Jak wiemy, jeżeli liczba naturalna dzieli się przez , to dwie ostatnie cyfry jej zapisu dziesiętnego tworzą liczbę podzielną przez .
Najpierw rozpatrzymy więc wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez , które można utworzyć zgodnie z warunkami zadania.
Ponieważ taka liczba dwucyfrowa ma ostatnią cyfrę parzystą, więc może to być jedna z cyfr: , lub .
Mamy więc dla takich liczb dwucyfrowych następujące rozłączne przypadki:
(1) jeżeli ostatnią cyfrą jest podzielna przez ósemka, to pierwsza cyfra musi być parzysta, a więc jest nią jedna z dwóch pozostałych cyfr parzystych: lub . Oznacza to, że w tym przypadku są dwie liczby dwucyfrowe podzielne przez .
(2) jeżeli ostatnią cyfrą jest lub , to pierwsza cyfra musi być nieparzysta, wobec tego za każdym razem mamy do wyboru jedną z pięciu cyfr ze zbioru . W tym przypadku jest więc liczb dwucyfrowych podzielnych przez .
Wynika stąd, że jest liczb dwucyfrowych, które mogą być zapisane na dwóch ostatnich miejscach zapisu dziesiętnego liczby pięciocyfrowej spełniającej warunki zadania.
Zauważmy, że w każdym z tych przypadków pozostaje nam uzupełnić pierwsze miejsca zapisu dziesiętnego tworzonej liczby. Zrobimy to wybierając różne cyfry z pozostałych .
Oznacza to, że wszystkich możliwości tego uzupełnienia jest tyle, ile trzyelementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru sześcioelementowego, czyli
.
Zatem wszystkich pięciocyfrowych liczb naturalnych, które spełniają warunki zadania jest
.