Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RmMqnPkqOtjUP

Ćwiczenie 2

R1QfSkp8dZQQP

Ćwiczenie 3

R1VaHRTiyo16h

Ćwiczenie 4

R1FqdpPQZfmuB

Ćwiczenie 5

Rozmieszczamy $4$ różne kule w $10$ różnych pudełkach tak, żeby w każdym pudełku znalazła się co najwyżej jedna kula.

Wykaż, że wszystkich takich rozmieszczeń jest $5040$ .

Zauważmy, że warunki zadania są spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy każdej kuli przypiszemy dokładnie jedno pudełko do którego ta kula została wrzucona oraz gdy każde dwie różne kule zostały wrzucone do różnych pudełek. Zatem rozmieszczenie kul, które spełnia warunki zadania można zapisać jako czteroelementową wariację ze zbioru dziesięcioelementowego, bez powtórzeń. Oznacza to, że wszystkich rozmieszczeń spełniających warunki zadania jest $V_{10}^{4} = \frac{10!}{(10 - 4)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ . To spostrzeżenie kończy dowód.

Ćwiczenie 6

R1DWPp7rEBWAa

Ćwiczenie 7

R16JDFK335wfe

Ćwiczenie 8

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 4$ prawdziwa jest równość

$V_{n}^{4} + 4 \cdot V_{n}^{3} + 1 = {(V_{n}^{2} - 1)}^{2}$

Przekształcamy równoważnie wyrażenie zapisane z lewej strony równości:

$V_{n}^{4} + 4 \cdot V_{n}^{3} + 1 = \frac{n!}{(n - 4)!} + 4 \cdot \frac{n!}{(n - 3)!} + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) + 4 \cdot n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot ((n - 3) + 4) + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n + 1) + 1$ .

Następnie przekształcamy równoważnie wyrażenie zapisane z prawej strony równości:

${(V_{n}^{2} - 1)}^{2} = {(\frac{n!}{(n - 2)!} - 1)}^{2} = {(n \cdot (n - 1) - 1)}^{2} =$

$= {(n \cdot (n - 1))}^{2} - 2 \cdot n \cdot (n - 1) + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n \cdot (n - 1) - 2) + 1 = n \cdot (n - 1) \cdot (n^{2} - n - 2) + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n + 1) + 1$ .

Wobec tego dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 4$ zadana równość jest prawdziwa. To kończy dowód.

Animacja

Dla nauczyciela