• Utworzysz różne przyporządkowania zbiorów liczbowych.

• Nauczysz się rozróżniać te przyporządkowania, które są funkcjami.

• Odróżnisz przyporządkowania jednoznaczne od niejednoznacznych.

• Opiszesz funkcję liczbową różnymi sposobami.

Dane są dwa niepuste zbiory $X$ i $Y$.

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru $X$ przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru $Y$. Symbolicznie oznaczamy $f:X\to Y$ i czytamy „funkcja $f$ odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$”.

• Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami funkcji $f$

• Zbiór $Y$ nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element $y$ zbioru $Y$, który został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi $x$ nazywamy wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$, co zapisujemy symbolicznie $y=f\left(x\right)$. Zbiór tych elementów y nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Dana jest funkcja $f$, która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje jej czwartą część powiększoną o $5$. Określimy jej dziedzinę i zbiór wartości oraz wzór opisujący tę funkcję.

Rozwiązanie

$D_f=\mathrm{ℝ}$

$ZW=\mathrm{ℝ}$

$f\left(x\right)=0,25x+5$

Jest to przykład funkcji liczbowejfunkcja liczbowafunkcji liczbowej.  Każdej liczbie rzeczywistej możemy przyporządkować dokładnie jedną wartość, którą wyznaczymy zgodnie z ustalonym wzorem. Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami liczb rzeczywistych. Jest to też przykład odwzorowania „na”.

Dana jest funkcja $f$, która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje jej sześcian powiększony o $2$. Określimy jej dziedzinę, zbiór wartości, wzór opisujący tę funkcję oraz wykonamy tabelkę częściową.

Rozwiązanie

$D_f=\mathrm{ℝ}$

$ZW=\mathrm{ℝ}$

$f\left(x\right)=x^3+2$

Jest to przykład funkcji liczbowej, ponieważ każdej liczbie rzeczywistej możemy przyporządkować dokładnie jedną wartość, którą wyznaczymy zgodnie z ustalonym wzorem. Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami liczb rzeczywistych. Jest to przykład odwzorowania „na”.

Dana jest funkcja $f$, która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje iloczyn tej liczby przez $5$ powiększony o jej kwadrat. Określimy jej dziedzinę, zbiór wartości, wzór opisujący tę funkcję oraz sporządzimy tabelkę częściową.

Rozwiązanie

$D_f=\mathrm{ℝ}$

$ZW=⟨-6,25,\mathrm{\infty })$

$f\left(x\right)=5x+x^2$

Jest to przykład funkcji liczbowejfunkcja liczbowafunkcji liczbowej.  Każdej liczbie rzeczywistej możemy przyporządkować dokładnie jedną wartość, którą wyznaczymy zgodnie z ustalonym wzorem. Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami liczbowymi.

Dana jest funkcja $f$, która każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez $10$. Określimy dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji.

Rozwiązanie

$D_f={\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$

$ZW=\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\}$

Jest to przykład funkcji liczbowej, ponieważ dziedzina i zbiór wartości są zbiorami liczbowymi.

Czy przyporządkowanie, które każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje wszystkie jej dzielniki większe od jedności, jest funkcją?

Rozwiązanie

Jest to przykład przyporządkowania, które nie jest funkcją. Np. liczbie dwanaście możemy przyporządkować pięć różnych liczb: dwa, trzy, cztery, sześć, dwanaście.

Dana jest funkcja $f$, która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje kwadrat tej liczby pomniejszony o $7$. Określimy jej dziedzinę, zbiór wartości, wzór opisujący tę funkcję oraz wykonamy tabelkę częściową.

Rozwiązanie

$D_f=\mathrm{ℝ}$

$ZW=\left.⟨-7, \infty \right)$

$f\left(x\right)=x^2-7$

Jest to przykład funkcji liczbowejfunkcja liczbowafunkcji liczbowej. Każdej liczbie rzeczywistej możemy przyporządkować dokładnie jedną wartość, którą wyznaczymy zgodnie z ustalonym wzorem. Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są pewnymi  zbiorami liczb rzeczywistych.

Dane są dwa zbiory liczbowe: $X=\left\{4, 6, 8, 10, 12\right\}$ i $Y=\left\{2, 3, 4, 5, 6\right\}$.

Funkcja $f:X\to Y$ każdej liczbie $x$ ze zbioru $X$ przyporządkowuje połowę liczby $x$.

Opiszmy tę funkcję wzorem, grafem, zbiorem par uporządkowanych, tabelką i wykresem.

Rozwiązanie:

• Wzór:

  $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x$ , gdy $x\in \left\{4, 6, 8, 10, 12\right\}$

• Graf:

R1UdbiHjHUgAg

Ilustracja przedstawia graf składający się z dwóch pionowo ustawionych obok siebie elips, które reprezentują zbiory: po lewej zbiór $X$, po prawej zbiór $Y$. Oba zbiory sa niepuste, a ich elementy to liczby. Zbiór $X$ zawiera następujące elementy: $4; 6; 8; 10; 12$. Zbiór $Y$ zawiera następujące elementy: $2; 3; 4; 5; 6$. Każdy element ze zbioru $X$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru $Y$ i odwrotnie: każdy element ze zbioru $Y$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru $X$. Przyporządkowanie reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru $X$ do elementów ze zbioru $Y$. Efektem przyporządkowania są następujące pary liczb: $\left(4;2\right), \left(6;3\right), \left(8;4\right), \left(10;5\right), \left(12;6\right)$.

• Tabelka:

$\left\{\left(4, 2\right), \left(6, 3\right), \left(8, 4\right), \left(10, 5\right), \left(12, 6\right)\right\}$

RsKODIQqetwkh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus jeden do czternastu z podziałką co dwa oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do siedmiu ze standardową podziałką co jeden. Na płaszczyźnie zaznaczono punkty o następujących współrzędnych: $\left(4;2\right), \left(6;3\right), \left(8;4\right), \left(10;5\right), \left(12;6\right)$.

Dane są dwa zbiory liczbowe: $X=\mathrm{ℝ}$ i $Y={ℝ}_{+}$.

Funkcja $f:X\to Y$ każdej liczbie $x$ ze zbioru $X$ przyporządkowuje kwadrat liczby $x$ powiększony o $2$.

Przedstawimy tę funkcję wzorem, grafem, zbiorem par uporządkowanych, tabelką i wykresem.

Rozwiązanie:

• Wzór:

  $f\left(x\right)=x^2+2$ , gdy $x\in \mathrm{ℝ}$

• Graf:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania grafu przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

RB4uWGrr3F62M

Ilustracja przedstawia graf składający się z dwóch pionowo ustawionych obok siebie elips, które reprezentują zbiory: po lewej zbiór $X$, po prawej zbiór $Y$. Oba zbiory sa niepuste, a ich elementy to liczby. Zbiór $X$ zawiera następujące elementy: $-2; -1; 0; 1; 2; 3$. Zbiór $Y$ zawiera następujące elementy: $2; 3; 6; 11$. Każdy element ze zbioru $X$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru $Y$, natomiast każdy element ze zbioru $Y$ ma przynajmniej jedno przyporządkowanie ze zbioru $X$. Przyporządkowanie reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru $X$ do elementów ze zbioru $Y$. Efektem przyporządkowania są następujące pary liczb: $\left(-2;6\right), \left(-1;3\right), \left(0;2\right), \left(1;3\right), \left(2;6\right), \left(3;11\right)$.

• Tabelka:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania tabelki przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

• Zbiór par uporządkowanych:

$\left\{\left(-2, 6\right), \left(-1, 3\right), \left(0, 2\right), \left(1, 3\right), \left(2, 6\right), \left(3, 11\right)\right\}$

• Wykres:

R17eytVUcctY8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano krzywą w kształcie łuku o końcach skierowanych do góry. Na krzywej zamalowanymi kropkami wyróżniono kilka punktów o następujących współrzędnych: nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, dwa, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu.

Dane są dwa zbiory liczbowe: $X=\mathrm{ℝ}$ i $Y=\mathrm{ℝ}$.

Funkcja $f:X\to Y$ każdej liczbie $x$ ze zbioru $X$ przyporządkowuje trzykrotność liczby $x$ pomniejszoną o $5$.

Przedstawimy tę funkcję wzorem, grafem, zbiorem par uporządkowanych, tabelką i wykresem.

• Wzór:

  $f\left(x\right)=3x-5$ , gdy $x\in \mathrm{ℝ}$

• Graf:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania grafu przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

RKn8GQtfiyBdR

Ilustracja przedstawia graf składający się z dwóch pionowo ustawionych obok siebie elips, które reprezentują zbiory: po lewej zbiór $X$, po prawej zbiór $Y$. Oba zbiory sa niepuste, a ich elementy to liczby. Zbiór $X$ zawiera następujące elementy: $-2; -1; 0; 1; 2; 4$. Zbiór $Y$ zawiera następujące elementy: $-11; -8; -5; -2; 1; 7$. Każdy element ze zbioru $X$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru $Y$ i odwrotnie: każdy element ze zbioru $Y$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru $X$. Przyporządkowanie reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru $X$ do elementów ze zbioru $Y$. Efektem przyporządkowania są następujące pary liczb: $\left(-2;-11\right), \left(-1;-8\right), \left(0;-5\right), \left(1;-2\right), \left(2;1\right), \left(4;7\right)$.

• Tabelka:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania tabelki przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

• Zbiór par uporządkowanych:

$\left\{\left(-2, -11\right), \left(-1, -8\right), \left(0, -5\right), \left(1, -2\right), \left(2, 1\right), \left(4, 7\right)\right\}$

• Wykres:

RYYS8lC0baLh6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus ośmiu do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowano prostą, na której wyróżniono zamalowanymi kropkami kilka punktów o następujących współrzędnych: $\left(-1;-8\right), \left(0;-5\right), \left(1;-2\right), \left(2;1\right), \left(4;7\right)$.

Jest to funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych $Q$, tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość $1$, gdy argumentem jest liczba wymierna i wartość $0$, gdy argumentem nie jest liczba wymierna. Dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste, a zbiór wartości jest zbiorem dwuelementowy $\left\{0, 1\right\}$.

Funkcja ta jest przykładem funkcji liczbowej, której nie możemy opisać za pomocą wykresu.

Częścią całkowitą, cechą lub entier liczby rzeczywistej $x$ nazywamy największą liczbę całkowitą nie większą od $x$.

Oznaczana jest różnymi symbolami: $\left[x\right]$, $⌊x⌋$, $E\left(x\right)$. Liczbę tę definiuje się w sposób następujący:

Np.: $\left[\pi \right]=3$, $\left[-2,16354\dots \right]=-3$, $\left[5,2367\dots \right]=5$

Poniżej przedstawiony jest wykres funkcji $f\left(x\right)=\left[x\right]$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

R188162TG5qbw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji całość z $x$ składający się z poziomych odcinków prawostronnie otwartych o długości jeden. Na płaszczyźnie zaznaczono kilka z nich: odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-4;-4\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-3;-4\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-3;-3\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-2;-3\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-2;-2\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-1;-2\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-1;-1\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(0;-1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(0;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(1;0\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(1;1\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(2;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(2;2\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(3;2\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(3;3\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(4;3\right)$.

Dziedzina funkcji – $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Zbiór wartości – $Z{W}_f=\mathrm{\mathbb{Z}}$.

Mantysa to różnica między liczbą a jej cechą.

Np.: mantysa liczby całkowitej takiej, jak $14$ albo $-9$ to $0$.

Mantysa $5,576$ to $0,576$.

Mantysa $-3,14$ to $-3,14-(-4)=0,86$.

Mantysa jest zawsze nieujemna i mniejsza od $1$.

Narysujmy wykres funkcji $f\left(x\right)=x-\left[x\right]$.

Rozwiązanie:

Sporządźmy tabelkę częściową:

Dziedzina funkcji – $D_f=\mathrm{ℝ}$.

RtcwuRKGuuJMm

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $x$ odjąć całość z $x$ składający się z ukośnych odcinków prawostronnie otwartych o długości $\sqrt{2}$. Odcinki te są nachylone do osi poziomej pod kątem czterdziestu pięciu stopni. Na płaszczyźnie zaznaczono kilka z nich: odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-5;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-4;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-4;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-3;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-3;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-2;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-2;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(-1;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-1;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(0;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(0;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(1;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(1;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(2;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(2;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(3;1\right)$, nastęnie odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(4;0\right)$ ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem $\left(5;1\right)$.

Zbiór wartości – $Z{W}_f=⟨0,\left.1\right)$.

Kolejną funkcją zmiennej rzeczywistej jest funkcja signum (łac. signum - „znak”).

Funkcja ta zdefiniowana jest następująco:

Wykres funkcji signum:

R14EroStNVXkQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji signum składający się z dwóch otwartych poziomych półprostych i jednego punktu. Od minus nieskończoności poprowadzono pierwszą poziomą półprostą ograniczoną prawostronnie niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;-1\right)$. Następnie zaznaczono zamalowaną kropką punkt $\left(0;0\right)$. Dalej niezamalowaną kropką zaznaczono punkt $\left(0;1\right)$, który lewostronnie ogranicza drugą poziomą półprostą.

Dziedzina funkcji – $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Zbiór wartości – $Z{W}_f=\left\{-1, 0, 1\right\}$.

funkcja, której dziedzina i zbiór wartości są zbiorami liczb rzeczywistych