Przeczytaj

Rozpatrzmy doświadczenie polegające na wyborze kolejno $k$ elementów ze zbioru $n$ –elementowego, bez powtórzeń, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunek $1 \leq k \leq n$ .

Korzystając z reguły mnożenia stwierdzamy, że liczba wszystkich możliwych wyników w takim doświadczeniu jest równa

\underset{k czynników}{\underset{⏟}{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)}}

Modelem dla tego typu doświadczenia jest $k$ –wyrazowy ciąg o elementach wybieranych bez powtórzeń ze zbioru $n$ –elementowego.

wariacja bez powtórzeń

Definicja: wariacja bez powtórzeń

Doświadczenie polegające na wyborze kolejno $k$ elementów ze zbioru $n$ –elementowego, bez powtórzeń, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunek $1 \leq k \leq n$ , nazywa się $k$ -wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru $n$ -elementowego.

liczba wszystkich

k

–elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru

n

-elementowego

Twierdzenie: liczba wszystkich

k

–elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru

n

-elementowego

Liczba wszystkich $k$ -elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n$ -elementowego jest równa

\underset{k czynników}{\underset{⏟}{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)}}

Zauważmy, że otrzymany wzór można przekształcić następująco

\frac{\underset{k czynników}{\underset{⏟}{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)}} \cdot (n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!}

Zwyczajowo liczbę wszystkich $k$ -elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n$ -elementowego oznacza się symbolem $V_{n}^{k}$ .

Zatem dla dowolnych liczb całkowitych $k$ i $n$ takich, że $1 \leq k \leq n$ mamy

V_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}

Przykład 1

Obliczymy, ile jest wszystkich funkcji różnowartościowych, których dziedziną jest zbiór $\{a, b, c, d\}$ , a zbiorem wartości jest zbiór $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ .

Rozwiązanie

Każda opisana wyżej funkcja różnowartościowa da się wzajemnie jednoznacznie przyporządkować do czteroelementowego ciągu $(a, b, c, d)$ , którego elementy przyjmują parami różne wartości z siedmioelementowego zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ .

Dla przykładu:

spełniającej warunki zadania funkcji $f$ , takiej, że $f (a) = 5$ , $f (b) = 7$ , $f (c) = 1$ , $f (d) = 2$ przypisany jest w ten sposób ciągciągciąg $(5, 7, 1, 2)$ ,

ciągowi $(3, 4, 6, 1)$ przypisana jest funkcja $f$ taka, że $f (a) = 3$ , $f (b) = 4$ , $f (c) = 6$ , $f (d) = 1$ .

Zatem wszystkich takich funkcji jest tyle, ile czteroelementowych wariacji bez powtórzeńwariacja bez powtórzeńwariacji bez powtórzeń zbioru siedmioelementowego, czyli $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$ .

Otrzymany wynik możemy również zapisać w postaci

$V_{7}^{4} = \frac{7!}{(7 - 4)!} = \frac{7!}{3!}$ .

bg‑gray1

Uwaga

Każda $k$ -elementowa wariacja bez powtórzeń zbioru $n$ -elementowego jest funkcją różnowartościową ze zbioru $k$ -elementowego do zbioru $n$ -elementowego, gdzie $1 \leq k \leq n$ .

Przykład 2

Pięcioro przyjaciół: Jaś, Małgosia, Adaś, Ewa i Hela ma wybrać pięć miejsc spośród jedenastu dostępnych w tym samym rzędzie w kinie. Obliczymy, na ile różnych sposobów mogą tego dokonać.

Rozwiązanie

Każdy dokonany wybór można przedstawić jako pięcioelementową wariację bez powtórzeń zbioru jedenastoelementowego.

Liczba wszystkich możliwych wyborów pięciu różnych miejsc w jedenastoelementowym rzędzie jest równa

$V_{11}^{5} = \frac{11!}{6!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 55440$ .

Zatem jest $55440$ rozmieszczeń opisanych warunkami zadania.

Przykład 3

Wykażemy, że wszystkich pięcioelementowych wariacji bez powtórzeń zbioru piętnastoelementowego jest $21$ razy więcej niż wszystkich czteroelementowych wariacji bez powtórzeń zbioru trzynastoelementowego.

Dowód

Zauważmy, że

$21 \cdot V_{13}^{4} = 21 \cdot \frac{13!}{(13 - 4)!} = \frac{21 \cdot 13!}{9!} = \frac{10 \cdot 21 \cdot 13!}{10 \cdot 9!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13!}{10!} = \frac{15!}{(15 - 5)!} = V_{15}^{5}$ .

W ten sposób dowód został zakończony.

Przykład 4

Obliczymy $n$ , wiedząc, że wszystkich trzyelementowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n$ - elementowego jest $990$ .

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że liczba całkowita $n$ spełnia równanie

$V_{n}^{3} = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) = 990$ .

Zatem $n > 2$ , a wtedy ciąg $a_{n} = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)$ jest rosnący.

Ponieważ $a_{11} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990$ , więc $n = 11$ .

Słownik

wariacja bez powtórzeń

$k$ –wyrazowy ciąg o elementach wybieranych bez powtórzeń ze zbioru $n$ –elementowego, gdzie $1 \leq k \leq n$

ciąg

funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste

Wprowadzenie

Animacja

Uwaga

Słownik