Własności pierwiastków

Już wiesz

Dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ zachodzą równości:

{(\sqrt{a})}^{2} = \sqrt{a^{2}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a

Na przykład:

\sqrt{57} ∙ \sqrt{57} = 57

{(\sqrt{129})}^{2} = 129

\sqrt{698^{2}} = 698

Już wiesz

Dla dowolnej liczby $a$ zachodzą równości:

{(\sqrt[3]{a})}^{3} = \sqrt[3]{a^{3}} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a

Na przykład:

\sqrt[3]{74} ∙ \sqrt[3]{74} ∙ \sqrt[3]{74} = 74

({\sqrt[3]{127})}^{3} = 127

\sqrt[3]{{6,435}^{3}} = 6,435

Przykład 1

Rc5Vj2ogFWopF1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Dla dowolnych liczb nieujemnych $a$ i $b$ zachodzi równość:

\sqrt{a ∙ b} = \sqrt{a} ∙ \sqrt{b}

Dla dowolnych liczb $a$ i $b$ zachodzi równość:

\sqrt[3]{a ∙ b} = \sqrt[3]{a} ∙ \sqrt[3]{b}

Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków.

Przykład 2

RSfQdtcXZMcNz1

Zapamiętaj!

Dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ i liczby dodatniej $b$ zachodzi równość:

$\sqrt{a : b} = \sqrt{a} : \sqrt{b}$ oraz $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Dla dowolnej liczby $a$ i liczby $b$ różnej od zera zachodzi równość:

$\sqrt[3]{a : b} = \sqrt[3]{a} : \sqrt[3]{b}$ oraz $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$
Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.

Powyższe wzory ułatwiają wyznaczanie pierwiastków kwadratowych i sześciennych z bardzo dużych liczb oraz ułatwiają wykonywanie działań z pierwiastkami.

Przykład 3

RsDl1jhvCTvTH1

Przykład 4

Rh8QzuA5rvjke1

Jeżeli liczba $a$ jest liczbą niewymierną, to zwykle piszemy: $a ∙ \sqrt{b} = a \sqrt{b}$ i $a ∙ \sqrt[3]{b} = a \sqrt[3]{b}$ .

Przykład 5

RZqJnKOyopMMW1

Przykład 6

Obliczmy wartości pierwiastków, wykorzystując prawa działań na potęgach.

$\sqrt{2^{6}} = \sqrt{2^{3 ∙ 2}} = \sqrt{{{(2}^{3})}^{2}} = 2^{3} = 8$
$\sqrt{2^{6}} = \sqrt{2^{3 + 3}} = \sqrt{2^{3} ∙ 2^{3}} = {\sqrt{2^{3}} ∙ \sqrt{2^{3}} = 2}^{3} = 8$

$\sqrt{25^{3}} = \sqrt{25^{1 + 2}} = \sqrt{25^{1}} ∙ \sqrt{25^{2}} = 5 ∙ 25 = 125$
${(\sqrt{2})}^{8} = {(\sqrt{2})}^{2 ∙ 4} = {{((\sqrt{2})}^{2})}^{4} = 2^{4} = 16$
${(\sqrt{2})}^{8} = {(\sqrt{2})}^{2 + 2 + 2 + 2} = {(\sqrt{2})}^{2} {∙ (\sqrt{2})}^{2} {∙ (\sqrt{2})}^{2} ∙ {(\sqrt{2})}^{2} = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16$
$\sqrt[3]{6^{9}} = \sqrt[3]{6^{3 ∙ 3}} = \sqrt[3]{{(6^{3})}^{3}} = 6^{3} = 216$
$\sqrt[3]{6^{9}} = \sqrt[3]{6^{3 + 3 + 3}} = \sqrt[3]{6^{3} ∙ 6^{3} ∙ 6^{3}} = \sqrt[3]{6^{3}} ∙ \sqrt[3]{6^{3}} ∙ \sqrt[3]{6^{3}} = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216$
$({- \sqrt[3]{4})}^{6} = ({\sqrt[3]{4})}^{6} = ({\sqrt[3]{4})}^{3 + 3} = ({\sqrt[3]{4})}^{3} ∙ ({\sqrt[3]{4})}^{3} = 4 ∙ 4 = 16$
$({- \sqrt[3]{4})}^{6} = ({\sqrt[3]{4})}^{6} = ({\sqrt[3]{4})}^{3 ∙ 2} {= (({\sqrt[3]{4})}^{3})}^{2} = 4^{2} = 16$

iGRgGsYpI5_d5e556

Zapamiętaj!

Pierwiastek z sumy nie jest równy sumie pierwiastków.
Na przykład:

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7

\sqrt{9 + 16} \neq \sqrt{9} + \sqrt{16}

R19tMgV0S6IAy1

Ćwiczenie 1

Pierwiastek kwadratowy z iloczynu liczb $1 \frac{1}{4}$ i $\frac{64}{125}$ jest równy

RFiyFDXmkh3Ny

$\frac{4}{5}$
$\frac{5}{4}$
$\frac{8}{5}$
$\frac{16}{25}$

Ćwiczenie 2

Pierwiastek sześcienny z ilorazu liczb $2048$ i $32$ jest równy

RhGmuz9oNj3gN

$4$
$\frac{1}{4}$
$8$
$16$

Ćwiczenie 3

Wartość wyrażenia $\sqrt[3]{10} ∙ \sqrt[3]{30} ∙ \sqrt[3]{90}$ jest

RIqYqbOkoyfkb

równa $30$
równa $300$
liczbą niewymierną
równa $\sqrt[3]{2700}$

Ćwiczenie 4

Oblicz.

$\sqrt{6} ∙ \sqrt{6}$
$\sqrt{1,9} ∙ \sqrt{1,9}$
$\sqrt{5 \frac{6}{13}} ∙ \sqrt{5 \frac{6}{13}}$
${(- \sqrt{0,81})}^{2}$
${(\sqrt{54})}^{2}$
$\sqrt{656543^{2}}$
$\sqrt{235^{2}}$

$6$
$1,9$
$5 \frac{6}{13}$
$0,81$
$54$
$656543$
$235$

Ćwiczenie 5

Oblicz.

$\sqrt[3]{2} ∙ \sqrt[3]{2} ∙ \sqrt[3]{2}$
$\sqrt[3]{- 0,65} ∙ \sqrt[3]{- 0,65} ∙ \sqrt[3]{- 0,65}$
$\sqrt[3]{\frac{1}{27}} ∙ \sqrt[3]{\frac{1}{27}} ∙ \sqrt[3]{\frac{1}{27}}$
$({\sqrt[3]{- 76})}^{3}$
$\sqrt[3]{11} ∙ {(\sqrt[3]{11})}^{2}$
$\sqrt[3]{{0,00019}^{3}}$
$\sqrt[3]{{(- 1 \frac{8}{43})}^{3}}$

$2$
$- 0,65$
$\frac{1}{27}$
$- 76$
$11$
$0,00019$
$- 1 \frac{8}{43}$

Ćwiczenie 6

Oblicz.

$\sqrt{3^{2}} + {(\sqrt{3^{2}})}^{2} + {(\sqrt{3^{2}})}^{3}$
$\sqrt[3]{5^{3}} + {(\sqrt[3]{5^{3}})}^{2} + {(\sqrt[3]{5^{3}})}^{3}$
$\frac{\sqrt{10^{2}} + \sqrt{11^{2}}}{\sqrt{12^{2}}}$
$\frac{\sqrt{2} ∙ \sqrt{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}{\sqrt{3^{2}}}$
$\frac{\sqrt[3]{7^{3}} + \sqrt[3]{9^{3}}}{\sqrt[3]{11^{3}}}$
$\frac{\sqrt[3]{2^{3}} + {(\sqrt[3]{3^{3}})}^{3}}{\sqrt[3]{4^{3}}}$

$39$
$155$
$1 \frac{3}{4}$
$- 1$
$1 \frac{5}{11}$
$7 \frac{1}{4}$

Ćwiczenie 7

Oblicz.

$\sqrt{36 ∙ 4}$
$\sqrt{49 ∙ 64}$
$\sqrt{9 ∙ 25}$
$\sqrt{0,16 ∙ 81}$
$\sqrt{0,01 ∙ 49 ∙ 121}$
$\sqrt{1,44 ∙ 169 ∙ 25}$
$\sqrt[3]{8 ∙ 64}$
$\sqrt[3]{27 ∙ 0,001}$
$\sqrt[3]{- 125 ∙ \frac{1}{8}}$
$\sqrt[3]{216 ∙ 0,027}$
$\sqrt[3]{- 8 ∙ (- 27) ∙ \frac{1}{64}}$
$\sqrt[3]{0,008 ∙ 0,001}$

$12$
$56$
$15$
$3,6$
$7,7$
$78$
$8$
$0,3$
$- 2,5$
$1,8$
$1,5$
$0,02$

iGRgGsYpI5_d5e908

Ćwiczenie 8

Oblicz.

$\sqrt{49 : 16}$
$\sqrt{64 : 0,04}$
$\sqrt{1,44 : 0,09}$
$\sqrt{6,25 : 25}$
$\sqrt{0,36 : 81}$
$\sqrt[3]{216 : 125}$
$\sqrt[3]{0,008 : (- 0,001)}$
$\sqrt[3]{- 1000 : (- 0,027)}$
$\sqrt[3]{\frac{8}{27} : (- 64)}$
$\sqrt[3]{343 : 27}$

$1 \frac{3}{4}$
$40$
$4$
$0,5$
$\frac{2}{30}$
$1 \frac{1}{5}$
$- 2$
$33 \frac{1}{3}$
$- \frac{1}{6}$
$2 \frac{1}{3}$

Ćwiczenie 9

Oblicz.

$\sqrt{20} ∙ \sqrt{5}$
$\sqrt{10} ∙ \sqrt{12,1}$
$\sqrt{7} ∙ \sqrt{28}$
$\sqrt{2} ∙ \sqrt{32}$
$\sqrt{50} ∙ \sqrt{\frac{1}{2}}$
$\sqrt{8} ∙ \sqrt{32}$
$\sqrt{20} ∙ \sqrt{10} ∙ \sqrt{2}$
$\sqrt{5} ∙ \sqrt{12} ∙ \sqrt{60}$
$\sqrt[3]{4} ∙ \sqrt[3]{16}$
$\sqrt[3]{9} ∙ \sqrt[3]{81}$
$\sqrt[3]{16} ∙ \sqrt[3]{0,5}$
$\sqrt[3]{3} ∙ \sqrt[3]{6} ∙ \sqrt[3]{12}$
$\sqrt[3]{2} ∙ \sqrt[3]{20} ∙ \sqrt[3]{25}$

$10$
$11$
$14$
$8$
$5$
$16$
$20$
$60$
$4$
$9$
$2$
$6$
$10$

Ćwiczenie 10

Oblicz.

$\sqrt{18} : \sqrt{2}$
$\sqrt{56} : \sqrt{3,5}$
$\sqrt{125} : \sqrt{5}$
$\sqrt{0,03} : \sqrt{3}$
$\sqrt{100000} : \sqrt{1000}$
$\sqrt[3]{- 16} : \sqrt[3]{2}$
$\sqrt[3]{0,007} : \sqrt[3]{7}$
$\sqrt[3]{- 25} : \sqrt[3]{- \frac{1}{5}}$
$\sqrt[3]{13,5} : \sqrt[3]{- 0,5}$
$\sqrt[3]{54} : \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
$\frac{\sqrt[3]{2} ∙ \sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{3}}$
$\frac{\sqrt[3]{108} : \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}$

$3$
$4$
$5$
$0,1$
$10$
$- 2$
$0,1$
$5$
$- 3$
$6$
$2$
$3$

Ćwiczenie 11

Oblicz.

$\sqrt{\frac{2}{7}} : \sqrt{3 \frac{1}{2}}$
$\sqrt{5 \frac{1}{3}} : \sqrt{8 \frac{1}{3}}$
$\sqrt{\frac{49}{50}} : \sqrt{\frac{1}{50}}$
$\sqrt{2 \frac{1}{2}} ∙ \sqrt{\frac{5}{8}}$
$\sqrt[3]{1 \frac{3}{5}} : \sqrt[3]{12 \frac{4}{5}}$
$\sqrt[3]{\frac{1}{3}} ∙ \sqrt[3]{\frac{1}{9}} : \sqrt[3]{27}$

$\frac{2}{7}$
$\frac{4}{5}$
$7$
$\frac{5}{4}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{9}$

classicmobile

Ćwiczenie 12

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1PmnRbA78A9D

static

Ćwiczenie 13

Oblicz.

$\sqrt{500} : \sqrt{5} + \sqrt[3]{3} ∙ \sqrt[3]{3} ∙ \sqrt[3]{3} - \sqrt{10} ∙ \sqrt{90}$
$\sqrt{6^{2}} ∙ (- \sqrt{2}) ∙ (- \sqrt{2}) - \sqrt{2^{2}}$
$- \sqrt{13} ∙ \sqrt{13} + \sqrt[3]{- 13^{3}}$
$(\sqrt[3]{16} : \sqrt[3]{- 2}) ∙ \sqrt{2} ∙ \sqrt{2} + \sqrt{16}$
$\frac{\sqrt{2000} : \sqrt{2}}{\sqrt{8}} ∙ \sqrt{5} + \sqrt{0,2} ∙ \sqrt{500}$
$\frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}} ∙ \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}} ∙ \sqrt[3]{3} ∙ \sqrt[3]{\frac{1}{3}} ∙ \sqrt[3]{- 1000}$

$- 17$
$10$
$- 26$
$0$
$- 35$
$- 40$

Ćwiczenie 14

R1N1zGlFtPPwi1

Połącz w pary.

${(- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{2}$
${- (- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{4}$
${(\sqrt[3]{- 2})}^{3}$
${- (\sqrt[3]{2})}^{6}$
${(- \sqrt{2})}^{2}$
${(- \sqrt{2})}^{4}$
${(\sqrt[3]{- \frac{1}{2}})}^{3}$
${(\sqrt[3]{- \frac{1}{2}})}^{6}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iGRgGsYpI5_d5e1385

Ćwiczenie 15

Oblicz wartość wyrażenia.

$3 x^{2} - 2$ , dla $x = \sqrt{6}$
$5 - x^{2}$ , dla $x = - \sqrt{10}$
$x^{3} - 11$ , dla $x = \sqrt[3]{- 7}$
$- 7 x^{3} + 4$ , dla $x = \sqrt[3]{2}$
$x^{4} + x^{2} - 9$ , dla $x = \sqrt{3}$
${- 3 x}^{4} + {4 x}^{2} + 1$ , dla $x = \sqrt{5}$
$x^{6} - 2 x^{3} + 5$ , dla $x = \sqrt[3]{- 3}$
${2 x}^{9} - {6 x}^{6} - 4$ , dla $x = \sqrt[3]{- 10}$

$16$
$- 5$
$- 18$
$- 10$
$3$
$- 54$
$20$
$- 2604$

Ćwiczenie 16

Zapisz w prostszej postaci.

$\sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 7 \sqrt{2}$
$3 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5}$
$6 \sqrt{7} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{3}$
$- 10 \sqrt{6} + 3 \sqrt{10} - 12 \sqrt{6} + 7 \sqrt{10} + \sqrt{6} - 9 \sqrt{10}$
$\sqrt[3]{4} - 8 \sqrt[3]{4} + 3 \sqrt[3]{4}$
$2 \sqrt[3]{9} - 2 \sqrt[3]{2} - 13 \sqrt[3]{9} - 19 \sqrt[3]{2}$
$\sqrt[3]{15} - 15 \sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{3} - 4 \sqrt[3]{15} - 4 \sqrt[3]{5} + 6 \sqrt[3]{3}$
$\sqrt[3]{3} + 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt[3]{3} + 2 \sqrt{3}$
$25 \sqrt[3]{- 2} - 17 \sqrt{2} + 23 \sqrt[3]{2} - \sqrt{2} - \sqrt[3]{- 2}$

$- 3 \sqrt{2}$
$\sqrt{5}$
$7 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3}$
$- 21 \sqrt{6} + \sqrt{10}$
$- 4 \sqrt[3]{4}$
$- 11 \sqrt[3]{9} - 21 \sqrt[3]{2}$
$- 3 \sqrt[3]{15} - 19 \sqrt[3]{5} + 5 \sqrt[3]{3}$
$- 5 \sqrt[3]{3} + 6 \sqrt{3}$
$- \sqrt[3]{2} - 18 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 17

Ile razy liczba $a$ jest większa od liczby $b$ ?

$a = \sqrt{90}, b = \sqrt{10}$
$a = \sqrt{128}, b = \sqrt{2}$
$a = \sqrt{288}, b = \sqrt{8}$
$a = \sqrt[3]{81}, b = \sqrt[3]{3}$
$a = \sqrt[3]{448}, b = \sqrt[3]{7}$
$a = \sqrt[3]{625}, b = \sqrt[3]{5}$

$3$ razy
$8$ razy
$6$ razy
$3$ razy
$4$ razy
$5$ razy

Ćwiczenie 18

O ile liczba $a$ jest większa od liczby $b$ ?

$a = 6 \sqrt{11}, b = 5 \sqrt{11}$
$a = 8 \sqrt{5}, b = - \sqrt{5}$
$a = 2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{7}, b = \sqrt{2} + \sqrt{7}$
$a = 3 \sqrt{3} + 13 \sqrt{13}, b = 3 \sqrt{3} - 13 \sqrt{13}$
$a = 15 + 5 \sqrt{14}, b = - 3 \sqrt{14} + 20$

$\sqrt{11}$
$9 \sqrt{5}$
$\sqrt{2} + 3 \sqrt{7}$
$26 \sqrt{13}$
$- 5 + 8 \sqrt{14}$

Ćwiczenie 19

Oblicz.
$\sqrt[3]{\frac{1 ∙ 2 ∙ 4 + 2 ∙ 4 ∙ 8 + 4 ∙ 8 ∙ 16}{1 ∙ 3 ∙ 9 + 2 ∙ 6 ∙ 18 + 3 ∙ 9 ∙ 27}}$

$\frac{2}{3} \sqrt[3]{2}$

Pierwiastki kwadratowe i sześcienne

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka