Jak wiemy, jeżeli liczba naturalna dzieli się przez $4$, to dwie ostatnie cyfry jej zapisu dziesiętnego tworzą liczbę podzielną przez $4$.

Najpierw rozpatrzymy więc wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez $4$, które można utworzyć zgodnie z warunkami zadania.

Ponieważ taka liczba dwucyfrowa ma ostatnią cyfrę parzystą, więc może to być jedna z cyfr: $2$, $6$ lub $8$.

Mamy więc dla takich liczb dwucyfrowych następujące rozłączne przypadki:

(1) jeżeli ostatnią cyfrą jest podzielna przez $4$ ósemka, to pierwsza cyfra musi być parzysta, a więc jest nią jedna z dwóch pozostałych cyfr parzystych: $2$ lub $6$. Oznacza to, że w tym przypadku są dwie liczby dwucyfrowe podzielne przez $4$.

(2) jeżeli ostatnią cyfrą jest $2$ lub $8$, to pierwsza cyfra musi być nieparzysta, wobec tego za każdym razem mamy do wyboru jedną z pięciu cyfr ze zbioru $\left\{1,3,5,7,9\right\}$. W tym przypadku jest więc $2·5=10$ liczb dwucyfrowych podzielnych przez $4$.

Wynika stąd, że jest $12$ liczb dwucyfrowych, które mogą być zapisane na dwóch ostatnich miejscach zapisu dziesiętnego liczby pięciocyfrowej spełniającej warunki zadania.

Zauważmy, że w każdym z tych $12$ przypadków pozostaje nam uzupełnić $3$ pierwsze miejsca zapisu dziesiętnego tworzonej liczby. Zrobimy to wybierając $3$ różne cyfry z pozostałych $6$.

Oznacza to, że wszystkich możliwości tego uzupełnienia jest tyle, ile trzyelementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru sześcioelementowego, czyli

$V_6^3=\frac{6!}{\left(6-3\right)!}=6·5·4=120$.

Zatem wszystkich pięciocyfrowych liczb naturalnych, które spełniają warunki zadania jest

$12·V_6^3=12·120=1440$.

$12·V_6^3=1440$.