Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RmMqnPkqOtjUP

Liczba wszystkich czteroelementowych wariacji bez powtórzeń zbioru siedmioelementowego jest równa

$210$
$840$
$343$
$2401$

Ćwiczenie 2

R1QfSkp8dZQQP

Oznaczmy przez $x$ liczbę wszystkich możliwych wyborów trzech osób: przewodniczącego, zastępcy i skarbnika do samorządu $32$ -osobowej klasy. Wówczas

$x = 32 \cdot 31 \cdot 30$
$x = \frac{32!}{3!}$
$x = 32^{3}$
$x = \frac{32!}{29!}$

Ćwiczenie 3

R1VaHRTiyo16h

Oblicz, ile jest wszystkich możliwych sześcioliterowych napisów o różnych literach wybranych z dziewięcioelementowego zbioru

"{"m, a, t, e, i, k, x, y, z"}"

W kratki poniżej wpisz kolejne cyfry otrzymanej liczby.

............ ............ ............ ............ ............

Ćwiczenie 4

R1FqdpPQZfmuB

Rozpatrzmy następujące trzy zbiory:

A = \{a, b, c, d\}

X = \{x, y, z\}

N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}

.
Oznaczmy przez:

k

- liczbę wszystkich funkcji różnowartościowych ze zbioru

A

do zbioru

N

m

- liczbę wszystkich funkcji różnowartościowych ze zbioru

X

do zbioru

N

.
Oblicz

\frac{k}{m}

.
W kratkach poniżej wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Tu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnij

Rozpatrzmy następujące trzy zbiory:
$A = "{"a, b, c, d"}"$ ,
$X = "{"x, y, z"}"$ ,
$N = "{"1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10"}"$ .
Oznaczmy przez:
$k$ - liczbę wszystkich funkcji różnowartościowych ze zbioru $A$ do zbioru $N$ ,
$m$ - liczbę wszystkich funkcji różnowartościowych ze zbioru $X$ do zbioru $N$ .
Oblicz $\frac{m}{k}$ .
W kratkach poniżej wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

............ ............ ............

Ćwiczenie 5

Rozmieszczamy $4$ różne kule w $10$ różnych pudełkach tak, żeby w każdym pudełku znalazła się co najwyżej jedna kula.

Wykaż, że wszystkich takich rozmieszczeń jest $5040$ .

Zauważmy, że warunki zadania są spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy każdej kuli przypiszemy dokładnie jedno pudełko do którego ta kula została wrzucona oraz gdy każde dwie różne kule zostały wrzucone do różnych pudełek. Zatem rozmieszczenie kul, które spełnia warunki zadania można zapisać jako czteroelementową wariację ze zbioru dziesięcioelementowego, bez powtórzeń. Oznacza to, że wszystkich rozmieszczeń spełniających warunki zadania jest $V_{10}^{4} = \frac{10!}{(10 - 4)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ . To spostrzeżenie kończy dowód.

Ćwiczenie 6

R1DWPp7rEBWAa

Oblicz $k$ , wiedząc, że

V_{22}^{6} = k \cdot V_{21}^{4}

W kratkach poniżej wpisz kolejno cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

............ ............ ............

Ćwiczenie 7

R16JDFK335wfe

Przyporządkuj do siebie pary równych liczb.

$30 \cdot V_{10}^{5}$
$10 \cdot V_{12}^{5}$
$143 \cdot V_{8}^{5}$

Ćwiczenie 8

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 4$ prawdziwa jest równość

$V_{n}^{4} + 4 \cdot V_{n}^{3} + 1 = {(V_{n}^{2} - 1)}^{2}$

Przekształcamy równoważnie wyrażenie zapisane z lewej strony równości:

$V_{n}^{4} + 4 \cdot V_{n}^{3} + 1 = \frac{n!}{(n - 4)!} + 4 \cdot \frac{n!}{(n - 3)!} + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) + 4 \cdot n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot ((n - 3) + 4) + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n + 1) + 1$ .

Następnie przekształcamy równoważnie wyrażenie zapisane z prawej strony równości:

${(V_{n}^{2} - 1)}^{2} = {(\frac{n!}{(n - 2)!} - 1)}^{2} = {(n \cdot (n - 1) - 1)}^{2} =$

$= {(n \cdot (n - 1))}^{2} - 2 \cdot n \cdot (n - 1) + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n \cdot (n - 1) - 2) + 1 = n \cdot (n - 1) \cdot (n^{2} - n - 2) + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n + 1) + 1$ .

Wobec tego dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 4$ zadana równość jest prawdziwa. To kończy dowód.

Animacja

Dla nauczyciela