Pierwiastki kwadratowe i sześcienne

Ćwiczenie 1

R1SVWN8gTTeR91

Przeciągnij i upuść.

$1$ , $- 2$ , $- 49$ , $16$ , $12$ , $22$ , $0,5$ , $121$ , $64$ , $0$ , $- 22$ , $2$ , $5$ , $- 121$ , $0,025$ , $8$ , $49$ , $- 14$ , $0,25$ , $32$ , $- 1$ , $14$

$1^{2} =$ ............
$0^{2} =$ ............
${(- 11)}^{2} =$ ............
$4^{2} =$ ............
${(0, 5)}^{2} =$ ............
${(- 7)}^{2} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R1Eg8p7ZOC9WZ

Uzupełnij zapisy, przeciągając takie liczby niedodatnie, aby ich kwadraty miały podaną wartość.

$1$ , $- 7$ , $7$ , $8$ , $0$ , $5$ , $- 4$ , $0,5$ , $2$ , $- 1$ , $- 0,05$ , $11$ , $- 2$ , $- 11$ , $- 0,5$ , $0,05$ , $4$ , $- 5$ , $- 8$

$16$ ............
$0,25$ ............
$1$ ............
$49$ ............
$121$ ............
$0$ ............

Pierwiastki kwadratowe i sześcienne liczb - zadanie silnikowe

Zapamiętaj!

Szukanie liczby nieujemnej na podstawie danego jej kwadratu nazywa się obliczaniem pierwiastka kwadratowego z danej liczby nieujemnej.

Pierwiastek kwadratowy

Definicja: Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej $a$ nazywamy taką liczbę nieujemną $b$ , której kwadrat jest równy liczbie $a$ . Pierwiastek ten oznaczamy symbolem $\sqrt{a}$ .
Pierwiastek kwadratowy nazywany jest również pierwiastkiem stopnia drugiego.
Mówimy, że liczba $a$ w wyrażeniu $\sqrt{a}$ to liczba podpierwiastkowa.

Jeśli $a \geq 0$ i $b \geq 0$ , to $\sqrt{a} = b$ , wtedy i tylko wtedy, gdy $b^{2} = a$ .

RlBMazn3admaM1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Przykład 1

TABELA
$\sqrt{16} = 4, bo 4^{2} = 16$ $\sqrt{0,25} = 0,5, bo {0,5}^{2} = 0,25$ $\sqrt{1} = 1, bo 1^{2} = 1$ $\sqrt{49} = 7, bo 7^{2} = 49$ $\sqrt{121} = 11, bo 11^{2} = 121$ $\sqrt{0} = 0, bo 0^{2} = 0$	$\sqrt{36} = 6, bo 6^{2} = 36$ $\sqrt{81} = 9, bo 9^{2} = 81$ $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}, bo {(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$ $\sqrt{1,69} = 1,3, bo {(1,3)}^{2} = 1,69$ $\sqrt{1 \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}, bo {(1 \frac{1}{4})}^{2} = 1 \frac{9}{16}$

Pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych nie określamy, ponieważ nie znamy takich liczb, które podniesione do kwadratu mają wartość ujemną.

Przykład 2

R128azMV0qNbc1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

ipMVGmMaqz_d5e276

Zapamiętaj!

Dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ zachodzą równości:

{(\sqrt{a})}^{2} = a, \sqrt{a^{2}} = a, \sqrt{a} ∙ \sqrt{a} = a .

Na przykład:
$\sqrt{57} ∙ \sqrt{57} = 57$
${(\sqrt{129})}^{2} = 129$
$\sqrt{698^{2}} = 698$

Przykład 3

R1I7r4mw8ITi11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Zapamiętaj!

Dla dowolnej liczby $a$ zachodzą równości:

{(\sqrt[3]{a})}^{3} = a, \sqrt[3]{a^{3}} = a, \sqrt[3]{a} ∙ \sqrt[3]{a} ∙ \sqrt[3]{a} = a

Na przykład:
$\sqrt[3]{74} ∙ \sqrt[3]{74} ∙ \sqrt[3]{74} = 74$
$({\sqrt[3]{127})}^{3} = 127$
$\sqrt[3]{{6,435}^{3}} = 6,435$

Ćwiczenie 3

Rp192bCfcnyAz1

Przeciągnij i upuść.

$100$ , $6$ , $12$ , $8$ , $- 8$ , $1000$ , $3$ , $30$ , $\frac{3}{27}$ , $- \frac{3}{27}$ , $- 3$ , $- 125$ , $64$ , $- \frac{1}{27}$ , $32$ , $1$ , $\frac{1}{27}$ , $- 1$ , $16$ , $125$ , $- 6$ , $- 15$

$2^{3} =$ ............
${(- 1)}^{3} =$ ............
${(- \frac{1}{3})}^{3} =$ ............
$4^{3} =$ ............
${(- 5)}^{3} =$ ............
$10^{3} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Szukanie liczby na podstawie danego jej sześcianu nazywa się obliczaniem pierwiastka sześciennego z danej liczby.

Pierwiastek sześcienny

Definicja: Pierwiastek sześcienny

Pierwiastkiem sześciennym z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , której sześcian jest równy liczbie $a$ . Pierwiastek ten oznaczamy symbolem $\sqrt[3]{a}$ .
Pierwiastek sześcienny nazywany jest również pierwiastkiem stopnia trzeciego.
$\sqrt[3]{a} = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b^{3} = a$ .

RPSxhNsvWYCin1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Przykład 4

$\sqrt[3]{64} = 4$ , bo $4^{3} = 64$
$\sqrt[3]{- \frac{1}{27}} = - \frac{1}{3}$ , bo ${(- \frac{1}{3})}^{3} = - \frac{1}{27}$
$\sqrt[3]{- 1} = - 1$ , bo ${(- 1)}^{3} = - 1$
$\sqrt[3]{8} = 2$ , bo $2^{3} = 8$
$\sqrt[3]{1000} = 10$ , bo $10^{3} = 1000$
$\sqrt[3]{- 125} = - 5,$ bo ${(- 5)}^{3} = - 125$
$\sqrt[3]{- \frac{1}{8}} = - \frac{1}{2}$ , bo ${(- \frac{1}{2})}^{3} = - \frac{1}{8}$
$\sqrt[3]{27} = 3$ , bo $3^{3} = 27$
$\sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{4}{5}$ , bo ${(\frac{4}{5})}^{3} = \frac{64}{125}$
$\sqrt[3]{- 0,008} = - 0,2,$ bo ${(- 0,2)}^{3} = - 0,008$
$\sqrt[3]{- \frac{1000}{343}} = - \frac{10}{7},$ bo, ${(- \frac{10}{7})}^{3} = - \frac{1000}{343}$

Reguła:

Dla dowolnej liczby $a$ zachodzi równość $\sqrt[3]{- a} = - \sqrt[3]{a} .$
Na przykład

\sqrt[3]{- 125} = - 5, - \sqrt[3]{125} = - 5,

czyli

\sqrt[3]{- 125} = - \sqrt[3]{125} = - 5 .

ipMVGmMaqz_d5e588

Przykład 5

Nie zawsze jest możliwe podanie takiej liczby, której druga lub trzecia potęga jest równa liczbie podpierwiastkowej. Zastanówmy się, ile jest równy $\sqrt{5}$ . Zgodnie z pojęciem pierwiastka kwadratowego, jest to taka liczba nieujemna, której kwadrat jest równy $5$ .
Szukaną liczbą nie jest $2$ , ponieważ $2^{2} = 4 < 5$ , ani $3$ , ponieważ $3^{2} = 9 > 5$ .
Zatem $\sqrt{5}$ jest większy od $2$ i mniejszy od $3$ .
Spróbujmy dokładniej przybliżyć wartość $\sqrt{5}$ poprzez wyznaczanie kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego tej liczby. Obliczmy kwadraty liczb od $2,1$ do $2,9$ .

{(2,1)}^{2} = 4,41

{(2,2)}^{2} = 4,84

{(2,3)}^{2} = 5,29

{(2,4)}^{2} = 5,76

{(2,5)}^{2} = 6,25

{(2,6)}^{2} = 6,76

{(2,7)}^{2} = 7,29

{(2,8)}^{2} = 7,84

{(2,9)}^{2} = 8,41

Ponieważ ${(2,2)}^{2} = 4,84 < 5 < 5,29 = {(2,4)}^{2}$ , to $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ .
Postępując podobnie, czyli obliczając kwadraty liczb od $2,21$ do $2,29$ , otrzymamy:

{(2,23)}^{2} = 4,9729

{(2,24)}^{2} = 5,0176

Ponieważ ${(2,23)}^{2} = 4,9729 < 5 < 5,0176 = {(2,23)}^{2}$ , to $2,23 < \sqrt{5} < 2,24$ .
Obliczając kwadraty liczb od $2,231$ do $2,232$ , otrzymamy:

{(2,236)}^{2} = 4,999696

{(2,237)}^{2} = 5,004169

Ponieważ ${(2,236)}^{2} = 4,999696 < 5 < 5,004169 = {(2,237)}^{2}$ , to $2,236 < \sqrt{5} < 2,237$
Postępując w podobny sposób, wyznaczymy kolejne cyfry po przecinku, które występują w rozwinięciu dziesiętnym liczby $\sqrt{5} .$
Otrzymujemy

\sqrt{5} \approx 2,236067978

W rozwinięciu dziesiętnym liczby $\sqrt{5}$ nie powtarza się żadna grupa cyfr i jest ich nieskończenie wiele. Nie można zapisać liczby $\sqrt{5}$ w postaci liczby wymiernej.
Zatem liczba $\sqrt{5}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Jest ona przykładem liczby niewymiernej. Jej wartość podawana jest najczęściej w przybliżeniu do dwóch miejsc po przecinku i wynosi: $\sqrt{5} \approx 2,24$ .

R1JJmxGKC28Ty1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Zapamiętaj!

Liczba niewymierna to liczba, której nie można przedstawić w postaci ułamka $\frac{a}{b}$ , gdzie $a$ , $b$ są liczbami całkowitymi i $b \neq 0$ .
Każda liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe.

Przykład 6

Przykładami liczb, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone nieokresowe, są:

$π = 3,14$
$2,30300300030000300000$ ….
$0,123456789101112131415$ …..

Przykładami liczb niewymiernych są pierwiastki kwadratowe z liczb dodatnich, które nie są kwadratami liczb wymiernych i pierwiastki sześcienne z liczb, które nie są sześcianami liczb wymiernych. Na przykład:

\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{7}, \sqrt{11}, \sqrt{20}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{5}, \sqrt[3]{25}, \sqrt[3]{81}, \sqrt[3]{100 .}

Do obliczeń stosuje się ich przybliżenia, najczęściej z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku, które otrzymujemy na przykład za pomocą kalkulatora.

\sqrt{2} \approx 1,41

\sqrt{3} \approx 1,73

RQphH9Zl4ZY4Z

Ćwiczenie 4

Przeciągnij i upuść.

\sqrt{25} =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{3}{9}

, 3.

4

, 4.

\frac{3}{8}

, 5.

5

, 6.

\frac{3}{5}

, 13.

\frac{3}{10}

, 14.

6

, 15.

7

, 16.

5

\sqrt[3]{125} =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{3}{9}

, 3.

4

, 4.

\frac{3}{8}

, 5.

5

, 6.

\frac{3}{5}

, 13.

\frac{3}{10}

, 14.

6

, 15.

7

, 16.

5

\sqrt[3]{\frac{27}{64}} =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{3}{9}

, 3.

4

, 4.

\frac{3}{8}

, 5.

5

, 6.

\frac{3}{5}

, 13.

\frac{3}{10}

, 14.

6

, 15.

7

, 16.

5

\sqrt{\frac{9}{64}} =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{3}{9}

, 3.

4

, 4.

\frac{3}{8}

, 5.

5

, 6.

\frac{3}{5}

, 13.

\frac{3}{10}

, 14.

6

, 15.

7

, 16.

5

\sqrt{\frac{9}{16}} =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{3}{9}

, 3.

4

, 4.

\frac{3}{8}

, 5.

5

, 6.

\frac{3}{5}

, 13.

\frac{3}{10}

, 14.

6

, 15.

7

, 16.

5

\sqrt[3]{64} =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{3}{9}

, 3.

4

, 4.

\frac{3}{8}

, 5.

5

, 6.

\frac{3}{5}

, 13.

\frac{3}{10}

, 14.

6

, 15.

7

, 16.

5

\sqrt{16} =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{3}{9}

, 3.

4

, 4.

\frac{3}{8}

, 5.

5

, 6.

\frac{3}{5}

, 13.

\frac{3}{10}

, 14.

6

, 15.

7

, 16.

5

\sqrt[3]{\frac{27}{512}} =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{3}{9}

, 3.

4

, 4.

\frac{3}{8}

, 5.

5

, 6.

\frac{3}{5}

, 13.

\frac{3}{10}

, 14.

6

, 15.

7

, 16.

5

Przeciągnij i upuść.

$\frac{3}{8}$ , $8$ , $\frac{3}{6}$ , $\frac{3}{4}$ , $5$ , $5$ , $4$ , $\frac{3}{8}$ , $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{9}$ , $4$ , $\frac{3}{10}$ , $6$ , $\frac{3}{4}$ , $7$ , $9$

$\sqrt{25} =$ ............
$\sqrt[3]{125} =$ ............
$\sqrt[3]{\frac{27}{64}} =$ ............
$\sqrt{\frac{9}{64}} =$ ............
$\sqrt{\frac{9}{16}} =$ ............
$\sqrt[3]{64} =$ ............
$\sqrt{16} =$ ............
$\sqrt[3]{\frac{27}{512}} =$ ............

Ćwiczenie 5

Oblicz w pamięci.

$\sqrt{9}, \sqrt{36}, \sqrt{49}, \sqrt{81}$
$\sqrt{100}, \sqrt{144}, \sqrt{225}, \sqrt{900}$
$\sqrt{1600}, \sqrt{16900}, \sqrt{250000,} \sqrt{1000000}$
$\sqrt{0,000009}, \sqrt{0,04}, \sqrt{0,64}, \sqrt{1,21}, \sqrt{6,25}$

$3, 6, 7, 9$
$10, 12, 15, 30$
$40, 130, 500, 1000$
$0,003, 0,2, 0,8, 1,1, 2,5$

ipMVGmMaqz_d5e762

Ćwiczenie 6

Oblicz w pamięci.

$\sqrt[3]{1}, \sqrt[3]{- 8}, \sqrt[3]{27}, \sqrt[3]{- 64}$
$\sqrt[3]{1000}, \sqrt[3]{- 8000}, \sqrt[3]{125000}, \sqrt[3]{- 27000}$
$\sqrt[3]{- 0,001}, \sqrt[3]{0,008}, \sqrt[3]{- 0,125}, \sqrt[3]{0,064}$

$1, - 2, 3, - 4$
$10, - 20, 50, - 30$
$- 0,1, 0,2, - 0,5, 0,4$

Ćwiczenie 7

Oblicz w pamięci.

$\sqrt{\frac{1}{25}}, \sqrt{\frac{64}{289}}, \sqrt{\frac{121}{225}}, \sqrt{\frac{49}{900}}, \sqrt{\frac{100}{169}}, \sqrt{\frac{324}{2500}}$
$\sqrt[3]{- \frac{1}{27}}, \sqrt[3]{\frac{8}{125}}, \sqrt[3]{- \frac{27}{64}}, \sqrt[3]{- \frac{125}{1000}}, \sqrt[3]{\frac{216}{8000}}, \sqrt[3]{- \frac{27000}{125000}}$

$\frac{1}{5}, \frac{8}{17}, \frac{11}{15}, \frac{7}{30}, \frac{10}{13}, \frac{18}{50}$
$- \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, - \frac{3}{4}, - \frac{5}{10}, \frac{6}{20}, - \frac{30}{50}$

Ćwiczenie 8

Oblicz.

$\sqrt{5 \frac{1}{16}}, \sqrt{1 \frac{11}{25}}, \sqrt{2 \frac{14}{25}}, \sqrt{3 \frac{13}{36}}, \sqrt{2 \frac{2}{49}}, \sqrt{7 \frac{1}{9}}$
$\sqrt[3]{2 \frac{10}{27}}, \sqrt[3]{4 \frac{17}{27}}, \sqrt[3]{- 1 \frac{61}{64}}, \sqrt[3]{- 37 \frac{1}{27}}, \sqrt[3]{3 \frac{3}{8}}, \sqrt[3]{- 1 \frac{91}{125}}$

$2 \frac{1}{4}, 1 \frac{1}{5}, 1 \frac{3}{5}, 1 \frac{5}{6}, 1 \frac{3}{7}, 2 \frac{2}{3}$
$1 \frac{1}{3}, 1 \frac{2}{5}, - 1 \frac{1}{4}, 3 \frac{1}{3}, 1 \frac{1}{2}, - 1 \frac{1}{5}$

Ćwiczenie 9

Oblicz.

$\sqrt{676}, \sqrt{1024}, \sqrt{1089}, \sqrt{1764}, \sqrt{44100}$
$\sqrt[3]{729}, \sqrt[3]{1728}, \sqrt[3]{4096}, \sqrt[3]{10648}, \sqrt[3]{15625}$

$26, 32, 33, 42, 210$
$9, 12, 16, 22, 25$

Ćwiczenie 10

RCjGzpPX8eC9f1

Które z podanych liczb są wymierne, a które niewymierne?

Przeciągnij elementy z dolnej sekcji do górnej.

liczby wymierne
liczby niewymierne

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfPMd9Hx0RvP3

Ćwiczenie 11

Wybierz liczby niewymierne.

$\sqrt[3]{15}$
$\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
$\sqrt{6}$
$\sqrt{2 \frac{4}{9}}$
$\sqrt{100,64}$
$\sqrt[3]{- \frac{1}{16}}$
$\sqrt{1000}$
$\sqrt{1,69}$
$\sqrt{400}$
$\sqrt{2 \frac{7}{9}}$
$\sqrt[3]{- 27}$
$\sqrt[3]{1000}$
$\sqrt{225}$
$\sqrt{0,64}$

R5aYWfFSzFBUW

Ćwiczenie 12

Przeciągnij i upuść.

$>$ , $>$ , $<$ , $<$ , $>$ , $=$

$\sqrt{64}$ ............ $\sqrt[3]{64}$
$\sqrt{49}$ ............ $\sqrt{9}$
$\sqrt{4}$ ............ $\sqrt[3]{8}$
$- \sqrt{25}$ ............ $- \sqrt[3]{- 125}$
$\sqrt[3]{- 1000}$ ............ $- \sqrt[3]{729}$
$- \sqrt{0,0004}$ ............ $\sqrt[3]{- 0,008}$

Ćwiczenie 13

Oblicz, jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe

$16 {mm}^{2}$
$64 m^{2}$
$0,0025 c m^{2}$
$2,25 {mm}^{2}$
$1 d m^{2}$
$\frac{8}{50} c m^{2}$
$100 m^{2}$
$40 000 000 000 {cm}^{2}$

$4 mm$
$8 m$
$0,05 cm$
$1,5 mm$
$1 dm$
$\frac{2}{5} cm$
$10 m$
$200000 cm$

ipMVGmMaqz_d5e1144

Ćwiczenie 14

Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa podanej wartości.

$27 {cm}^{3}$
$0,064 m^{3}$
$0,001 d m^{3}$
$1,728 m m^{3}$
$\frac{250}{432} m^{3}$
$8 d m^{3}$
$18 \frac{26}{27} k m^{3}$

$3 cm$
$0,4 m$
$0,1 dm$
$1,2 mm$
$\frac{5}{6} m$
$2 dm$
$2 \frac{2}{3} km$

R1bxG2icyvsiD

Ćwiczenie 15

Pole powierzchni kwadratowego dywanu jest równe $3,24 m^{2}$ powierzchni. Ile taśmy wykończeniowej należy kupić na obszycie brzegów tego dywanu?

$720 cm$
$72 cm$
$7200 m$
$7,2 cm$

Ćwiczenie 16

R1P2FEqhBXwOJ1

Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

$\sqrt{\frac{9}{25}}$
$- \sqrt{1,44}$
$- \sqrt[3]{125}$
$\sqrt[3]{0,008}$
$\sqrt{25}$
$\sqrt{\frac{1}{625}}$
$- \sqrt[3]{- \frac{27}{64}}$
$\sqrt[3]{0}$
$- \sqrt[3]{1}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

RbfwNJshpFaNH1

Przeciągnij i upuść.

$\sqrt{35}$ , $- \sqrt[3]{0,027}$ , $- \sqrt[4]{0,021}$ , $\sqrt{0,14}$ , $\sqrt[3]{- 0,002}$ , $\sqrt{\frac{15}{82}}$ , $- \sqrt[5]{0,025}$ , $\sqrt[3]{- 0,008}$ , $\sqrt{39}$ , $\sqrt{0,16}$ , $- \sqrt[3]{- 32}$ , $- \sqrt[3]{- 48}$ , $\sqrt{\frac{16}{83}}$ , $\sqrt{36}$ , $- \sqrt[3]{- 64}$ , $\sqrt{\frac{16}{81}}$ , $\sqrt[3]{- 0,004}$ , $\sqrt{0,0144}$

.............. $= 6$
.............. $= \frac{4}{9}$
.............. $= 0,12$
.............. $=- 0,2$
.............. $= 4$
.............. $=- 0,3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

RWe5DSufTFk5n1

Przeciągnij i upuść.

$\sqrt{- \frac{2}{10} + 2}$ , $\sqrt[3]{- 6 - 2}$ , $- \sqrt[3]{- \frac{37}{34} + 1}$ , $\sqrt{1 + 63}$ , $\sqrt{- \frac{2}{9} + 2}$ , $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 2}$ , $\sqrt{3 - \frac{45}{81}}$ , $\sqrt{- \frac{2}{8} + 2}$ , $\sqrt[3]{- 5 - 2}$ , $\sqrt[3]{7 + 118}$ , $\sqrt{1 - \frac{45}{49}}$ , $\sqrt{2 - \frac{43}{49}}$ , $\sqrt[3]{- 6 - 3}$ , $\sqrt[3]{7 + 119}$ , $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 1}$ , $\sqrt{2 + 61}$ , $\sqrt[3]{4 + 118}$ , $\sqrt{2 + 60}$

.................. $= 8$
.................. $= \frac{2}{7}$
.................. $= 1 \frac{1}{3}$
.................. $=- 2$
.................. $= 5$
.................. $=- \frac{3}{4}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

Oblicz wartość podanego wyrażenia arytmetycznego.

$\sqrt{36 + 64}$
$\sqrt{144} - \sqrt{100}$
$- \sqrt[3]{8} + \sqrt{64}$
$\sqrt[3]{- 27} - \sqrt[3]{- 1000}$
$\sqrt[3]{\frac{1}{125}} + \sqrt{\frac{1}{25}} - \sqrt[3]{125} + \sqrt{25}$
$\sqrt{5 \frac{1}{16}} ∙ \frac{\sqrt{4}}{27}$
$\sqrt{2 \frac{1}{4}} - \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{- 8} - \sqrt[3]{- 64}$

$10$
$2$
$6$
$7$
$\frac{2}{5}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{3}{2}$

Ćwiczenie 20

Oblicz wartość podanego wyrażenia arytmetycznego.

$\sqrt{\sqrt{16} + \sqrt{9} + \sqrt{4}}$
$\sqrt{\sqrt{64} - \sqrt[3]{64}}$
$\sqrt{\sqrt{144} + \sqrt{225} - \sqrt[3]{8}}$
$\sqrt{6^{2} + 8^{2}}$
$\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{9}}}}$
$\sqrt[3]{- 5^{2} - 10^{2}}$
$\sqrt[3]{3^{3} + 4^{3} + 5^{3}}$
$\sqrt[3]{6^{3} + 8^{3} + 10^{3}}$
$\sqrt[3]{1 - \sqrt{81}}$
$\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{1} - \sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{8}}}$

$3$
$2$
$5$
$10$
$3$
$- 5$
$6$
$12$
$- 2$
$- \frac{1}{2}$

Działania na potęgach o wykładniku naturalnym

Własności pierwiastków