Pierwiastki kwadratowe i sześcienne
Przeciągnij i upuść.
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
............
............
............
............
............
............
Uzupełnij zapisy, przeciągając takie liczby niedodatnie, aby ich kwadraty miały podaną wartość.
, , , , , , , , , , , , , , , , , ,
............
............
............
............
............
............
Szukanie liczby nieujemnej na podstawie danego jej kwadratu nazywa się obliczaniem pierwiastka kwadratowego z danej liczby nieujemnej.
Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej nazywamy taką liczbę nieujemną , której kwadrat jest równy liczbie . Pierwiastek ten oznaczamy symbolem .
Pierwiastek kwadratowy nazywany jest również pierwiastkiem stopnia drugiego.
Mówimy, że liczba w wyrażeniu to liczba podpierwiastkowa.
Jeśli i , to , wtedy i tylko wtedy, gdy .
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja
Pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych nie określamy, ponieważ nie znamy takich liczb, które podniesione do kwadratu mają wartość ujemną.
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja
Dla dowolnej liczby nieujemnej zachodzą równości:
Na przykład:
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja
Dla dowolnej liczby zachodzą równości:
Na przykład:
Przeciągnij i upuść.
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
............
............
............
............
............
............
Szukanie liczby na podstawie danego jej sześcianu nazywa się obliczaniem pierwiastka sześciennego z danej liczby.
Pierwiastkiem sześciennym z liczby nazywamy taką liczbę , której sześcian jest równy liczbie . Pierwiastek ten oznaczamy symbolem .
Pierwiastek sześcienny nazywany jest również pierwiastkiem stopnia trzeciego.
wtedy i tylko wtedy, gdy .
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
bo
, bo
, bo
, bo
bo
bo,
Dla dowolnej liczby zachodzi równość
Na przykład
czyli
Nie zawsze jest możliwe podanie takiej liczby, której druga lub trzecia potęga jest równa liczbie podpierwiastkowej. Zastanówmy się, ile jest równy . Zgodnie z pojęciem pierwiastka kwadratowego, jest to taka liczba nieujemna, której kwadrat jest równy .
Szukaną liczbą nie jest , ponieważ , ani , ponieważ .
Zatem jest większy od i mniejszy od .
Spróbujmy dokładniej przybliżyć wartość poprzez wyznaczanie kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego tej liczby. Obliczmy kwadraty liczb od do .
Ponieważ , to .
Postępując podobnie, czyli obliczając kwadraty liczb od do , otrzymamy:
Ponieważ , to .
Obliczając kwadraty liczb od do , otrzymamy:
Ponieważ , to
Postępując w podobny sposób, wyznaczymy kolejne cyfry po przecinku, które występują w rozwinięciu dziesiętnym liczby
Otrzymujemy
W rozwinięciu dziesiętnym liczby nie powtarza się żadna grupa cyfr i jest ich nieskończenie wiele. Nie można zapisać liczby w postaci liczby wymiernej.
Zatem liczba ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Jest ona przykładem liczby niewymiernej. Jej wartość podawana jest najczęściej w przybliżeniu do dwóch miejsc po przecinku i wynosi: .
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja
Liczba niewymierna to liczba, której nie można przedstawić w postaci ułamka , gdzie , są liczbami całkowitymi i .
Każda liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe.
Przykładami liczb, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone nieokresowe, są:
….
…..
Przykładami liczb niewymiernych są pierwiastki kwadratowe z liczb dodatnich, które nie są kwadratami liczb wymiernych i pierwiastki sześcienne z liczb, które nie są sześcianami liczb wymiernych. Na przykład:
Do obliczeń stosuje się ich przybliżenia, najczęściej z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku, które otrzymujemy na przykład za pomocą kalkulatora.
Przeciągnij i upuść.
Oblicz w pamięci.
9 , 36 , 49 , 81 100 , 144 , 225 , 900 1600 , 16900 , 250000 , 1000000 0,000009 , 0,04 , 0,64 , 1,21 , 6,25
Oblicz w pamięci.
1 3 , - 8 3 , 27 3 , - 64 3 1000 3 , - 8000 3 , 125000 3 , - 27000 3 - 0,001 3 , 0,008 3 , - 0,125 3 , 0,064 3
Oblicz w pamięci.
1 25 , 64 289 , 121 225 , 49 900 , 100 169 , 324 2500 - 1 27 3 , 8 125 3 , - 27 64 3 , - 125 1000 3 , 216 8000 3 , - 27000 125000 3
Oblicz.
5 1 16 , 1 11 25 , 2 14 25 , 3 13 36 , 2 2 49 , 7 1 9 2 10 27 3 , 4 17 27 3 , - 1 61 64 3 , - 37 1 27 3 , 3 3 8 3 , - 1 91 125 3
Oblicz.
676 , 1024 , 1089 , 1764 , 44100 729 3 , 1728 3 , 4096 3 , 10648 3 , 15625 3
Które z podanych liczb są wymierne, a które niewymierne?
Przeciągnij elementy z dolnej sekcji do górnej.
<span aria-label="pierwiastek sześcienny z początek ułamka, osiem, mianownik, sześćdziesiąt cztery, koniec ułamka" role="math"><math><mroot><mrow><mfrac><mrow><mn>8</mn></mrow><mrow><mn>64</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mroot></math></span>, <span aria-label="pierwiastek kwadratowy z dziewięć" role="math"><math><msqrt><mrow><mn>9</mn></mrow></msqrt></math></span>, <span aria-label="początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka" role="math"><math><mfrac><mrow><msqrt><mrow><mn>4</mn></mrow></msqrt></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></math></span>, <span aria-label="początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, pierwiastek sześcienny z osiem, koniec ułamka" role="math"><math><mfrac><mrow><mn>23</mn></mrow><mrow><mroot><mrow><mn>8</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mroot></mrow></mfrac></math></span>, <span aria-label="pierwiastek kwadratowy z dziewięć przecinek zero dziewięć" role="math"><math><msqrt><mrow><mn>9,09</mn></mrow></msqrt></math></span>, <span aria-label="pierwiastek sześcienny z minus, sto dwadzieścia jeden" role="math"><math><mroot><mrow><mo>-</mo><mn>121</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mroot></math></span>, <span aria-label="pierwiastek kwadratowy z sto dwadzieścia jeden" role="math"><math><msqrt><mrow><mn>121</mn></mrow></msqrt></math></span>, <span aria-label="pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka" role="math"><math><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mn>25</mn></mrow><mrow><mn>8</mn></mrow></mfrac></mrow></msqrt></math></span>, <span aria-label="pierwiastek kwadratowy z jeden przecinek cztery" role="math"><math><msqrt><mrow><mn>1,4</mn></mrow></msqrt></math></span>, <span aria-label="pierwiastek sześcienny z minus, dwadzieścia siedem" role="math"><math><mroot><mrow><mo>-</mo><mn>27</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mroot></math></span>, <span aria-label="pierwiastek sześcienny z minus, jeden" role="math"><math><mroot><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mroot></math></span>, <span aria-label="pierwiastek kwadratowy z pięć" role="math"><math><msqrt><mrow><mn>5</mn></mrow></msqrt></math></span>, <span aria-label=" minus, pierwiastek sześcienny z minus, początek ułamka, jeden, mianownik, tysiąc, koniec ułamka" role="math"><math><mo>-</mo><mroot><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>1000</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mroot></math></span>, <span aria-label="pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia pięć" role="math"><math><msqrt><mrow><mn>25</mn></mrow></msqrt></math></span>
liczby wymierne | |
---|---|
liczby niewymierne |
Wybierz liczby niewymierne.
-
15 3 -
1 2 3 -
6 -
2 4 9 -
100,64 -
- 1 16 3 -
1000 -
1,69 -
400 -
2 7 9 -
- 27 3 -
1000 3 -
225 -
0,64
Przeciągnij i upuść.
Oblicz, jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe
16 mm 2 64 m 2 0,0025 c m 2 2,25 mm 2 1 d m 2 8 50 c m 2 100 m 2 40 000 000 000 cm 2
Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa podanej wartości.
27 cm 3 0,064 m 3 0,001 d m 3 1,728 m m 3 250 432 m 3 8 d m 3 18 26 27 k m 3
Pole powierzchni kwadratowego dywanu jest równe
-
720 cm -
72 cm -
7200 m -
7,2 cm
Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej.
-
9 25 -
- 1,44 -
- 125 3 -
0,008 3 -
25 -
1 625 -
- - 27 64 3 -
0 3 -
- 1 3
Przeciągnij i upuść.
..............
..............
..............
..............
..............
..............
Przeciągnij i upuść.
..................
..................
..................
..................
..................
..................
Oblicz wartość podanego wyrażenia arytmetycznego.
36 + 64 144 - 100 - 8 3 + 64 - 27 3 - - 1000 3 1 125 3 + 1 25 - 125 3 + 25 5 1 16 ∙ 4 27 2 1 4 - 8 3 + - 8 3 - - 64 3
Oblicz wartość podanego wyrażenia arytmetycznego.
16 + 9 + 4 64 - 64 3 144 + 225 - 8 3 6 2 + 8 2 6 + 6 + 6 + 9 - 5 2 - 10 2 3 3 3 + 4 3 + 5 3 3 6 3 + 8 3 + 10 3 3 1 - 81 3 1 3 - 8 3 1000 3 - 8 3 3