Ponieważ $\mathrm{tg}\alpha =\frac{9}{1}$, więc budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $\alpha$ długości $9$ i drugiej przyprostokątnej długości $1$.

R1KhpmDD2cAwl

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o bokach 9, 1 i c. C jest przeciwprostokątną trójkąta. Pomiędzy bokami 1 i c znajduje się kąt alfa.

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej.

$c^2=9^2+1^2$, zatem $c=\sqrt{9^2+1^2}=\sqrt{81+1}=\sqrt{82}$

Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:

$\sin \alpha =\frac{9}{\sqrt{82}}=\frac{9\sqrt{82}}{82}$ i $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{82}}=\frac{\sqrt{82}}{82}$.

$\sin \alpha =\frac{9\sqrt{82}}{82}$ i $\cos \alpha =\frac{\sqrt{82}}{82}$.

Z treści zadania mamy, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{7}{5}\sin \alpha$, czyli $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{7}{5}\sin \alpha$ i $\cos \alpha \ne 0$.

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{7\sin \alpha }{5}$

Po podzieleniu stronami powyższego równania przez $\sin \alpha$$\left(\sin \alpha \ne 0\right)$, otrzymujemy: $\frac{1}{\cos \alpha }=\frac{7}{5}$, stąd $\cos \alpha =\frac{5}{7}$.

Sinus kąta $\alpha$ wyliczymy z zależności: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$.

Podstawiając $\cos \alpha =\frac{5}{7}$, otrzymujemy:

${\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{5}{7}\right)}^2=1-\frac{25}{49}=\frac{24}{49}$.

Rozwiązaniem równania ${\sin }^2\alpha =\frac{24}{49}$ są dwie liczby: $\sqrt{\frac{24}{49}}$ lub $-\sqrt{\frac{24}{49}}$.

Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, więc:

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{24}{49}}=\frac{\sqrt{4·6}}{\sqrt{7·7}}=\frac{2\sqrt{6}}{7}$.

Wykorzystując związek $\mathrm{tg}\alpha =\frac{7}{5}\sin \alpha$, wyliczamy $\mathrm{tg}\alpha$.

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{7}{5}\sin \alpha =\frac{7}{5}·\frac{2\sqrt{6}}{7}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\cos \alpha =\frac{5}{7}$, $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{7}$ i $\mathrm{tg}\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$.