oraz $38,4$

Wielokąty podobne

Cechy podobieństwa trójkątów

Trójkąty prostokątne podobne

Podobieństwo trójkątów prostokątnych

Zastosowanie podobieństwa trójkątów prostokątnych