Przeczytaj
Rozpatrzmy doświadczenie polegające na wyborze kolejno elementów ze zbioru –elementowego, bez powtórzeń, gdzie jest liczbą całkowitą spełniającą warunek .
Korzystając z reguły mnożenia stwierdzamy, że liczba wszystkich możliwych wyników w takim doświadczeniu jest równa
Modelem dla tego typu doświadczenia jest –wyrazowy ciąg o elementach wybieranych bez powtórzeń ze zbioru –elementowego.
Doświadczenie polegające na wyborze kolejno elementów ze zbioru –elementowego, bez powtórzeń, gdzie jest liczbą całkowitą spełniającą warunek , nazywa się -wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru -elementowego.
Liczba wszystkich -elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru -elementowego jest równa
Zauważmy, że otrzymany wzór można przekształcić następująco
Zwyczajowo liczbę wszystkich -elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru -elementowego oznacza się symbolem .
Zatem dla dowolnych liczb całkowitych i takich, że mamy
Obliczymy, ile jest wszystkich funkcji różnowartościowych, których dziedziną jest zbiór , a zbiorem wartości jest zbiór .
Rozwiązanie
Każda opisana wyżej funkcja różnowartościowa da się wzajemnie jednoznacznie przyporządkować do czteroelementowego ciągu , którego elementy przyjmują parami różne wartości z siedmioelementowego zbioru .
Dla przykładu:
spełniającej warunki zadania funkcji , takiej, że , , , przypisany jest w ten sposób ciągciąg ,
ciągowi przypisana jest funkcja taka, że , , , .
Zatem wszystkich takich funkcji jest tyle, ile czteroelementowych wariacji bez powtórzeńwariacji bez powtórzeń zbioru siedmioelementowego, czyli .
Otrzymany wynik możemy również zapisać w postaci
.
Uwaga
Każda -elementowa wariacja bez powtórzeń zbioru -elementowego jest funkcją różnowartościową ze zbioru -elementowego do zbioru -elementowego, gdzie .
Pięcioro przyjaciół: Jaś, Małgosia, Adaś, Ewa i Hela ma wybrać pięć miejsc spośród jedenastu dostępnych w tym samym rzędzie w kinie. Obliczymy, na ile różnych sposobów mogą tego dokonać.
Rozwiązanie
Każdy dokonany wybór można przedstawić jako pięcioelementową wariację bez powtórzeń zbioru jedenastoelementowego.
Liczba wszystkich możliwych wyborów pięciu różnych miejsc w jedenastoelementowym rzędzie jest równa
.
Zatem jest rozmieszczeń opisanych warunkami zadania.
Wykażemy, że wszystkich pięcioelementowych wariacji bez powtórzeń zbioru piętnastoelementowego jest razy więcej niż wszystkich czteroelementowych wariacji bez powtórzeń zbioru trzynastoelementowego.
Dowód
Zauważmy, że
.
W ten sposób dowód został zakończony.
Obliczymy , wiedząc, że wszystkich trzyelementowych wariacji bez powtórzeń zbioru - elementowego jest .
Rozwiązanie
Z warunków zadania wynika, że liczba całkowita spełnia równanie
.
Zatem , a wtedy ciąg jest rosnący.
Ponieważ , więc .
Słownik
–wyrazowy ciąg o elementach wybieranych bez powtórzeń ze zbioru –elementowego, gdzie
funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste