Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą animacją. Przeanalizuj omówione w niej rozwiązanie zadania, w którym zastosowano regułę dodawania.

RrHUIKgZh8kit

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6mLx9NqG

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego liczby elementów zbioru skończonego oraz reguły dodawania.

Polecenie 2

Korzystając z omówionego przykładu, rozwiąż samodzielnie następujące zadanie.

W pewnym liceum dla uczniów klas trzecich prowadzone są zajęcia trzech kół zainteresowań:

koła matematycznego,
koła biologicznego,
koła historycznego.

Na liście uczniów, którzy biorą udział w zajęciach choć jednego z tych trzech kół jest ogółem $75$ osób, przy czym:

w zajęciach koła matematycznego bierze udział $55$ osób,
w zajęciach koła biologicznego bierze udział $50$ osób,
w zajęciach koła historycznego bierze udział $39$ osób.

Wykaż, że w tym liceum łączna liczba uczniów klas trzecich, którzy biorą udział w zajęciach tylko jednego koła zainteresowań, jest o $6$ większa od liczby uczniów, którzy biorą udział w zajęciach wszystkich trzech kół zainteresowań.

Wyróżnimy wśród uczniów tej szkoły:

$A$ – zbiór uczniów, którzy biorą udział w zajęciach koła matematycznego,
$B$ – zbiór uczniów, którzy biorą udział w zajęciach koła biologicznego,
$C$ – zbiór uczniów, którzy biorą udział w zajęciach koła historycznego.

Z warunków zadania:

$|A| = 55$ ,
$|B| = 50$ ,
$|C| = 39$ ,
$|A \cup B \cup C| = 75$ .

Oznaczmy:

$|A \cap B \cap C| = s$ – liczba uczniów, którzy biorą udział w zajęciach wszystkich trzech kół,

$|A ∖ (B \cup C)| = a$ – liczba uczniów, którzy biorą udział wyłącznie w zajęciach koła matematycznego,

$|B ∖ (A \cup C)| = b$ – liczba uczniów, którzy biorą udział wyłącznie w zajęciach koła biologicznego,

$|C ∖ (A \cup B)| = c$ – liczba uczniów, którzy biorą udział wyłącznie w zajęciach koła historycznego,

$|(A \cap B) ∖ C| = x$ – liczba uczniów, którzy biorą udział w zajęciach koła matematycznego i w zajęciach koła biologicznego, ale nie uczęszczają na zajęcia koła historycznego,

$|(A \cap C) ∖ B| = y$ – liczba uczniów, którzy biorą udział w zajęciach koła matematycznego i w zajęciach koła historycznego, ale nie uczęszczają na zajęcia koła biologicznego,

$|(B \cap C) ∖ A| = z$ – liczba uczniów, którzy biorą udział w zajęciach koła biologicznego i w zajęciach koła historycznego, ale nie uczęszczają na zajęcia koła matematycznego.

Korzystając z reguły dodawania otrzymujemy stąd, że

$|A| = a + x + y + s$ ,

$|B| = b + z + x + s$ ,

$|C| = c + z + y + s$ ,

$|A \cup B \cup C| = a + b + c + x + y + z + s$ .

Mamy więc cztery równania:

$a + x + y + s = 55$ ,

$b + z + x + s = 50$ ,

$c + z + y + s = 39$ ,

$a + b + c + x + y + z + s = 75$ .

Odejmując stronami od sumy trzech pierwszych równań podwojone czwarte równanie otrzymujemy:

$(a + b + c) + 2 (x + y + z) + 3 s - 2 (x + y + z + a + b + c + s) =$
$= 55 + 50 + 39 - 2 \cdot 75$ .

Zatem

$s - (a + b + c) = - 6$ ,

skąd

$(a + b + c) = s + 6$ .

Oznacza to, że łączna liczba uczniów klas trzecich, którzy biorą udział w zajęciach tylko jednego koła zainteresowań, jest o $6$ większa od liczby uczniów, którzy biorą udział w zajęciach wszystkich trzech kół zainteresowań.

Ważne!

Ponieważ na podstawie reguły dodawania dla dowolnych trzech zbiorów $A$ , $B$ oraz $C$ prawdziwe są równości:

$|A| = |A ∖ (B \cup C)| + |(A \cap B) ∖ C| + |(A \cap C) ∖ B| + |A \cap B \cap C|$ ,

$|B| = |B ∖ (A \cup C)| + |(A \cap B) ∖ C| + |(B \cap C) ∖ A| + |A \cap B \cap C|$ ,

$|C| = |C ∖ (A \cup B)| + |(A \cap C) ∖ B| + |(B \cap C) ∖ A| + |A \cap B \cap C|$ ,

$|A \cap B| = |(A \cap B) ∖ C| + |A \cap B \cap C|$ ,

$|B \cap C| = |(B \cap C) ∖ A| + |A \cap B \cap C|$ ,

$|A \cap C| = |(A \cap C) ∖ B| + |A \cap B \cap C|$

oraz

$|A \cup B \cup C| = |A ∖ (B \cup C)| + |B ∖ (B \cup C)| + |C ∖ (A \cup C)| +$
$+ |(A \cap C) ∖ B| + |(A \cap B) ∖ C| + |(B \cap C) ∖ A| + |A \cap B \cap C|$

więc

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |B \cap C| + |A \cap C|) + |A \cap C \cap B|$

o liczbie elementów sumy trzech zbiorów

Twierdzenie: o liczbie elementów sumy trzech zbiorów

Dla dowolnych trzech zbiorów $A$ , $B$ oraz $C$ prawdziwa jest równość

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |B \cap C| + |A \cap C|) + |A \cap C \cap B|$

Przeczytaj

Sprawdź się