3. Własności funkcji f(x)= a/x - Funkcje wymierne

Rs3ClwLIVUJVe

3. Własności funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$

Chłodnia kominowa – budowla‑urządzenie służąca do schładzania wody przemysłowej w zakładach przemysłowych oraz energetycznych, które nie mają możliwości użycia do chłodzenia wody z rzeki, morza czy jeziora. Jest specyficznym, kontaktowym, mokrym wymiennikiem ciepła. Wykonana jest w formie budowli żelbetowej (sporadycznie drewnianej lub metalowej), wyposażona w znacznej wysokości komin wymuszający przepływ powietrza umożliwiający chłodzenie wody. Często chłodnie kominowe i wydostająca się z nich skroplona para wodna pokazywane są mylnie, jako główne źródło skażenia środowiska.

ROI04cPGi10lC

Zdjęcie przedstawia dwie wieże chłodnicze stojące w terenie zalesionym. Wieże są identyczne. Mają kształt szerokiego walca, którego pionowe ściany są lekko wklęsłe. Z obu wieży wydobywają ogromne białe chmury pary wodnej. — Wieże chłodnicze elektrowni atomowej Cofrentes, Hiszpania
Źródło: Roberto Uderio, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Chłodnie kominowe mają kształt obrotowej bryły, tzw. hiperboloidy jednopowłokowej. Tak ukształtowane posiadają znaczną sztywność giętną, co umożliwia uzyskanie dużych średnic i wysokości przedmiotowych budowli.

Hiperboloida to powierzchnia zakreślona przez obrót hiperboli wokół jej osi symetrii w przestrzeni trójwymiarowej.

Nadszedł czas na poznanie funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ i jej wykresu.

Twoje cele

Naszkicujesz wykres funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ dla $a \neq 0$ .
Odczytasz własności funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ dla $a \neq 0$ z wykresu.

Zajmiemy się funkcjami opisanymi takim samym wzorem jak proporcjonalność odwrotna, czyli $f (x) = \frac{a}{x}$ , ale określonymi dla dowolnej liczby $x \neq 0$ . Przyjmiemy, że współczynnik $a \neq 0$ .

Zastanówmy się, jak wygląda wykres tej funkcji.

Przykład 1

Narysujemy wykres funkcji $f (x) = \frac{2}{x}$ .

Rozwiązanie

Aby narysować wykres funkcji należy wyznaczyć współrzędne kilku punktów, które należą do jego wykresu, czyli np. wykonać tabelkę:

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$f (x) = \frac{2}{x}$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	$- 2$	$- 4$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$

R1YIvXnIJSvnA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się dwa przez x. Wykres składa się z dwóch nieskończonych łuków. Pierwszy z nich znajduje się z trzeciej ćwiartce i jest wybrzuszony w kierunku początku układu współrzędnych. Jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do ujemnej półosi OX, a prawe do ujemnej półosi OY. Łuk lewy przechodzi między innymi przez punkty -2;-1, -1;-2. Drugi z nich znajduje się z pierwszej ćwiartce i również jest wybrzuszony w kierunku początku układu współrzędnych. Jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do dodatniej półosi OY, a prawe do dodatniej półosi OY. Prawy łuk przechodzi między innymi przez punkty 1;2, 2;1.

Wykres funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ , gdzie $a \neq 0$ , nazywamy hiperboląhiperbolahiperbolą. Składa się ona z dwóch rozłącznych krzywych zwanych gałęziami hiperboligałąź hiperboligałęziami hiperboli.

Zauważmy, że obie gałęzie hiperboli zbliżają się do osi układu współrzędnych. Możemy powiedzieć, że każda z osi jest asymptotą tej hiperboli, czyli prostą, do której wykres się zbliża, ale nie ma z nią punktów wspólnych.

Przykład 2

Odczytamy z wykresu własności funkcji $f (x) = \frac{2}{x}$ .

Rozwiązanie

Wykresem funkcji $f (x) = \frac{2}{x}$ jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.
Dziedzina funkcji: $D_{f} = ℝ ∖ \{0\}$ .
Zbiór wartości funkcji: $Z W_{f} = ℝ ∖ \{0\}$ .
Funkcja nie ma miejsc zerowych.
Wykres funkcji nie przecina osi $Y$ .
Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $(- \infty; 0)$ , $(0; \infty)$ .
$f (x) > 0$ dla $x \in (0; \infty)$ .
$f (x) < 0$ dla $x \in (- \infty; 0)$ .
Funkcja jest różnowartościowa.
Funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani największej.
Wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, czyli względem punktu $(0; 0)$ .
Wykres funkcji jest symetryczny względem prostej $y = x$ oraz $y = - x$ .
Wykres funkcji ma asymptotęasymptotaasymptotę poziomą o równaniu: $y = 0$ , która pokrywa się z osią $X$ .
Wykres funkcji ma asymptotę pionową o równaniu: $x = 0$ , która pokrywa się z osią $Y$ .

Ważne!

Własności funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ nie zmieniają się wraz ze zmianą współczynnika $a$ , o ile $a > 0$ .

Przykład 3

Opiszemy własności funkcji $f (x) = - \frac{4}{x}$ na podstawie jej wykresu i określimy własności wykresu.

Rozwiązanie

Narysujemy wykres funkcji $f (x) = - \frac{4}{x}$

R1DawmEo8I6eg

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji y=f(x). Wykresem przedstawionej funkcji jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

Własności funkcji:

Dziedzina funkcji: $D_{f} = ℝ ∖ \{0\}$ .
Zbiór wartości funkcji: $Z W_{f} = ℝ ∖ \{0\}$ .
Funkcja nie ma miejsc zerowych.
Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(- \infty; 0)$ , $(0; \infty)$ .
$f (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (0; \infty)$ .
$f (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; 0)$ .
Funkcja jest różnowartościowa.
Funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani największej.

Własności wykresu funkcji:

Wykresem funkcji $f (x) = - \frac{4}{x}$ jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.
Wykres funkcji nie przecina osi $Y$ .
Wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, czyli względem punktu $(0; 0)$ .
Wykres funkcji jest symetryczny względem prostej $y = - x$ oraz $y = x$ .
Wykres funkcji ma asymptotę poziomą o równaniu: $y = 0$ , która pokrywa się z osią $X$ .
Wykres funkcji ma asymptotę pionową o równaniu: $x = 0$ , która pokrywa się z osią $Y$ .

Przykład 4

Wiedząc, że do wykresu funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ należy punkt $(\frac{1}{10}; 5)$ wyznaczymy kilka innych punktów, które również należą do wykresu tej funkcji.

Rozwiązanie

Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru funkcji:

$5 = \frac{a}{\frac{1}{10}}$

$a = \frac{1}{2}$

czyli wszystkie pary $(x; y)$ , dla których $x y = \frac{1}{2}$ również należą do wykresu tej funkcji. Są to np. $(- 1; - \frac{1}{2})$ ; $(4; \frac{1}{8})$ , $(\frac{3}{2}; \frac{1}{3})$ , $(- \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Inny sposób wyznaczania punktów, które należą do wykresu funkcji:

Jeśli znamy wzór funkcji $f (x) = \frac{\frac{1}{2}}{x}$ , to aby obliczyć $f (x)$ należy pod $x$ podstawić daną wartość i obliczyć. Np.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{1} = 4$ , czyli punkt $(\frac{1}{8}; 4)$ też należy do wykresu tej funkcji.

Przykład 5

Narysujemy wykres funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ wiedząc, że do jej wykresu należy punkt $(\sqrt{7} - \sqrt{2}; \sqrt{7} + \sqrt{2})$ .

Rozwiązanie

Należy najpierw wyznaczyć współczynnik we wzorze funkcji.

Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru funkcji:

$\sqrt{7} + \sqrt{2} = \frac{a}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$

$(\sqrt{7} - \sqrt{2}) (\sqrt{7} + \sqrt{2}) = a$

$a = 5$

Zatem należy narysować wykres funkcji $f (x) = \frac{5}{x}$ .

Rk4triJBa3uYw

Infografiki

Zapoznaj się z własnościami funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ dla $a > 0$ zamieszczonymi w infografice. Na podstawie tych informacji wykonaj polecenia zamieszczone pod nią.

R1KcBtdpPlIy5

Polecenie 1

R1Ed8nkIc9Yo2

Polecenie 2

R95es6Z5sVl0F

Zapoznaj się z własnościami funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ dla $a < 0$ zamieszczonymi w infografice. Na podstawie tych informacji wykonaj polecenia zamieszczone pod nią.

R1Qncm0PWWJBA

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji. Wykresem funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, a, mianownik, x, koniec ułamka dla a, mniejszy niż, zero jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Po lewej stronie znajduje się 13 wymienionych kolejno własności funkcji. Po kliknięciu w daną własność rozwija się komentarz. 2. Dziedzina funkcji. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego. 3. Zbiór wartości funkcji. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego. 4. Miejsca zerowe funkcji. x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, należy do, zbiór pusty.5. Miejsca przecięcia z osią Y. Wykres funkcji nie przecina osi Y. 6. Monotoniczność funkcji. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. 7. Wartości dodatnie funkcji. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero w przedziale x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu. 8. Wartości ujemne funkcji. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero w przedziale x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. 9. Różnowartościowość funkcji. Funkcja jest różnowartościowa. 10. Najmniejsza i największa wartość funkcji. Funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani największej. 11. Symetryczność wykresu funkcji. Wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, czyli względem punktu nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu. 12. Asymptota pozioma. Wykres funkcji ma asymptotę poziomą y, równa się, zero, która pokrywa się z osią X.
Prosta jest asymptotą danej krzywej, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej odległość tego punktu od prostej dąży do zera. Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji. 13. Asymptota pionowa. Wykres funkcji ma asymptotę pionową x, równa się, zero, która pokrywa się z osią Y.

Polecenie 3

RlDPdkBuY5Aiz

Polecenie 4

R1JzyVi7KKbFz

Aplet

Zapoznaj się z apletem prezentującym wykres funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ w zależności od wartości współczynnika $a$ .

R1U29em24KFRW

Polecenie 5

RHG8LE3F1CA2A

R1ZDKAMJNU8ED

Polecenie 6

R1EJTQ4VCTZD4

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 1

R1ca0YR6bJZo5

Ćwiczenie 2

Narysuj wykres funkcji $f (x) = \frac{3}{x}$ .

Opisz przebieg funkcji określonej wzorem $f (x) = \frac{3}{x}$ . Podaj kilka punktów, przez które funkcja przechodzi.

Zacznij od sporządzenia tabeli wartości funkcji $f (x) = \frac{3}{x}$ .

RSOPB0UnK6Z8g

Na płaszczyźnie w układzie współrzędnych narysowano funkcję f, której wykresem są dwa rozłączne łuki nieskończone. Łuki wybrzuszone są w kierunku początku układu współrzędnych. Lewy łuk leży w trzeciej ćwiartce i jego lewe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OX, a prawe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. Drugi łuk leży w pierwszej ćwiartce i jego lewe ramię wypłaszcza się do dodatniej półosi OY, a prawe ramię wypłaszcza się do dodatniej półosi OX. Punkty należące do wykresu to na przykład: -3;-1, -1;-3 oraz 1;3, 3;1.

Ćwiczenie 3

RDqDVdZsQn6gK

Wskaż punkty, które należą do wykresu danej funkcji. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z osiem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, dwa, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z osiem koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, średnik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, jeden, średnik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z osiem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, dwa, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z osiem koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, średnik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, jeden, średnik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 4

RbvjeCwHVk9sq

Ćwiczenie 5

R1O9jiS4XFDJj

R82wNOssG2MKc1

Ćwiczenie 6

RMu0eURHLF7J31

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

R1G4vMpZC09xx

Ćwiczenie 9

R1ey4HuHLd6EI

Ćwiczenie 10

R1Ge3cNWodPY7

Pogrupuj własności podanych funkcji. Przeciągnij każdy element do odpowiedniej grupy. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero wtedy i tylko wtedy gdy x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero wtedy i tylko wtedy gdy x, należy do, nawias, zero, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. funkcja jest rosnąca w zbiorze liczby rzeczywiste indeks dolny, plus, koniec indeksu dolnego, 4. funkcja jest malejąca w zbiorze liczby rzeczywiste indeks dolny, minus, koniec indeksu dolnego, 5. funkcja jest rosnąca w zbiorze liczby rzeczywiste indeks dolny, minus, koniec indeksu dolnego, 6. funkcja jest malejąca w zbiorze liczby rzeczywiste indeks dolny, plus, koniec indeksu dolnego, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero wtedy i tylko wtedy gdy x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero wtedy i tylko wtedy gdy x, należy do, nawias, zero, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero wtedy i tylko wtedy gdy x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero wtedy i tylko wtedy gdy x, należy do, nawias, zero, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. funkcja jest rosnąca w zbiorze liczby rzeczywiste indeks dolny, plus, koniec indeksu dolnego, 4. funkcja jest malejąca w zbiorze liczby rzeczywiste indeks dolny, minus, koniec indeksu dolnego, 5. funkcja jest rosnąca w zbiorze liczby rzeczywiste indeks dolny, minus, koniec indeksu dolnego, 6. funkcja jest malejąca w zbiorze liczby rzeczywiste indeks dolny, plus, koniec indeksu dolnego, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero wtedy i tylko wtedy gdy x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero wtedy i tylko wtedy gdy x, należy do, nawias, zero, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 11

R1YkAzMaUX2kp

Ćwiczenie 12

RAzyHZMcVc1d5

Ćwiczenie 13

RL579Emh6NDDm

Ćwiczenie 14

R1VO95C6qWYsX

Ćwiczenie 15

RaolYYmOZ2DIV

Ćwiczenie 16

R3aHoBwRSnR4m

Słownik

hiperbola

wykres funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ , gdzie $a \neq 0$

gałąź hiperboli

każda z dwóch rozłącznych krzywych, z których składa się hiperbola

asymptota

prosta (pionowa, pozioma), do której wykres funkcji „zbliża się” w nieskończoności lub w pobliżu punktu spoza dziedziny, ale nigdy jej nie dotyka. Odległość między wykresem funkcji a prostą dąży do zera, gdy argument funkcji zmierza do nieskończoności lub do pewnej wartości granicznej.

translacja

przesunięcie każdego punktu figury bądź przestrzeni o tę samą odległość w ustalonym kierunku

2. Zastosowania proporcjonalności odwrotnej

4. Własności wykresu funkcji f(x)=a/x

3. Własności funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$

Infografiki

Aplet

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik

2. Zastosowania proporcjonalności odwrotnej

4. Własności wykresu funkcji f(x)=a/x

Funkcje wymierne