Slajd 1. Przykład 1. Pokażemy, ile prostych można poprowadzić mając trzy punkty A, B, C oraz jakie są części wspólne tych prostych. Na rysunku przedstawiono zaznaczone trzy punkty, oraz poprowadzono prostą. Wniosek. Jeśli punkty A, B, C leżą na jednej prostej, to można przez te punkty przeprowadzić dokładnie jedną prostą. Slajd 2. Pokażemy, ile prostych można przeprowadzić mając trzy punkty A, B, C oraz jakie są części wspólne tych prostych. Z aksjomatu dwa, wynika, że istnieją trzy punkty, które nie leżą na jednej prostej. Na rysunku zaznaczono trzy, nie współliniowe punkty A, B, C. Slajd 3. Z aksjomatu jeden, mamy, że przez dwa punkty można przeprowadzić prostą. Na rysunku przeprowadzono prostą przez punkty A i B. Slajd 4. Na rysunku, poprowadzono kolejne dwie proste. Prostą przechodzącą przez punkty A i C, oraz prostą przechodzącą przez punkty B i C. Obok widoczne równania. $Z=\left\{A, B, C\right\}$, oraz $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=3$. Wniosek. Zatem przez trzy nie współliniowe punkty, można poprowadzić tyle prostych, ile jest dwuelementowych podzbiorów zbioru trzyelementowego Z. Każde dwie z tych prostych mają jeden punkt wspólny. Wszystkie trzy proste nie mają punktu wspólnego. Slajd 4. Przykład 2. Pokażemy, ile płaszczyzn można przeprowadzić mając cztery punkty A, B, C, D oraz jakie są części wspólne tych płaszczyzn. Na rysunku zaznaczono cztery punkty, przez które przeprowadzono prostą. Wniosek. Jeśli punkty A, B, C, D leżą na jednej płaszczyźnie, to można przez te punkty przeprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę. Slajd 5. Z aksjomatu cztery wynika, że możliwe jest takie ułożenie punktów, że dowolne trzy z nich leżą w jednej płaszczyźnie, a czwarty leży poza ta płaszczyzną. Na takich czterech punktach można zbudować ostrosłup. Różnych płaszczyzn jest tyle ile podzbiorów trzyelementowych zbioru Z, czyli tyle ile kombinacji trzyelementowych zbioru czteroelementowego. Na rysunku zaznaczono cztery punkty A, B, C, D. Połączono punkty, A i B, B i C, C i D, A i D, B i D, oraz linią przerywaną A i C. Obok widoczne równania. $Z=\left\{A, B, C, D\right\}$, oraz $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=4$. Slajd 6. Wyznaczmy część wspólną dowolnych dwóch takich płaszczyzn. Zauważmy, że każde dwa różne podzbiory trzyelementowe $Z_1$, $Z_2$ zbioru czteroelementowego Z, mają dwa punkty wspólne. Wynika to z zasady włączeń i wyłączeń. Zapisano równanie. $Z_1\cup Z_2=Z$, więc $4=\left|Z_1\cup Z_2\right|=\left|Z_1\right|+\left|Z_2\right|-\left|Z_1\cap Z_2\right|=3+3-\left|Z_1\cap Z_2\right|$. Stąd $Z_1\cap Z_2=2$. Zatem część wspólna dowolnych dwóch z omawianych płaszczyzn zawiera co najmniej dwa punkty ze zbioru Z, a stąd jest prostą przechodzącą przez te dwa punkty. Rozważmy teraz część wspólną trzech płaszczyzn wyznaczonych przez zbiory $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$. Stosujemy zasadę włączeń i wyłączeń. $4=\left|Z_1\cup Z_2\cup Z_3\right|=\left|Z_1\right|+\left|Z_2\right|+\left|Z_3\right|-\left|Z_1\cap Z_2\right|-\left|Z_1\cap Z_3\right|+\left|Z_1\cap Z_2\cap Z_3\right|=3+3+3-2-2-2+\left|Z_1\cap Z_2\cap Z_3\right|$. Stąd $\left|Z_1\cap Z_2\cap Z_3\right|=1$. Zatem płaszczyzny wyznaczane przez zbiory $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$ mają jeden punkt wspólny ze zbioru Z. Slajd 7. Widoczny napis. Dla uproszczenia przyjmijmy, że $Z_1=\left\{A,B,C\right\}$, $Z_2=\left\{A,B,D\right\}$, $Z_3=\left\{A,C,D\right\}$. A jest częścią wspólną tych zbiorów. Zatem, gdyby punkt P, był różnym od A punktem wspólnym omawianych płaszczyzn, to leżałby na krawędziach wspólnych każdych dwóch z tych płaszczyzn, czyli na prostych AB, AC i AD, stąd wszystkie te proste byłyby równej prostej AP, więc na przykład punkt D, należałby do płaszczyzny wyznaczonej przez punkty A, B, C, a to jest sprzeczne z założeniem. Slajd 8. Weźmy płaszczyzny wyznaczone przez zbiory $Z_1=\left\{A,B,C\right\}$, $Z_2=\left\{A,B,D\right\}$, $Z_3=\left\{A,C,D\right\}$. Ich punktem wspólnym jest punkt A, który nie należy do czwartej płaszczyzny wyznaczonej przez punkty B, C, D. Wniosek. Wszystkie cztery płaszczyzny nie mają punktu wspólnego.