Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia na rysunku i zaznaczmy odpowiedni kąt.

RnMDqTJ7VKPe7

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Krawędzie podstawy oznaczono literą a, natomiast krawędź boczną literą h. Przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi bocznej h, pod kątem trzydziestu stopni. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt ograniczony dwoma przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka oraz przekątną podstawy.

Jeżeli $h$ jest długością krawędzi bocznej graniastosłupa, to do wyznaczenia wartości $h$ korzystamy z trójkąta prostokątnego, jak na poniższym rysunku:

R1OsRbAvvm3GQ

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ i h. Naprzeciw przyprostokątnej h, znajduje się kąt 30 stopni.

Zatem:

$h\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$h=\frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

Wobec tego, jeżeli $d$ jest długością przekątnej graniastosłupa, to:

$d=\sqrt{a^2+a^2+{\left(\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)}^2}=\sqrt{\frac{13}{6}{a}^2}=\frac{a\sqrt{13}}{\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{78}}{6}$

Obliczamy pole powierzchni oraz objętość graniastosłupa:

$P_c=2·a^2+4·a·h=2a^2+4·a·\frac{a\sqrt{6}}{6}=2a^2+\frac{2}{3}{a}^2\sqrt{6}=a^2\left(2+\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$

$V=a^2·h=a^2·\frac{a\sqrt{6}}{6}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$