Zaczniemy od wyznaczenia długości krawędzi tego ośmiościanu. Wiadomo, że siatka ośmiościanu składa się z ośmiu taki samych trójkątów równobocznych. Zatem pole jednego trójkąta równobocznego wynosi

$P_{△}=\frac{32\sqrt{3}}{8}=4\sqrt{3} {\text{cm}}^{\text{2}}$.

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego aby wyznaczyć długość krawędzi

$4\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$,

$16=a^2$,

$a=4$.

Rzut prostokątny wierzchołka $S$ na płaszczyznę $ABCD$ oznaczymy jako $O$ i połączymy z wierzchołkiem $S$. Spodek wysokości opuszczony z wierzchołka $S$ na krawędź $BC$ oznaczymy jako $E$. Powstanie wówczas trójkąt prostokątny $SOE$ z szukanym kątem $OES$, który oznaczymy jako $\alpha$.

RLTBbrMvaG8jW

Na ilustracji przedstawiono ośmiościan foremny $ABCDST$, którego górny wierzchołek oznaczono literą S, natomiast dolny literą T. Na płaszczyźnie $ABCD$, zaznaczono punkt O, będący rzutem prostokątnym wierzchołka S. Z wierzchołka S, opuszczono wysokość trójkąta $SBC$, której spodek leży w punkcie E. Zaznaczono trójkąt prostokąty $SBC$, z kątem ostrym alfa przy wierzchołku E.

Odcinek $OE$ jest równy połowie długości krawędzi ośmiościanu i wynosi $2 \text{cm}$. Wysokość $SE$ jest równa wysokości w trójkącie równobocznym, czyli

$\left|SE\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.

Zatem $\cos \alpha =\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.