Przyjmijmy oznaczenia: $\left|AB\right|=a$, $\left|CD\right|=b$ $\left|$ \left|BE\right|=\frac{a+b}{2}=6$,$ \left|AE\right|=\frac{a-b}{2}=4$,$ \left\{\begin{array}{l}a+b=12\\ a-b=8\end{array}\right.$,$ a=10$,$ b=2$\right|$

Wtedy ${\left|DE\right|}^2+{\left|BE\right|}^2={\left|BD\right|}^2$, zatem ${\left|DE\right|}^2+6^2={10}^2$. Stąd $\left|DE\right|=8$ oraz $P_{ABCD}=\frac{10+2}{2}·8=48$.

Zauważmy, że obwód jest równy $52$. Oznaczmy długość dłuższej podstawy przez $a$. Z równości ramion i dłuższej podstawy mamy, że $3a+1=52$, stąd $a=17$. Z równości ramion wynika, że trapez ten jest równoramienny, a z przystawania odpowiednich trójkątów wynika, że odcinki, na jakie spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka krótszej podstawy, dzieli dłuższą podstawę mają długości: $\frac{17-1}{2}=8$ oraz $\frac{17+1}{2}=9$.

Wysokość $h$ trapezu jest równa $h=\sqrt{{17}^2-8^2}=15$, a pole: $P=\frac{17+1}{2}\cdot 15=135$.

Oznaczmy długość ramienia trapezu przez $c$.
Wtedy dłuższa podstawa jest równa $2c$, a krótsza: $c-2$. Z równości ramion wynika, że trapez ten jest równoramienny, a z przystawania odpowiednich trójkątów wynika, że długość odcinka, którego końcami są wierzchołek dłuższej podstawy i spodek bliższej wysokości poprowadzonej z wierzchołka krótszej podstawy, ma długość: $\frac{2c-\left(c-2\right)}{2}=\frac{c+2}{2}$. Zatem $c^2={\left(\frac{c+2}{2}\right)}^2+{\left(c-2\right)}^2$. Stąd $c^2-12c+20=0$. Rozwiązaniem ostatniego równania są liczby $10$ oraz $2$. Ale ostatnia liczba nie spełnia warunków zadania, zatem obwód jest równy: $2·10+2·10+\left(10-2\right)=48$.