Obliczymy, jaką co najmniej długość powinna mieć koronka potrzebna do obszycia serwety, której kształt przedstawiony jest na rysunku:

R16pG2kdYHYmS

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny na tle w kratkę. Pozioma podstawa ma długość ośmiu kratek i podpisana jest jako 8 centymetrów. Pionowa przyprostokątna to bok a zajmujący 8 kratek, a przeciwprostokątna to bok c. Zaznaczono dwa kąty wewnętrzne trójkąta: kąt prosty oraz kąt o mierze 45 stopni między podstawą a bokiem c.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że serweta ma kształt trójkąta prostokątnego równoramiennego, zatem $a$ ma długość $8 \mathrm{cm}$. Korzystając z definicji cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnymcosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnymcosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym obliczymy długość odcinka $c$: $\cos 45°=\frac{8}{c}$, stąd $c=\frac{8}{\cos 45°}$.

Korzystamy z apletu i wyznaczamy wartość $\cos 45°$. Mamy zatem: $c\approx \frac{8}{0,7071}\approx 11,31 \mathrm{cm}$.

Na obszycie serwety potrzeba więc około $27,31 \mathrm{cm}$ koronki.

Wyznaczymy wysokość drzewa przedstawionego na ilustracji.

R6yT8U8s3ORIP

Ilustracja przedstawia rysunek drzewa oraz trójkąta prostokątnego na tle w kratkę. Pionowa przyprostokątna ma taką samą długość, jak wysokość drzewa i zajmuje 8 kratek. Postawa będąca poziomą przyprostokątną zajmuje 12 kratek i opisana jest jaki 1,2 metra. W trójkącie zaznaczono dwa kąty wewnętrzne: kąt prosty oraz kąt o mierze 30 stopni między podstawą a przeciwprostokątną.

Rozwiązanie

Wysokość drzewa oznaczamy przez $h$ i korzystamy z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym: $\mathrm{tg}30°=\frac{h}{1,2}$. Odczytujemy wartość tangensa z apletu i podstawiamy ją do wzoru: $0,5774\approx \frac{h}{1,2}$, co daje: $h\approx 0,5774·1,2 \mathrm{m} =0,69 \mathrm{m}$

Zgodnie z zasadami bezpieczeństwa, drabina opierana o ścianę może być nachylona do podłoża pod kątem $\alpha \in \left(60°;70°\right)$. Jaką długość powinna mieć drabina, której koniec, oparty o ścianę zgodnie z zasadami bezpieczeństwa, znajdować się będzie około $4$ metry nad ziemią?

Rozwiązanie

Sytuację opisaną w zadaniu przedstawia rysunek:

R13FnUJxMBnc1

Ilustracja ścianę i podłogę oraz oznaczony między nimi kąt prosty. O ścianę oparta jest drabina o długości x tak, że odległość od podłogi do punktu podparcia na ścianie wynosi cztery, co zaznaczono na rysunku. Drabina nachylona jest do podłogi pod kątem ostrym alfa. Ściana, podłoga i drabina tworzą trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej równej 4, przeciwprostokątnej x oraz o zaznaczonych kątach wewnętrznych: prostym i ostrym alfa.

gdzie $x$ oznacza długość drabiny, zaś $\alpha$ jest kątem jej nachylenia do podłoża.

Rozważymy najpierw przypadek dla $\alpha =60°$. Korzystając z definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnymsinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnymsinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy $\sin 60°=\frac{4}{x}$, stąd: $x=\frac{4}{\sin 60°}$.

Odczytujemy wartość $\sin 60°$ przy pomocy naszego apletu i podstawiamy do wzoru: $x\approx \frac{4}{0,8660}\approx 4,62 \mathrm{m}$.

Sprawdzamy, jaką długość musi mieć drabina, gdy $\alpha =70°$. Mamy wówczas: $x=\frac{4}{\sin 70°}$.

Ponownie korzystamy z apletu i odczytujemy wartość $\sin 70°$. Zatem $x\approx \frac{4}{0,9397}\approx 4,26 \mathrm{m}$.

Odp. Drabina musi mieć długość większą nić $4,26 \mathrm{m}$ i mniejszą niż $4,62 \mathrm{m}$.

Maciek i Michał zmierzyli długości swoich cieni o różnych porach dnia. Gdy promienie słońca padały pod kątem $56°$, cień Maćka miał długość ok. $121,41 \mathrm{cm}$. Gdy promienie słońca padały pod kątem $42°$, cień Michała miał długość ok. $195,47 \mathrm{cm}$. Sprawdzimy, który z chłopców jest wyższy i o ile $\mathrm{cm}$.

Rozwiązanie

Wyznaczymy wzrost $h_1$ Maćka:

R14JpjG4o1pOq

Ilustracja przedstawia chłopca w stroju sportowym trzymającego piłkę do koszykówki. Po prawej stronie rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny, którego pionowa przyprostokątna to wysokość chłopca. Pozioma przyprostokątna ma długość 121,41 centymetrów. Przeciwprostokątna jest nachylona do podstawy pod kątem o mierze 56 stopni.

Korzystając z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnymtangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnymtangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym i apletu obliczającego wartości funkcji trygonometrycznych mamy: $\mathrm{tg}56°=\frac{h_1}{121,41}$, zatem $h_1\approx 121,41·1,4826\approx 180 \mathrm{cm}$.

Obliczymy teraz wzrost $h_2$ Michała:

RQ9rbJzcyalG1

Ilustracja przedstawia chłopca w stroju sportowym. Po prawej stronie rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny, którego pionowa przyprostokątna to wysokość chłopca. Pozioma przyprostokątna ma długość 195,47 centymetrów. Przeciwprostokątna jest nachylona do podstawy pod kątem o mierze 42 stopni.

Analogicznie, jak w przypadku Maćka, mamy: $h_2=195,47·\mathrm{tg}42°\approx 195,47·0,9004\approx 176 \mathrm{cm}$.

Odp. Maciek jest wyższy od Michała o około $4 \mathrm{cm}$.

Wyznaczymy miary kątów ostrych w trójkącie egipskim.

Rozwiązanie

Przedstawmy trójkąt egipskitrójkąt egipskitrójkąt egipski na rysunku.

R1b4Y8xubjskZ

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej o długości 3, poziomej przyprostokątnej o długości 4 oraz o przeciwprostokątnej o długości pięć. W trójkącie zaznaczono dwa kąty wewnętrzne: kąt prosty oraz ostry kąt alfa miedzy bokami 4 i 5

Oznaczmy przez $\alpha$ miarę kąta przy dłuższej przyprostokątnej. Wtedy $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}=0,75$.

Korzystając z powyższego apletu, mamy: $\alpha \approx 37°$. Drugi kąt ostry ma zatem miarę ok. $53°$.

Wymiary pokoju w kształcie trapezu prostokątnego przedstawia poniższy rysunek.

R13E1JW55fEYy

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny. Górna podstawa ma długość 9, dolna podstawa ma długość 6,5, lewy bok i wysokość figury mają długość pięć. Prawy ukośny bok jest nachylony do górnej podstawy pod kątem ostrym alfa.

Aby położyć w pokoju kafelki, należy część z nich przyciąć pod kątem $\alpha$. Obliczymy, jaka jest przybliżona wartość kąta $\alpha$.

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.

R1KcyuUvYwYlo

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny. Górna podstawa ma długość 9, dolna podstawa ma długość 6,5, lewy bok i wysokość figury mają długość pięć. Prawy ukośny bok jest nachylony do górnej podstawy pod kątem ostrym alfa. Prawy bok wraz z wysokością i kawałkiem górnej podstawy o długości x tworzą trójkąt prostokątny.

Oczywiście $x=9-6,5=2,5$. Zatem $\mathrm{tg}\alpha =\frac{5}{2,5}=2$. Korzystając z powyższego apletu, mamy: $\alpha \approx 63°$.

trójkąt o bokach wyrażonych kolejnymi liczbami naturalnymi: $3$, $4$, $5$

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej

stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej