Rozwinięcia dziesiętne ułamka zwykłego

Rozwinięcia dziesiętne ułamka zwykłego można wyznaczać dwoma sposobami.

Przykład 1

Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków $\frac{1}{2}$ i $\frac{8}{400}$ .

\frac{1}{2} = \frac{1 ∙ 5}{2 ∙ 5} = \frac{5}{10} = 0,5

\frac{8}{400} = \frac{8 : 4}{400 : 4} = \frac{2}{100} = 0,02

Przykład 2

Wykonaj wskazane dzielenia, używając kalkulatora.
$8 : 5$
$23 : 4$
$8 : 20$
$9 : 300$
$6 : 125$
Odpowiedź: $1,6; 5,75; 0,4; 0,03; 0,048$

\frac{8}{5} = 1,6

Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku $\frac{8}{5}$ , jest liczba $5$ .

\frac{23}{4} = 5,75

Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku $\frac{23}{4}$ , jest liczba $2$ .

\frac{8}{20} = \frac{2}{5}

Jedynym dzielnikiem mianownika $\frac{2}{5}$ , będącym liczbą pierwszą w ułamku $\frac{2}{5}$ , jest liczba $5$ .

\frac{9}{300} = \frac{3}{100} = \frac{3}{2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5}

Jedynymi dzielnikami mianownika, będącymi liczbami pierwszymi w ułamku $\frac{3}{100}$ , są liczby $2$ i $5 .$

\frac{6}{125} = \frac{6}{5 ∙ 5 ∙ 5}

Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku $\frac{6}{125}$ , jest liczba $5$ .

Zapamiętaj!

Jeżeli jedynymi dzielnikami mianownika ułamka nieskracalnego są liczby $2$ lub $5$ , to ten ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone.

Rozważmy teraz takie ułamki, w których w rozkładzie na czynniki pierwsze mianownika występują jeszcze inne liczby niż 2 i 5.

Przykład 3

R1G7jTFkzvuZS1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D9RNOA4l2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Zapamiętaj!

Jeżeli mianownik ułamka zwykłego nieskracalnego jest podzielny przez liczbę pierwszą różną od $2$ i $5$ , to ten ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.
Powtarzający się układ cyfr w rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym ułamka nazywamy jego okresem. Aby uprościć zapis takiego rozwinięcia, okres zapisujemy w nawiasie.

Rozwinięcie ułamka zwykłego

Własność: Rozwinięcie ułamka zwykłego

Każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.

Ciekawostka

Istnieją liczby, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone nieokresowe.
Na przykład

$2,30300300030000300000 \dots$
$0,123456789101112131415 \dots$

Powyższych liczb nie można zapisać w postaci ułamków zwykłych.

iuBj2NX2ko_d5e991

Ćwiczenie 1

Liczby $0,123456789101112131415 \dots$ nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego. Podaj inny przykład liczby, której nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Ćwiczenie 2

Wyznacz rozwinięcia dziesiętne podanych liczb.

$\frac{3}{4}, 4 \frac{4}{5}, \frac{15}{8}, 3 \frac{3}{20}, \frac{31}{16}, \frac{27}{45}$
$\frac{1}{3}, 1 \frac{5}{6}, \frac{2}{7}, \frac{4}{9}, 5 \frac{5}{9}, 2 \frac{6}{11}, 3 \frac{7}{12}$

$0,75; 4,8; 1,875; 3,15; 1,9375; 0,6$
$0, (3); 1,8 (3); 0, (285714); 0, (4); 5, (5); 2, (54); 3,58 (3)$

Ćwiczenie 3

R15FCrfGZQfkY1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Uporządkuj podane liczby rosnąco.

$0,06$
$0,00 (60)$
$0, (606)$
$0, (60)$
$0,00 (6)$

Ćwiczenie 5

Uporządkuj podane liczby malejąco.

$\frac{2}{5}$
$0,4 (16)$
$\frac{5}{12}$
$0,416$
$0,4166$

R1JKmQDqS3Pn5

Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Zaznacz zdania prawdziwe.

Ułamek $\frac{69}{50}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone.
Ułamek $\frac{323}{200}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.
Ułamek $\frac{8}{12}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone.
Ułamek $\frac{121}{22}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone.

RT4eJrmODsNAJ

Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Zaznacz zdania prawdziwe.

Ułamek $\frac{7}{16}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.
Ułamek $\frac{8}{13}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe.
Ułamek $\frac{22}{34}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.
Ułamek $\frac{16}{38}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.

RDB2ALN7NZMzo

Ćwiczenie 8

Dwudziesta cyfra po przecinku liczby $4,32 (7451)$ jest równa

RTKJvPTOE3Oos

Ćwiczenie 9

Która z podanych liczb jest największa?

$4, (0123)$
$4,0 (123)$
$4,01 (23)$
$4,012 (30)$

RzXVDnH52tLIh

Ćwiczenie 10

Rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{41}{25}$ jest równe

$0,82$
$1,61$
$1,64$
$16,4$

Ćwiczenie 11

W miejsce kropek wstaw liczbę, która spełnia podany warunek

$0,3 < \dots < \frac{1}{3}$
$0,33 < \dots < \frac{1}{3}$
$0, (2) < \dots < \frac{1}{3}$
$3, (7) < \dots < 3, (8)$
$8,03 (1) < \dots < 8,0 (31)$
$1, (53) < \dots < 1,53 (54)$

Ćwiczenie 12

Wstaw w miejsce kropek taką liczbę naturalną, aby spełniony był podany warunek

$3, (34) < 3, \dots$
$\frac{\dots}{6} > 0, (3)$
$\frac{8}{\dots} < 0,73$
$2, (97) < 2,9 \dots$

Ćwiczenie 13

Korzystając z kalkulatora, wyznacz rozwinięcia dziesiętne podanych ułamków zwykłych

$\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{5}{9}, \frac{8}{9}$
$\frac{1}{99}, \frac{5}{99}, \frac{17}{99}, \frac{20}{99}, \frac{32}{99}, \frac{40}{99}, \frac{55}{99}, \frac{61}{99}, \frac{84}{99}, \frac{97}{99}$
$\frac{1}{999}, \frac{11}{999}, \frac{111}{999}, \frac{243}{999}, \frac{454}{999}, \frac{541}{999}, \frac{602}{999}, \frac{700}{999}, \frac{777}{999}, \frac{997}{999}$
Czy zauważasz zależność? Jak sądzisz, jakie rozwinięcia dziesiętne będą miały następujące liczby $\frac{111}{9999}, \frac{5454}{9999}, \frac{67676}{99999}$ ?

$0, (1), 0, (2), 0, (4), 0, (5), 0, (8)$
$0, (01), 0, (05), 0, (17), 0, (20), 0, (32), 0, (40), 0, (55), 0, (61), 0, (84), 0, (97)$
$0, (001), 0, (011), 0, (111), 0, (243), 0, (454), 0, (541), 0, (602), 0, (700), 0, (777), 0, (997)$
$\frac{111}{9999} = 0, (0111), \frac{5454}{9999} = 0, (5454), \frac{67676}{99999} = 0, (67676)$

Ćwiczenie 14

Korzystając z powyższej zależności, podaj ułamki zwykłe, które są równe poniższym liczbom.

$0, (2)$
$0, (7)$
$0, (08)$
$0, (25)$
$0, (67)$
$0, (243)$
$0, (500)$
$0, (687)$
$0, (2034)$
$0, (787890)$

$\frac{2}{9}$
$\frac{7}{9}$
$\frac{8}{99}$
$\frac{25}{99}$
$\frac{67}{99}$
$\frac{243}{999}$
$\frac{500}{999}$
$\frac{687}{999}$
$\frac{2034}{9999}$
$\frac{787890}{999999}$

Porównywanie: liczb, ułamków zwykłych i dziesiętnych

Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych