Przeczytaj
Na początek przypomnimy zależności między długościami boków trójkąta.
Jeżeli , , są długościami boków trójkąta, to
Gdyby jedna z tych nierówności nie była spełniona, to nie można by było zbudować trójkąta o bokach , , .
W trójkącie najdłuższy bok leży naprzeciw kąta o największej mierze.
Dla utrwalenia tej własności uruchom aplet. Zwróć uwagę na miarę kąta i boku leżącego na przeciwko niego. Możesz w każdej chwili zatrzymać aplet aby przyjrzeć się uważniej zaznaczonym danym.
Trójkąt prostokątny
Twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa jednoznacznie charakteryzują trójkąty prostokątnetrójkąty prostokątne jako trójkąty, których boki spełniają zależność .
Trójkąt ostrokątny
Rozważmy trójkąt ostrokątny o bokach , , . Niech będzie kątem przy wierzchołku .
Wysokość jest prostopadła do , więc dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy
Stąd
Zatem
ale , więc
Stąd wynika:
Jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to dla dowolnej pary boków tego trójkąta suma kwadratów ich długości jest większa od kwadratu trzeciego boku.
Jeśli kąt między bokami , jest ostry, to . Ponieważ trójkąt ostrokątny ma wszystkie kąty ostre, to kąty między dowolnymi dwoma bokami są ostre, więc dla dowolnej pary boków tego trójkąta suma kwadratów ich długości jest większa od kwadratu trzeciego boku.
Sprawdzanie własności opisanej w twierdzeniu można sprowadzić do sprawdzenia, czy kąt leżący naprzeciwko najdłuższego boku trójkąta jest kątem ostrym. Wynika to z własności, że największy kąt w trójkącie leży naprzeciwko najdłuższego boku.
Trójkąt rozwartokątny
Rozważmy trójkąt rozwartokątny o bokach , , .
Niech będzie kątem rozwartym, jak na rysunku.
Wykonujemy przeliczenia analogiczne do przedstawionych wyżej.
Stąd
Zatem
ale , więc
Stąd wynika:
Jeżeli trójkąt jest rozwartokątny, to istnieje para boków tego trójkąta taka, że suma kwadratów ich długości jest mniejsza od kwadratu trzeciego boku.
Jeśli kąt między bokami , jest rozwarty, to . Ponieważ trójkąt rozwartokątny ma jeden kąt rozwarty, to dla pary boków tworzących ten kąt zachodzi, suma kwadratów ich długości jest mniejsza od kwadratu trzeciego boku.
Jeżeli , , są długościami boków trójkąta, to kąt między bokami , jest:
ostry wtedy i tylko wtedy, gdy ;
prosty wtedy i tylko wtedy, gdy ;
rozwarty wtedy i tylko wtedy, gdy .
Pokazaliśmy wyżej, że jeżeli kąt między bokami , jest
ostry, to ;
prosty, to ;
rozwarty, to .
Przedstawmy to graficznie, gdzie strzałka pokazuje kierunek wnioskowania.
Należy teraz pokazać własności odwrotne, czyli odwrócić kierunek wnioskowania.
Załóżmy, że . Wtedy kąt między bokami i nie może być prosty, bo musiałaby być równość. Nie może być też rozwarty, bo wtedy mielibyśmy . Zatem kąt między bokami i jest ostry. Analogiczne rozważania przeprowadzamy dla pozostałych zależności. Stąd w graficznym przedstawieniu prawdziwe jest wnioskowanie w drugą stronę.
Jako wniosek z twierdzenia o klasyfikacji kątów dostajemy:
Trójkąt jest ostrokątny, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej pary boków tego trójkąta suma kwadratów ich długości jest większa od kwadratu trzeciego boku.
Trójkąt jest prostokątny, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje para boków tego trójkąta taka, że suma kwadratów ich długości jest równa kwadratowi trzeciego boku.
Trójkąt jest rozwartokątny, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje para boków tego trójkąta taka, że suma kwadratów ich długości jest mniejsza od kwadratu trzeciego boku.
Dane są dwa boki trójkąta , oraz wiemy, że trzeci bok , . Wyznaczymy zbiór wartości boku , dla których ten trójkąt jest rozwartokątnytrójkąt jest rozwartokątny.
Rozwiązanie
Musi zachodzić nierówność . Stąd . Stąd .
Z własności boków trójkąta i z założenia .
Wartość należy do części wspólnej tych przedziałów, czyli .
Dane są dwa boki trójkąta , oraz wiemy, że trzeci bok , . Wyznaczymy zbiór wartości boku , dla których ten trójkąt jest ostrokątnytrójkąt jest ostrokątny.
Rozwiązanie
Musi zachodzić nierówność . Stąd . Stąd .
Z własności boków trójkąta i z założenia .
Wartość należy do części wspólnej tych przedziałów, czyli .
Wiemy, że trójkąt równoramienny ma podstawę długości . Wyznaczymy długości ramion, dla których trójkąt ten jest:
ostrokątny;
prostokątnyprostokątny;
rozwartokątny.
Rozwiązanie
Na początku zauważamy, że jeśli kąt leżący naprzeciwko podstawy ma miarę , to pozostałe kąty tego trójkąta mają miarę , czyli są ostre. Stąd wynika, że do określenia rodzaju trójkąta równoramiennego wystarczy określić rodzaj kąta leżącego naprzeciwko podstawy.
Niech oznacza długość ramienia, wtedy .
Obliczamy sumę kwadratów ramion trójkąta , a następnie porównujemy z wartością .
Trójkąt jest prostokątny, wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli , stąd .
Trójkąt jest ostrokątny, wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli .
Trójkąt jest rozwartokątny, wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli .
Promień okręgu o środku wynosi . Rozważamy kąty środkowe w tym okręgu. Wyznaczymy dla jakich długości cięciw kąty środkowe są ostre.
Rozwiązanie
Trójkąt jest trójkątem równoramiennym o długości ramienia równej promieniowi okręgu. Kąt środkowy oparty na cięciwie to kąt tego trójkąta.
Jeśli jest kątem ostrym w trójkącie to:
, więc .
Dla zainteresowanych
Wykorzystanie twierdzenia o klasyfikacji trójkątów w układzie współrzędnych
Rozważamy trójkąt , którego wierzchołki mają współrzędne
Wyprowadzimy sposób sprawdzania jakim rodzajem trójkąta jest ten trójkąt.
1. Obliczamy kwadraty długości boków tego trójkąta
2. Wybieramy ten odcinek, którego kwadrat długości jest maksymalny. Przyjmijmy, że to jest .
3. Sprawdzamy, która z zależności z twierdzenia o klasyfikacji kątów jest spełniona, czyli porównujemy wartość wyrażenia z wartością .
4. Określamy rodzaj trójkąta.
Określimy rodzaj trójkąta o wierzchołkach , , .
Rozwiązanie
Obliczamy
,
,
.
Kwadrat boku ma największą wartość.
, więc trójkąt jest rozwartokątny.
Słownik
trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty
trójkąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre
trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest rozwarty