Zacznijmy od przypomnienia podstawowych definicji. Rozważmy dowolny kąt i skonstruujmy trójkąt prostokątny o kącie .
R113GzmhzFeBE
Funkcje trygonometryczne kąta wprowadzamy w następujący sposób:
, , .
Uwaga!
Warto zauważyć, że wzięcie jakiegokolwiek innego trójkąta prostokątnego o kącie ostrym nie zmieni wartości funkcji trygonometrycznych. Właśnie to sprawia, że powyższa definicja w ogóle ma sens.
Poniższa aplikacja pozwoli Ci na wyznaczenie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych.
RWrXM2s4Qj9R5
Przykład 1
Obliczymy, jaką co najmniej długość powinna mieć koronka potrzebna do obszycia serwety, której kształt przedstawiony jest na rysunku:
R16pG2kdYHYmS
Rozwiązanie:
Zauważmy, że serweta ma kształt trójkąta prostokątnego równoramiennego, zatem ma długość . Korzystając z definicji cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnymcosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnymcosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym obliczymy długość odcinka : , stąd .
Korzystamy z apletu i wyznaczamy wartość . Mamy zatem: .
Na obszycie serwety potrzeba więc około koronki.
Przykład 2
Wyznaczymy wysokość drzewa przedstawionego na ilustracji.
R6yT8U8s3ORIP
Rozwiązanie
Wysokość drzewa oznaczamy przez i korzystamy z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym: . Odczytujemy wartość tangensa z apletu i podstawiamy ją do wzoru: , co daje:
Przykład 3
Zgodnie z zasadami bezpieczeństwa, drabina opierana o ścianę może być nachylona do podłoża pod kątem . Jaką długość powinna mieć drabina, której koniec, oparty o ścianę zgodnie z zasadami bezpieczeństwa, znajdować się będzie około metry nad ziemią?
Rozwiązanie
Sytuację opisaną w zadaniu przedstawia rysunek:
R13FnUJxMBnc1
gdzie oznacza długość drabiny, zaś jest kątem jej nachylenia do podłoża.
Rozważymy najpierw przypadek dla . Korzystając z definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnymsinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnymsinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy , stąd: .
Odczytujemy wartość przy pomocy naszego apletu i podstawiamy do wzoru: .
Sprawdzamy, jaką długość musi mieć drabina, gdy . Mamy wówczas: .
Ponownie korzystamy z apletu i odczytujemy wartość . Zatem .
Odp. Drabina musi mieć długość większą nić i mniejszą niż .
Przykład 4
Maciek i Michał zmierzyli długości swoich cieni o różnych porach dnia. Gdy promienie słońca padały pod kątem , cień Maćka miał długość ok. . Gdy promienie słońca padały pod kątem , cień Michała miał długość ok. . Sprawdzimy, który z chłopców jest wyższy i o ile .
Rozwiązanie
Wyznaczymy wzrost Maćka:
R14JpjG4o1pOq
Korzystając z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnymtangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnymtangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym i apletu obliczającego wartości funkcji trygonometrycznych mamy: , zatem .
Obliczymy teraz wzrost Michała:
RQ9rbJzcyalG1
Analogicznie, jak w przypadku Maćka, mamy: .
Odp. Maciek jest wyższy od Michała o około .
W niektórych przypadkach nie jest nam potrzebna długość boku wielokąta, ale miara jego kąta wewnętrznego.
Poniższa aplikacja pozwoli Ci wyznaczyć miarę kąta, jeśli znasz przybliżoną wartość jego tangensa.
R1d4kYTgwxpej
Przykład 5
Wyznaczymy miary kątów ostrych w trójkącie egipskim.
Rozwiązanie
Przedstawmy trójkąt egipskitrójkąt egipskitrójkąt egipski na rysunku.
R1b4Y8xubjskZ
Oznaczmy przez miarę kąta przy dłuższej przyprostokątnej. Wtedy .
Korzystając z powyższego apletu, mamy: . Drugi kąt ostry ma zatem miarę ok. .
Przykład 6
Wymiary pokoju w kształcie trapezu prostokątnego przedstawia poniższy rysunek.
R13E1JW55fEYy
Aby położyć w pokoju kafelki, należy część z nich przyciąć pod kątem . Obliczymy, jaka jest przybliżona wartość kąta .
Rozwiązanie
Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.
R1KcyuUvYwYlo
Oczywiście . Zatem . Korzystając z powyższego apletu, mamy: .
Słownik
trójkąt egipski
trójkąt egipski
trójkąt o bokach wyrażonych kolejnymi liczbami naturalnymi: , ,
sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej
cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej
tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej