3. Postać ogólna i kanoniczna wzoru funkcji kwadratowej.

RbH079AwPmL5W

W życiu codziennym spotykamy wiele kształtów, które przypominają fragment wykresu funkcji kwadratowej. Np. wlot do tunelu drogowego, czy łuk przęsła mostu. Funkcja kwadratowa ma wiele ciekawych własności, które można wykorzystać do rozwiązywania problemów matematycznych znajdujących zastosowanie w codziennych sytuacjach.

Twoje cele

Obliczysz współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej.
Zapiszesz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, mając dany wzór w postaci ogólnej.
Zinterpretujesz współczynniki liczbowe występujące we wzorze postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.
Zastosujesz pojęcie wektora do wyznaczenia postaci kanonicznej wzoru funkcji kwadratowej.
Sporządzisz wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej.
Wykorzystasz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej do rozwiązywania problemów matematycznych.

Postać

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie $a, b, c \in ℝ$ , $a \neq 0$ oraz $x \in ℝ$ nazywamy postacią ogólną wzoru funkcji kwadratowej.

Wzór funkcji kwadratowej może też być zapisany za pomocą wzoru w postaci kanonicznej.

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $g$ określonej wzorem $g (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , otrzymujemy przez przekształcenie paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ , gdzie $a \neq 0$ , poprzez:

przesunięcie wykresu o $p$ jednostek w lewo ( $p < 0$ ) lub $p$ jednostek w prawo ( $p > 0$ ) wzdłuż osi $X$ oraz o $q$ jednostek w górę ( $q > 0$ ) lub $q$ jednostek w dół ( $q < 0$ ) wzdłuż osi $Y$ ,
przesunięcie wykresu o wektor $\vec{u} = [p, q]$ .

Przykład 1

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ , określonej wzorem $f (x) = \frac{1}{3} x^{2}$ przesunięto o $2$ jednostki w prawo wzdłuż osi $X$ oraz o $3$ jednostki w dół wzdłuż osi $Y$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$ . Podamy wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Z treści zadania wynika, że $a = \frac{1}{3}$ , $p = 2$ , $q = - 3$ , zatem:

$g (x) = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{2} - 3$ .

Wprowadźmy definicję wyróżnika trójmianu kwadratowego.

wyróżnik trójmianu kwadratowego

Definicja: wyróżnik trójmianu kwadratowego

Dany jest trójmian kwadratowy postaci $a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ . Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyrażenie $b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ i zapisujemy jako:

$∆ = b^{2} - 4 a c$

o postaci kanonicznej wzoru funkcji kwadratowej

Twierdzenie: o postaci kanonicznej wzoru funkcji kwadratowej

Wzór funkcji kwadratowej zapisany w postaci ogólnej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ można zapisać za pomocą wzoru

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

gdzie:

$p = \frac{- b}{2 a}$ ,

$q = \frac{- ∆}{4 a}$ ,

$∆ = b^{2} - 4 a c$ .

Dowód z wyjaśnieniemdarkbluewhite

Dowód:

$f (x) = a x^{2} + b x + c = a \cdot (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c = a \cdot (x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 a} x) + c =$

$= a \cdot [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}] + c = a \cdot {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

$= a \cdot {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

Otrzymujemy wzór $f (x) = a \cdot {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie:

$p = \frac{- b}{2 a}$ ,

$q = \frac{- ∆}{4 a}$

Liczby $p$ i $q$ są kolejnymi współrzędnymi wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej.

Zauważmy, że jeżeli w postaci ogólnej wzoru funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ wartość współczynnika $b = 0$ , to funkcja opisana wzorem $f (x) = a x^{2} + c$ jest zapisana za pomocą wzoru zarówno w postaci ogólnej, jak i kanonicznej.

Przykłady wzorów funkcji kwadratowej, zapisanych w postaci zarazem ogólnej i kanonicznej to:

$f (x) = x^{2} - 3$ ,

$g (x) = - 3 x^{2} + 5$ ,

$h (x) = \sqrt{5} x^{2} - 1$ .

Zauważmy, że jeżeli postać ogólną wzoru funkcji kwadratowejpostać ogólną wzoru funkcji kwadratowej możemy przedstawić w postaci kwadratu sumy lub różnicy wyrażeń, to taka postać jest także postacią kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej. Na przykład:

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1 = {(2 x - 1)}^{2} = 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2}$ ,

$g (x) = - x^{2} + 10 x - 25 = - (x^{2} - 10 x + 25) = - {(x - 5)}^{2}$ ,

$h (x) = x^{2} - 12 x + 36 = {(x - 6)}^{2}$ .

Przykład 2

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} + 6 x$ w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że jeżeli wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy, to wzór funkcji $f$ możemy zapisać w ten sposób:

$f (x) = x^{2} + 6 x = x^{2} + 6 x + 9 - 9 = {(x + 3)}^{2} - 9$ .

Przykład 3

Wyznaczymy postać kanoniczną wzoru funkcji kwadratowejpostać kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej, jeżeli:

a) $f (x) = - 4 x^{2} - \frac{8}{3} x - \frac{4}{9}$ ,

b) $g (x) = \sqrt{2} x^{2} - 8 \sqrt{2} x + 16 \sqrt{2}$ .

Rozwiązanie:

Wykorzystując wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz kwadrat różnicy, mamy:

a) $f (x) = - 4 x^{2} - \frac{8}{3} x - \frac{4}{9} = - 4 (x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{1}{9}) = - 4 {(x + \frac{1}{3})}^{2}$ ,

b) $g (x) = \sqrt{2} x^{2} - 8 \sqrt{2} x + 16 \sqrt{2} = \sqrt{2} (x^{2} - 8 x + 16) = \sqrt{2} {(x - 4)}^{2}$ .

Postać kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej możemy znajdować za pomocą podanych wcześniej wzorów.

Przykład 4

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f (x) = 2 x^{2} - x - 1$ w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie:

Wypisujemy wartości współczynników: $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = - 1$ , a następnie obliczamy:

$p = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$ ,

$∆ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 1 + 8 = 9$ ,

$q = \frac{- 9}{4 \cdot 2} = - \frac{9}{8}$ .

Obliczone wartości podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną funkcji:

$f (x) = 2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ .

Przykład 5

Wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 x^{2}$ przesunięto o wektor $\vec{A B}$ , gdzie $A = (- 2, 4)$ i $B = (1, 5)$ . Otrzymano w ten sposób wykres pewnej funkcji kwadratowej $g$ , której postać kanoniczną wyznaczymy.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenie:

$g (x) = a (x - p)^{2} + q$ - wzór funkcji $g$ w postaci kanonicznej (wykresem tej funkcji jest parabola uzyskana w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $f$ jest o wektor $\vec{A B}$ ).

Wówczas $\vec{A B} = [p, q]$ oraz $a = - 3$ .

Wyznaczymy współrzędne wektora $\vec{A B}$ .

Zatem:

$\vec{A B} = [1 - (- 2), 5 - 4] = [3, 1]$

Wobec tego funkcja $g$ jest określona wzorem $g (x) = - 3 (x - 3)^{2} + 1$ .

Przykład 6

Wyznaczymy współrzędne wektora, o jaki należy przesunąć parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2}$ tak, aby otrzymać parabolę, do której należą punkty o współrzędnych $(- 3, 0)$ oraz $(0, 3)$ .

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$[p, q]$ - współrzędne wektora, o jaki należy przesunąć wykres funkcji $f$

$g (x) = {(x - p)}^{2} + q$ - wzór funkcji powstałej po przesunięciu paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ o wektor o współrzędnych $[p, q]$

Ponieważ punkty o współrzędnych $(- 3, 0)$ oraz $(0, 3)$ należą do paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ , zatem do wyznaczenia wartości $p$ i $q$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 0 = (- 3 - p)^{2} + q \\ 3 = (0 - p)^{2} + q \end{cases}$

$(- 3 - p)^{2} + q = (0 - p)^{2} + q - 3$

$(- 3 - p)^{2} = p^{2} - 3$

$9 + 6 p + p^{2} = p^{2} - 3$

$9 + 6 p = - 3$

$p = - 2$

Wobec tego $q = - (- 3 + 2)^{2} = - 1$ .

Szukany wektor ma współrzędne $[- 2, - 1]$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

RYxbKFm6yoRsN

RG5Ac4JiZinvn

RpXAOegIJ3wNy

RfARHtN6jj6aY

RFeetfKZ6F7T3

Polecenie 2

Przedstaw wzory podanych funkcji kwadratowych w postaci kanonicznej.

a) $f (x) = x^{2} + 4 x$

b) $f (x) = x^{2} + x - 1$

c) $f (x) = 2 x^{2} - x - 6$

a) Obliczamy

$p = \frac{- 4}{2 \cdot 1} = - 2$ ,

$∆ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 16$ ,

$q = \frac{- 16}{4 \cdot 1} = - 4$ .

Wobec tego postać kanoniczna wyraża się wzorem $f (x) = {(x + 2)}^{2} - 4$ .

b) Obliczamy

$p = \frac{- 1}{2 \cdot 1} = - \frac{1}{2}$ ,

$∆ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5$ ,

$q = \frac{- 5}{4 \cdot 1} = - \frac{5}{4}$ .

Wobec tego postać kanoniczna wyraża się wzorem $f (x) = {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{5}{4}$ .

c) Obliczamy

$p = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$ ,

$∆ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6) = 49$ ,

$q = \frac{- 49}{4 \cdot 2} = - \frac{49}{8}$ .

Wobec tego postać kanoniczna wyraża się wzorem $f (x) = 2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{49}{8}$ .

Przykład 7

Dla funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - {(x + 4)}^{2} - 3$ wyznaczymy:

przedziały monotoniczności funkcji $f$ ,
zbiór wartości funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ funkcja $f$ jest określona wzorem w postaci kanonicznejwzorem w postaci kanonicznej, zatem ze wzoru odczytujemy, że:

$a = - 1$ , $p = - 4$ , $q = - 3$

Wobec tego:

funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $(- \infty, - 4⟩$ ,
funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $⟨- 4, \infty)$ ,
zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty, - 3⟩$ .

Przykład 8

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = \sqrt{3} {(x - 2)}^{2} + q$ . Do paraboli, będącej wykresem tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(3, 2 \sqrt{3})$ .

Wyznaczymy wartość $q$ oraz podamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ punkt o współrzędnych $(3, 2 \sqrt{3})$ należy do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = \sqrt{3} {(x - 2)}^{2} + q$ , zatem do wyznaczenia wartości $q$ rozwiązujemy równanie:

$2 \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot {(3 - 2)}^{2} + q$ , czyli $q = \sqrt{3}$ .

Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ ma współrzędne $(2, \sqrt{3})$ .

Przykład 9

Do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ należy punkt o współrzędnych $(- 4, - 4)$ , a wierzchołkiem tej paraboli jest punkt o współrzędnych $(- 2, - 2)$ .

Wyznaczymy wzór funkcji $f$ , a następnie określimy liczbę rozwiązań równania $f (x) = m$ , dla $m \in ℝ$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ jest punkt o współrzędnych $(- 2, - 2)$ , to wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x + 2)}^{2} - 2$ .

Jeżeli punkt o współrzędnych $(- 4, - 4)$ należy do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$- 4 = a {(- 4 + 2)}^{2} - 2$

Zatem $a = - \frac{1}{2}$ .

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f (x) = - \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 2$ .

Ponieważ $a = - \frac{1}{2}$ , zatem ramiona paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ są skierowane do dołu.

Ponieważ wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ jest punkt o współrzędnych $(- 2, - 2)$ oraz ramiona tej paraboli są skierowane do dołu, to równanie $f (x) = m$ , dla $m \in ℝ$ :

ma dwa rozwiązania dla $m \in (- \infty, - 2)$ ,
ma jedno rozwiązanie dla $m = - 2$ ,
nie ma rozwiązań dla $m \in (- 2, \infty)$ .

Przykład 10

Przedstawimy funkcję kwadratową określoną wzorem $f (x) = - 5 x^{2} - 20 x - 21$ w postaci kanonicznej, a następnie wyznaczymy:

równanie osi symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ ,
zbiór wartości funkcji $f$ .

Rozwiązanie

Obliczamy:

$p = \frac{20}{2 \cdot (- 5)} = - 2$

$∆ = {(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 21) = 400 - 420 = - 20$

$q = \frac{20}{4 \cdot (- 5)} = - 1$

Wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej: $f (x) = - 5 {(x + 2)}^{2} - 1$ .

Osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = - 2$ .
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty, - 1⟩$ .

Przykład 11

Wyznaczymy wzór funkcji $f (x) = - 2 x^{2} + b x + c$ w postaci kanonicznej, jeżeli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby, będące rozwiązaniami równania $|x - 2| = 4$ .

Rozwiązanie:

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ :

$|x - 2| = 4$

$x - 2 = 4 \lor x - 2 = - 4$

$x = 6$ oraz $x = - 2$

Wobec tego miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $x_{1} = 6$ oraz $x_{2} = - 2$ .

Do wyznaczenia pierwszej współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ wykorzystamy wzór $p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ .

Zatem $p = \frac{6 + (- 2)}{2} = 2$ .

Wobec tego postać kanoniczna funkcji $f$ wyraża się wzorem $f (x) = - 2 {(x - 2)}^{2} + q$ .

Ponieważ liczba $6$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ , zatem do paraboli, będącej wykresem tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(6, 0)$ .

Wobec tego podstawiamy współrzędne punktu $(6, 0)$ do wzoru funkcji $f (x) = - 2 {(x - 2)}^{2} + q$ :

$0 = - 2 \cdot {(6 - 2)}^{2} + q$

$0 = - 2 \cdot 16 + q$ , czyli $q = 32$

Wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej: $f (x) = - 2 {(x - 2)}^{2} + 32$

Przykład 12

Wykażemy, że jeśli funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem w postaci ogólnej $f (x) = a x^{2} + b x$ oraz wzorem w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $a \neq 0$ , to $p + q = - \frac{2 b + b^{2}}{4 a}$ .

Rozwiązanie:

Przekształcimy wzór $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

Zatem

$f (x) = a \cdot {(x - p)}^{2} + q = a \cdot (x^{2} - 2 p x + p^{2}) + q =$

$= a x^{2} - 2 a p x + a p^{2} + q$

Porównując otrzymany wzór ze wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej otrzymujemy zależności:

$b = - 2 a p$ , czyli $p = \frac{- b}{2 a}$

$0 = a p^{2} + q$ , czyli $q = - a p^{2} = - a \cdot {(\frac{- b}{2 a})}^{2} = - a \cdot \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = - \frac{b^{2}}{4 a}$

Wobec tego:

$p + q = - \frac{b}{2 a} + (- \frac{b^{2}}{4 a}) = - \frac{2 b + b^{2}}{4 a}$

Polecenie 3

Uruchom aplet, a następnie odczytaj współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej.

Zapoznaj się z poniższym opisem, w którym przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji kwadratowej.

RfU1vmMFjYiKk1

Polecenie 4

Na rysunkach przedstawiono parabole, będące wykresami funkcji kwadratowych określonych wzorami $f (x) = - 2 {(x - p)}^{2} + q$ .

Odczytaj współrzędne wierzchołka paraboli, a następnie zapisz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

R1dZrDwk74ibf
R1S0mAqM7iWAU

Jeżeli współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ oznaczymy jako $(p, q)$ , to:

$p = - 1$ , $q = 3$ , zatem $f (x) = - 2 {(x + 1)}^{2} + 3$ .
$p = 4$ , $q = - 2$ , zatem $f (x) = - 2 {(x - 4)}^{2} - 2$ .

Polecenie 5

W poniższym schemacie przygotuj algorytm zamieniający wzór funkcji kwadratowej postaci $f (x) = a x^{2} + b x + c$ na postać kanoniczną $f (x) = a (x - p) + q$ .

Przygotuj w języku Python algorytm zamieniający wzór funkcji kwadratowej postaci $f (x) = a x^{2} + b x + c$ na postać kanoniczną $f (x) = a (x - p) + q$ .

Rdau5q6DlW1Rf

Poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązanie.

RgvjLfRqDuBdQ

Linia 1. x znak równości None. Linia 2. a znak równości None. Linia 3. wynik znak równości None. Linia 4. b znak równości None. Linia 5. c znak równości None. Linia 7. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Zamiana wzoru funkcji kwadratowej f otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły znak równości ax kareta 2 plus bx plus c na postać kanoniczną f otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły znak równości a otwórz nawias okrągły x minus p zamknij nawias okrągły plus q kropka. Linia 8. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 9. def Zamiana podkreślnik wzoru podkreślnik funkcji podkreślnik kwadratowej podkreślnik na podkreślnik posta podkreślnik C4 podkreślnik 87 podkreślnik kanoniczn podkreślnik C4 podkreślnik 85 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 10. global x przecinek a przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 11. a znak równości 10. Linia 12. b znak równości 1. Linia 13. c znak równości 0. Linia 14. if a znak równości znak równości 0 dwukropek. Linia 15. print otwórz nawias okrągły apostrof To nie jest funkcja kwadratowa kropka apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 16. else dwukropek. Linia 17. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x2 zamknij nawias okrągły for x2 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Współrzędne wierzchołka paraboli przecinek która jest wykresem funkcji f wynoszą dwukropek p znak równości apostrof przecinek minus otwórz nawias okrągły b zamknij nawias okrągły przecinek apostrof prawy ukośnik 2 asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek a przecinek apostrof zamknij nawias okrągły znak równości apostrof przecinek p otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof przecinek q znak równości apostrof przecinek minus otwórz nawias okrągły b asterysk b zamknij nawias okrągły przecinek apostrof prawy ukośnik 4 asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek a przecinek apostrof zamknij nawias okrągły znak równości apostrof przecinek q otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 18. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x3 zamknij nawias okrągły for x3 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Wzór funkcji kwadratowej f zapisany w postaci kanonicznej dwukropek f otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły znak równości apostrof przecinek a przecinek apostrof otwórz nawias okrągły x apostrof przecinek minus2 otwórz nawias okrągły p otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kareta 2 apostrof przecinek znak otwórz nawias okrągły q otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 20. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 21. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 22. def znak otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 23. global a przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 24. if x otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 25. wynik znak równości apostrof minus apostrof plus str otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk x zamknij nawias okrągły. Linia 26. else dwukropek. Linia 27. wynik znak równości apostrof plus apostrof plus str otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły. Linia 28. return wynik. Linia 30. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 31. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 32. def minus otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 33. global a przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 34. if x otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 35. wynik znak równości apostrof apostrof plus str otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk x zamknij nawias okrągły. Linia 36. else dwukropek. Linia 37. wynik znak równości apostrof minus apostrof plus str otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły. Linia 38. return wynik. Linia 40. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 41. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 42. def p otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 43. global x przecinek a przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 44. wynik znak równości str otwórz nawias okrągły minus otwórz nawias okrągły b zamknij nawias okrągły prawy ukośnik otwórz nawias okrągły 2 asterysk a zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły plus apostrof apostrof. Linia 45. return wynik. Linia 47. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 48. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 49. def q otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 50. global x przecinek a przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 51. wynik znak równości str otwórz nawias okrągły minus otwórz nawias okrągły b asterysk b zamknij nawias okrągły prawy ukośnik otwórz nawias okrągły 4 asterysk a zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły plus apostrof apostrof. Linia 52. return wynik. Linia 54. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 55. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 56. def minus2 otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 57. global a przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 58. if x otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 59. wynik znak równości apostrof plus apostrof plus str otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk x zamknij nawias okrągły. Linia 60. else dwukropek. Linia 61. wynik znak równości apostrof minus apostrof plus str otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły. Linia 62. return wynik. Linia 65. Zamiana podkreślnik wzoru podkreślnik funkcji podkreślnik kwadratowej podkreślnik na podkreślnik posta podkreślnik C4 podkreślnik 87 podkreślnik kanoniczn podkreślnik C4 podkreślnik 85 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły.

x = None
a = None
wynik = None
b = None
c = None

"""Zamiana wzoru funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c na postać kanoniczną f(x)=a(x-p)+q.
"""
def Zamiana_wzoru_funkcji_kwadratowej_na_posta_C4_87_kanoniczn_C4_85():
  global x, a, wynik, b, c
  a = 10
  b = 1
  c = 0
  if a == 0:
    print('To nie jest funkcja kwadratowa.')
  else:
    print(''.join([str(x2) for x2 in ['Współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji f wynoszą: p = ', minus(b), '/2*(', a, ') = ', p(), ', q = ', minus(b * b), '/4*(', a, ') = ', q(), '.']]))
    print(''.join([str(x3) for x3 in ['Wzór funkcji kwadratowej f zapisany w postaci kanonicznej: f(x) = ', a, '(x ', minus2(p()), ')^2  ', znak(q()), '.']]))

"""Opisz tę funkcję...
"""
def znak(x):
  global a, wynik, b, c
  if x < 0:
    wynik = '- ' + str(-1 * x)
  else:
    wynik = '+ ' + str(x)
  return wynik

"""Opisz tę funkcję...
"""
def minus(x):
  global a, wynik, b, c
  if x < 0:
    wynik = '' + str(-1 * x)
  else:
    wynik = '-' + str(x)
  return wynik

"""Opisz tę funkcję...
"""
def p():
  global x, a, wynik, b, c
  wynik = str(minus(b) / (2 * a)) + ''
  return wynik

"""Opisz tę funkcję...
"""
def q():
  global x, a, wynik, b, c
  wynik = str(minus(b * b) / (4 * a)) + ''
  return wynik

"""Opisz tę funkcję...
"""
def minus2(x):
  global a, wynik, b, c
  if x < 0:
    wynik = ' + ' + str(-1 * x)
  else:
    wynik = ' - ' + str(x)
  return wynik


Zamiana_wzoru_funkcji_kwadratowej_na_posta_C4_87_kanoniczn_C4_85()

Przykład 13

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem $f (x) = - 3 {(x + 2)}^{2} - 4$ . Wyznaczymy:

a) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji,

b) oś symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji,

c) przedziały monotoniczności tej funkcji.

Rozwiązanie:

a) Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(- 2, - 4)$ .

b) Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji to $p = - 2$ , zatem osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest prosta o równaniu $x = - 2$ .

c) Ponieważ $a = - 3$ , zatem ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji, są skierowane do dołu.

Zatem funkcja jest:

rosnąca w przedziale $(- \infty, - 2⟩$ ,
malejąca w przedziale $⟨- 2, \infty)$ .

Mając dany wykres funkcji kwadratowej, możemy wyznaczyć wzór tej funkcji.

Przykład 14

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ .

RBMBsFyFE1CjK

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do trzech i pionową oś Y od minus pięciu do dwóch. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabola z ramionami skierowanymi w dół i wierzchołkiem w punkcie nawias minus dwa średnik minus dwa. Wykres funkcji przechodzi przez punkty nawias minus pięć średnik minus pięć koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik minus pięć koniec nawiasu.

Wyznaczymy wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że prosta o równaniu $x = - 2$ jest osią symetrii tej paraboli, zatem $p = - 2$ .

Zbiorem wartości funkcji jest przedział $(- \infty, - 2⟩$ , zatem $q = - 2$ .

Wzór funkcji możemy zapisać w postaci $f (x) = a {(x + 2)}^{2} - 2$ .

Z wykresu funkcji odczytujemy, że należy do niego punkt o współrzędnych $(1, - 5)$ .

Zatem aby wyznaczyć wartości współczynnika $a$ , rozwiązujemy równanie:

$- 5 = a \cdot {(1 + 2)}^{2} - 2$ , więc $a = - \frac{1}{3}$ .

Wzór funkcji przedstawionej na rysunku jest postaci $f (x) = - \frac{1}{3} {(x + 2)}^{2} - 2$ .

Jeżeli mamy dane współrzędne punktu, który należy do wykresu funkcji kwadratowej oraz przedziały monotoniczności lub równanie osi symetrii jej wykresu, wówczas możemy wyznaczyć wzór tej funkcji.

Przykład 15

Wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ spełnia następujące warunki:

do wykresu należy punkt o współrzędnych $(5, 1)$ ,
osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest prosta o równaniu $x = 3$ ,
zbiorem wartości funkcji jest przedział $⟨- 1, \infty)$ .

Wyznaczymy wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Ponieważ osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest prosta o równaniu $x = 3$ , zatem $p = 3$ .

Jeżeli zbiorem wartości funkcji jest przedział $⟨- 1, \infty)$ , to $q = - 1$ .

Zatem wzór tej funkcji zapisujemy w postaci $f (x) = a {(x - 3)}^{2} - 1$ .

Ponieważ punkt o współrzednych $(5, 1)$ należy do wykresu tej funkcji, zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$1 = a \cdot {(5 - 3)}^{2} - 1$ .

Zatem $a = \frac{1}{2}$ .

Wzór tej funkcji zapisujemy w postaci $f (x) = \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} - 1$ .

Przykład 16

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem $f (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 1$ .

Wyznaczymy:

a) równanie osi symetrii wykresu tej funkcji,

b) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji,

c) przedziały monotoniczności tej funkcji.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wzór funkcji możemy zapisać w nastepującej postaci:

$f (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 1 = - 3 (x^{2} - 2 x + 1) + 4 = - 3 {(x - 1)}^{2} + 4$ .

a) Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że $p = 1$ , zatem osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji jest prosta o równaniu $x = 1$ .

b) Wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji ma współrzedne $(1, 4)$ .

c) Ponieważ $a = - 3$ , zatem ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji, są skierowane do dołu.

Funkcja jest:

rosnąca w przedziale $(- \infty, 1⟩$ ,
malejąca w przedziale $⟨1, \infty)$ .

Przykład 17

Określimy liczbę rozwiązań równania $f (x) = m$ , dla $m \in ℝ$ , gdy $f (x) = - 2 {(x + 5)}^{2} + 3$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ $a = - 2$ , zatem ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji, są skierowane do dołu. Współrzędne wierzchołka tej funkcji wynoszą $(- 5, 3)$ .

Zatem równanie $f (x) = m$ , dla $m \in ℝ$ ma:

dwa rozwiązania, gdy $(- \infty, 3)$ ,
jedno rozwiązanie, gdy $m = 3$ ,
zero rozwiązań, gdy $m \in (3, \infty)$ .

Polecenie 6

Uruchom aplet, a następnie wykonaj poniższe polecenie. Zwróć uwagę na współrzędne wierzchołka paraboli oraz własności funkcji, które można odczytać za pomocą wykresu.

R1Xo1cxJV2Bh7

Polecenie 7

Narysuj wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = 3 {(x + 2)}^{2} - 3$ i określ kilka własności tej funkcji.

Ze wzoru funkcji odczytujemy, że $a = 3$ , zatem ramiona paraboli są skierowane do góry oraz $p = - 2$ i $q = - 3$ .

Wobec tego:

wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem tej funkcji jest punkt o współrzędnych $(- 2, - 3)$ ,
osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu $x = - 2$ ,
zbiorem wartości funkcji jest przedział $⟨- 3, \infty)$ ,
funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, - 2⟩$ ,
funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨- 2, \infty)$ .

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R1Z9MX3IOovt7

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do trzech i pionową oś Y od minus trzech do trzech. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabola z ramionami skierowanymi w górę i wierzchołkiem w punkcie nawias minus dwa średnik minus trzy. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus trzy średnik zero koniec nawiasu oraz nawias minus jeden średnik zero koniec nawiasu.

Ćwiczenie 1

RglAs0IXWRLwv

R154BHTQIgqMe1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

R1eaCj6WXki2y

RvZKpQrGHEOiQ2

Ćwiczenie 4

Przyporządkuj odpowiednio wyrażenia dla x, większy niż, zero. Wyrażenia równoważne z wyrażeniem nawias a pierwiastek kwadratowy z b x koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, podzielić na, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka. Możliwe odpowiedzi: 1. a pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z b x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, a x pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b x pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. a pierwiastek kwadratowy z b x koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z b x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z b x koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 7. początek ułamka, nawias a pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a x pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b x pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, mianownik, x, koniec ułamka Pozostałe wyrażenia. Możliwe odpowiedzi: 1. a pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z b x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, a x pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b x pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. a pierwiastek kwadratowy z b x koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z b x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z b x koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 7. początek ułamka, nawias a pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a x pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b x pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, mianownik, x, koniec ułamka

Ćwiczenie 5

R1TbJ8faRfK3O

Połącz w pary wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej z odpowiadającym mu wzorem w postaci kanonicznej. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście x, minus, dwadzieścia cztery Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, minus, sześć

Ćwiczenie 6

RjCV2uwvtBitA

Ćwiczenie 7

RoIIre8W3PnW7

Ćwiczenie 8

R1bL40fPL167o2

RI4QuBE07gOJD

Ćwiczenie 9

R1Q5gRWH7Qb6f

R1XMuisjRx33T

R3WxUPfVgmRnf1

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

Wyznacz postać kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola przedstawiona na rysunku.

R13XxMtGaE63U

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 8 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do dołu i wierzchołkiem w punkcie nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu. Ramiona paraboli przecinają oś x w punktach: nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias siedem średnik zero zamknięcie nawiasu.

RQVMkEjAkYZzr

Ćwiczenie 12

R1P63BtlQo9oO

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem, przeciągając wzory funkcji we właściwe miejsca. Wzory funkcji kwadratowych, których wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych nawias, trzy, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu: Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, minus, dziesięć, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście x, plus, siedemnaście, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, minus, osiem, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x, plus, dziewiętnaście, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x, minus, trzydzieści siedem, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia cztery x, minus, trzydzieści pięć Wzory funkcji kwadratowych, których wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych nawias, minus, trzy, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu: Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, minus, dziesięć, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście x, plus, siedemnaście, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, minus, osiem, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x, plus, dziewiętnaście, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x, minus, trzydzieści siedem, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia cztery x, minus, trzydzieści pięć

Ćwiczenie 13

RdQbpexv1yXvw

Ćwiczenie 14

RLWysFWpTjHQa

Ćwiczenie 15

R1T98pKebH6JB

Ćwiczenie 16

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $(4, 2)$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej, jeżeli wiadomo, że do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ należy punkt o współrzędnych $(0, - 2)$ .

Jeżeli wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ jest punkt o współrzędnych $(4, 2)$ , to wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej zapisujemy jako $f (x) = a \cdot {(x - 4)}^{2} + 2$ .

Ponieważ do wykresu funkcji $f$ należy punkt o współrzędnych $(0, - 2)$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$- 2 = a \cdot {(0 - 4)}^{2} + 2$ .

Zatem $a = - \frac{1}{4}$ .

Wobec tego wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej zapisujemy jako $f (x) = - \frac{1}{4} {(x - 4)}^{2} + 2$ .

Ćwiczenie 17

Na poniższym rysunku przedstawiono parabolę.

R14aOP2qrbcf6

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus czterech do sześciu i pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będący parabolą z ramionami skierowanymi w dół i z wierzchołkiem w punkcie nawias jeden średnik pięć. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus cztery średnik zero koniec nawiasu i w punkcie nawias sześć średnik zero koniec nawiasu.

RgECV9UWZov13

Ćwiczenie 18

R2wjJ3V7dFZ8J

RJVspQQFE8uce

Dopasuj wzór do odpowiadającego mu wykresu funkcji kwadratowej. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do dwóch i pionową oś Y od minus cztery do cztery. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będący parabolą z ramionami skierowanymi w dół i wierzchołkiem w punkcie nawias minus dwa średnik cztery. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik jeden koniec nawiasu oraz nawias minus jeden średnik jeden koniec nawiasu., 2. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dwóch do sześciu i pionową oś Y od minus cztery do cztery. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będący parabolą z ramionami skierowanymi w górę i wierzchołkiem w punkcie nawias trzy średnik minus cztery. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias dwa średnik minus jeden koniec nawiasu oraz nawias cztery średnik minus jeden koniec nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus trzech do pięciu i pionową oś Y od minus cztery do cztery. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będący parabolą z ramionami skierowanymi w górę i wierzchołkiem w punkcie nawias jeden średnik minus trzy. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias zero średnik minus jeden koniec nawiasu oraz nawias dwa średnik minus jeden koniec nawiasu. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do dwóch i pionową oś Y od minus cztery do cztery. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będący parabolą z ramionami skierowanymi w dół i wierzchołkiem w punkcie nawias minus dwa średnik cztery. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik jeden koniec nawiasu oraz nawias minus jeden średnik jeden koniec nawiasu., 2. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dwóch do sześciu i pionową oś Y od minus cztery do cztery. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będący parabolą z ramionami skierowanymi w górę i wierzchołkiem w punkcie nawias trzy średnik minus cztery. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias dwa średnik minus jeden koniec nawiasu oraz nawias cztery średnik minus jeden koniec nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus trzech do pięciu i pionową oś Y od minus cztery do cztery. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będący parabolą z ramionami skierowanymi w górę i wierzchołkiem w punkcie nawias jeden średnik minus trzy. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias zero średnik minus jeden koniec nawiasu oraz nawias dwa średnik minus jeden koniec nawiasu. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do dwóch i pionową oś Y od minus cztery do cztery. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będący parabolą z ramionami skierowanymi w dół i wierzchołkiem w punkcie nawias minus dwa średnik cztery. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik jeden koniec nawiasu oraz nawias minus jeden średnik jeden koniec nawiasu., 2. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dwóch do sześciu i pionową oś Y od minus cztery do cztery. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będący parabolą z ramionami skierowanymi w górę i wierzchołkiem w punkcie nawias trzy średnik minus cztery. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias dwa średnik minus jeden koniec nawiasu oraz nawias cztery średnik minus jeden koniec nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus trzech do pięciu i pionową oś Y od minus cztery do cztery. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będący parabolą z ramionami skierowanymi w górę i wierzchołkiem w punkcie nawias jeden średnik minus trzy. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias zero średnik minus jeden koniec nawiasu oraz nawias dwa średnik minus jeden koniec nawiasu.

Ćwiczenie 19

Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej.

Rm4U81KnDZxc9

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus trzech do siedmiu i pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będący parabolą z ramionami skierowanymi w górę i wierzchołkiem w punkcie nawias dwa średnik minus jeden koniec nawiasu. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe w punktach nawias zero średnik zero koniec nawiasu i w punkcie nawias cztery średnik zero koniec nawiasu.

R9UANwfFD0edg

Ćwiczenie 20

Na rysunku przedstawiono wykresy oznaczone odpowiednio: $I$ i $II$ .

Na rysunku przedstawiono wykresy oznaczone odpowiednio: jedynką rzymską i dwójką rzymską.

R1NNNGxpC34Rf

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu i pionową oś Y od minus pięciu do trzech. Na rysunku zaznaczono także wykresy dwóch funkcji kwadratowych będące parabolami. Parabola oznaczona jedynką rzymską posiada ramiona skierowane w dół i wierzchołek w punkcie nawias minus trzy średnik minus dwa koniec nawiasu. Wykres funkcji przechodzi przez punkty nawias minus cztery średnik minus trzy koniec nawiasu i punkt nawias minus dwa średnik minus trzy koniec nawiasu. Parabola oznaczona dwójką rzymską posiada wierzchołek w puncie nawias trzy średnik minus dwa oraz ramiona skierowane w górę. Wykres drugiej funkcji posiada dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias jeden średnik dwa koniec nawiasu oraz nawias pięć średnik dwa koniec nawiasu.

Rqi0me6C1FQlo

RdQUjlh8vCJeG2

Ćwiczenie 21

R1P88nnviIbBA2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie $(1, 2)$ . Wyznacz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej, jeżeli wiadomo, że do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(3, - 4)$ .

Jeżeli wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest punkt o współrzędnych $(1, 2)$ , to wzór funkcji w postaci kanonicznej zapisujemy jako $f (x) = a \cdot {(x - 1)}^{2} + 2$ .

Ponieważ do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(3, - 4)$ , zatem, aby wyznaczyć wartość $a$ , rozwiązujemy równanie:

$- 4 = a \cdot {(3 - 1)}^{2} + 2$ .

Zatem $a = - \frac{3}{2}$ .

Wobec tego wzór funkcji w postaci kanonicznej zapisujemy jako $f (x) = - \frac{3}{2} {(x - 1)}^{2} + 2$ .

Ćwiczenie 24

Zapisz wzór funkcji $f (x) = - x^{2} + x$ w postaci kanonicznej, a następnie podaj:

zbiór wartości,
przedziały monotoniczności tej funkcji.

Obliczamy:

$p = \frac{- 1}{2 \cdot (- 1)} = \frac{1}{2}$ ,

$q = f (\frac{1}{2}) = - {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .

Zauważmy, że $a = - 1$ , zatem ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji, są skierowane do dołu.

Postać kanoniczna wyraża się wzorem $f (x) = - {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

Zbiorem wartości funkcji jest przedział $(- \infty, \frac{1}{4}⟩$ .
Funkcja jest:
- rosnąca w przedziale $(- \infty, \frac{1}{2}⟩$ ,
- malejąca w przedziale $⟨\frac{1}{2}, \infty)$ .

Słownik

wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie:

$a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

gdzie:

$p = \frac{- b}{2 a}$ ,

$q = \frac{- ∆}{4 a}$ ,

$∆ = b^{2} - 4 a c$

2. Przesunięcie wykresu funkcji f(x)=ax^2 wzdłuż osi X oraz Y

4. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

3. Postać ogólna i kanoniczna wzoru funkcji kwadratowej.

Słownik