5. Monotoniczność ciągu geometrycznego

R1Tgy5aP7wK5s

Jeśli masz wątpliwości, czy ciąg geometryczny ma jakieś rzeczywiste zastosowania, przestudiuj statystyczną teorię zasobów angielskiego osiemnastowiecznego ekonomisty Thomasa Malthusa.

RwMNXWoVBgS2q

Ilustracja przedstawia wykres przyrostu populacji, produkcji żywności i moment katastrofy maltuzjańskiej. Pozioma oś jest oznaczona jako czas, a pionowa jako ilość.

Malthus twierdził, że skoro liczba ludności rośnie w postępie geometrycznym, a produkcja żywności – w arytmetycznym, to nieunikniony jest stan przeludnienia, co w konsekwencji doprowadzi do głodu.

Według Malthusa społeczeństwa, które w porę nie podejmą środków zaradczych, wpadną w pułapkę, w której wzrost dochodów skutkuje zwiększeniem populacji, nie prowadzi jednak do wzrostu standardów życiowych.

Czarnowidztwo Malthusa jednak nie sprawdziło się – czy potrafisz wytłumaczyć dlaczego?

Teoria Malthusa nawiązuje do szybkiego wzrostu (lub spadku) wielkości określonych przez ciąg geometryczny. W matematyce o ciągach które rosną lub maleją mówimy, że są monotoniczne. Właśnie monotoniczność ciągu geometrycznego będzie tematyką tych materiałów.

Twoje cele

Rozpoznasz ciągi geometryczne rosnące, malejące, stałe i naprzemienne, określone różnymi sposobami.
Podasz przykłady ciągów geometrycznych monotonicznych.
Udowodnisz, że dany ciąg geometryczny jest rosnący/malejący.
Wykorzystasz w zadaniach własności ciągów geometrycznych monotonicznych.

Ciąg geometryczny jest pewną funkcją, której dziedziną jest podzbiór zbioru liczb naturalnych lub zbiór liczb naturalnych. Zatem definicje określające monotoniczność ciągu geometrycznego i sposoby określania tej monotoniczności, są analogiczne jak dla funkcji liczbowych.

Ciąg geometryczny rosnącyciąg geometryczny rosnącyCiąg geometryczny rosnący

R1HGUORI2BJfY

Ilustracja przedstawia interpretację graficzną ciągu an w układzie współrzędnych z poziomą osią n od minus dwóch do czterech i z pionową osią an od minus dwóch do ośmiu. Kolejne wyrazy ciągu to punkty o następujących współrzędnych: 0;1, 1;2, 2;4, 3;8.

Na wykresie zaznaczonych jest kilka początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ , określonego wzorem ogólnym

a_{n} = 2^{n}

gdzie $n \in \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ .

Zauważmy, że każdy wyraz ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od poprzedniego. O takim ciągu mówimy, że jest rosnącyciąg geometryczny rosnącyrosnący.

Poniżej przykłady jeszcze kilku ciągów geometrycznych rosnących.

3, 9, 27, 81, 243, \dots

\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{4}{6}, \frac{8}{6}, \frac{16}{6}, \dots

10, 100, 1000, 10000, \dots

- 20; - 10; - 5; - 2, 5; - 1, 25; \dots

- 125, - 25, - 5, - 1, \dots

Zauważmy, że jeśli pierwszy wyraz ciągu geometrycznego rosnącego jest dodatni, to iloraz ciągu jest większy od $1$ . Natomiast, jeśli pierwszy wyraz ciągu jest ujemny, to iloraz ciągu musi być dodatni, ale mniejszy od $1$ .

Ciąg geometryczny malejącyciąg geometryczny malejącyCiąg geometryczny malejący

Rmk1W58u1axWN

Ilustracja przedstawia interpretację graficzną ciągu an w układzie współrzędnych z poziomą osią n od minus dwóch do ośmiu i z pionową osią an od minus jeden do ośmiu. Kolejne wyrazy ciągu to punkty o następujących współrzędnych: 2;8, 3;4, 4;2, 5;1, 6;12, 7;14.

Na wykresie zaznaczonych jest kilka wyrazów ciągu $(a_{n})$ , określonego wzorem ogólnym

a_{n} = 8 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 2}

gdzie $n \in \{2, 3, 4, \dots\}$ .

Zauważmy, że każdy wyraz ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od poprzedniego. O takim ciągu mówimy, że jest malejącyciąg geometryczny malejącymalejący.

Poniżej przykłady jeszcze kilku ciągów geometrycznych malejących.

243, 81, 27, 9, 3, \dots

\frac{16}{6}, \frac{8}{6}, \frac{4}{6}, \frac{2}{6}, \frac{1}{6}, \dots

10000, 1000, 100, 10, 1, \dots

- 1, 25; - 2, 5; - 5; - 10; - 20; \dots

- 1, - 5, - 25, - 125, \dots

Zauważmy, że jeśli pierwszy wyraz ciągu geometrycznego malejącego jest ujemny, to iloraz ciągu jest większy od $1$ . Natomiast, jeśli pierwszy wyraz ciągu jest dodatni, to iloraz ciągu musi być dodatni, ale mniejszy od $1$ .

Ciąg geometryczny stały

RasFhJE5948Er

Na wykresie zaznaczonych jest kilka wyrazów ciągu $(a_{n})$ , określonego wzorem ogólnym

a_{n} = 2

gdzie $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ .

Zauważmy, że każdy wyraz ciągu ma tą samą wartość. O takim ciągu mówimy, że jest stały.

Poniżej przykłady jeszcze kilku ciągów geometrycznych stałych.

81, 81, 81, 81, \dots

\frac{16}{6}, \frac{16}{6}, \frac{16}{6}, \frac{16}{6}, \frac{16}{6}, \dots

0, 0, 0, 0, 0, \dots

- 10, - 10, - 10, - 10, \dots

Zauważmy, że iloraz ciągu geometrycznego stałego jest równy $1$ jeśli pierwszy wyraz ciągu jest różny od $0$ . Jeśli pierwszy wyraz ciągu geometrycznego stałego jest równy $0$ , to iloraz ciągu może być dowolną liczbą rzeczywistą.

Ważne!

Zauważmy, że jeśli $a_{1} \neq 0$ i $q = 0$ to ciąg $(a_{n})$ jest stały, począwszy od drugiego wyrazu.

Ciąg stały nie jest ani rosnący, ani malejący.

Ciąg geometryczny naprzemienny

RPQXJdtesjmBb

Ilustracja przedstawia interpretację graficzną ciągu an w układzie współrzędnych z poziomą osią n od minus jeden do trzynastu i z pionową osią an od minus czterech do pięciu. Kolejne wyrazy ciągu to punkty o następujących współrzędnych: 1;-14, 2;12, 3;-34, 4;1, 5;-54, 6;32, 7;-74, 8;2, 9;-114, 10;134, 11;-154, 12;194.

Nie każdy ciąg geometryczny jest monotoniczny. Fragment wykresu takiego ciągu przedstawia rysunek. Zauważmy, że wyrazy tego ciągu są na przemian dodatnie i ujemne. O takim ciągu mówimy, że jest naprzemienny.

Ważne!

Jeśli ciąg geometryczny $(a_{n})$ jest takim ciągiem, że $a_{1} \neq 0$ i $q < 0$ to ciąg ten jest ciągiem naprzemiennym, czyli wyrazy tego ciągu są na przemian dodatnie i ujemne.

Gdy $a_{1} > 0$ i $q < 0$ to wszystkie wyrazy o indeksach nieparzystych, ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ , są dodatnie, zaś wyrazy o indeksach parzystych są ujemne.

Gdy $a_{1} < 0$ i $q < 0$ to wszystkie wyrazy o indeksach nieparzystych, ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ , są ujemne, zaś wyrazy o indeksach parzystych są dodatnie.

Przykłady ciągów naprzemiennych:

- 5, 10, - 20, 40, \dots

4, - 4, 4, - 4, 4, - 4, \dots

- \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Monotoniczność ciągu geometrycznego

Niech $(a_{n})$ będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ .

Ciąg ten jest ciągiem rosnącym, gdy:

$a_{1} > 0$ i $q > 1$
lub
$a_{1} < 0$ i $0 < q < 1$

Ciąg ten jest ciągiem malejącym, gdy:

$a_{1} > 0$ i $0 < q < 1$
lub
$a_{1} < 0$ i $q > 1$

Ciąg ten jest ciągiem stałym, gdy:

$a_{1} \neq 0$ i $q = 1$
lub
$a_{1} = 0$ i $q \in ℝ$

Przykład 1

Znajdziemy takie liczby $x$ , $y$ , dla których ciąg $(16, x, 100, y)$ jest ciągiem geometrycznym rosnącym.

Niech $q$ będzie ilorazem rozpatrywanego ciągu.

Wtedy:
$16$ – pierwszy wyraz ciągu,
$x = 16 q$ – drugi wyraz ciągu,
$100 = 16 q^{2}$ – trzeci wyraz ciągu,
$y = 16 q^{3}$ – czwarty wyraz ciągu.

Wyznaczamy iloraz rozpatrywanego ciągu.

$100 = 16 q^{2}$

$q^{2} = \frac{100}{16} = \frac{25}{4}$

$q = \frac{5}{2}$ lub $q = - \frac{5}{2}$

Ciąg ma być rosnący, zatem tylko $q = \frac{5}{2}$ spełnia warunki zadania.

$x = 16 \cdot \frac{5}{2} = 40$

$y = 16 \cdot {(\frac{5}{2})}^{3} = \frac{16 \cdot 125}{8} = 250$

Odpowiedź:

Szukane liczby to $x = 40$ , $y = 250$ .

Przykład 2

Wykażemy, że ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = 2 \cdot 3^{n}$ , gdzie $n \in ℕ_{+}$ , jest rosnący.

Aby wykazać, że ciąg jest rosnący, należy zbadać różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ (dla dowolnego $n \geq 1$ ).

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 \cdot 3^{n + 1} - 2 \cdot 3^{n}$

Przekształcamy otrzymane wyrażenie, korzystając z własności potęgowania.

$a_{n + 1} - a_{n} = 6 \cdot 3^{n} - 2 \cdot 3^{n} = 4 \cdot 3^{n}$

Zarówno liczba $4$ , jak i liczba $3^{n}$ $(n \geq 1)$ to liczby dodatnie. Iloczyn liczb dodatnich jest liczbą dodatnią.

$a_{n + 1} - a_{n} = 4 \cdot 3^{n} > 0$

Pokazaliśmy, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ spełniony jest warunek $a_{n + 1} > a_{n}$ , co oznacza, że ciąg $(a_{n})$ jest rosnący.

Przykład 3

Znajdziemy taką liczbę $x$ , dla której ciąg $(x^{2}, x + 2, 6 - x)$ jest trzywyrazowym ciągiem stałym.

W ciągu stałym wszystkie wyrazy są równe, zatem:

$x + 2 = 6 - x$

$2 x = 4$

$x = 2$

Ciąg ma postać: $(4, 4, 4)$ .

Odpowiedź:

Szukana liczba to $2$ .

Aplet

Polecenie 1

Przeanalizuj aplet pokazujący jak zmienia się ciąg geometryczny w zależności od pierwszego wyrazu $a_{0}$ i ilorazu $q$ .

R1UL9aOOi4QV7

RwL6FeOEEb6h1

Polecenie 2

Między liczby $1$ i $81$ wstaw trzy takie liczby, aby łącznie z danymi (w tej kolejności) były kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego naprzemiennego.

Oznaczmy:
$a_{1}$ – pierwszy wyraz ciągu,
$a_{5}$ – piąty wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu.

Wtedy:

$a_{1} = 1$

$a_{5} = 81$

Czyli

$81 = 1 \cdot q^{4}$

$q = 3$ lub $q = - 3$

Pierwszy wyraz ciągu jest różny od $0$ , zatem aby ciąg była naprzemienny, iloraz ciągu musi być ujemny. Zatem $q = - 3$ .

Szukany ciąg:

$(1, - 3, 9, - 27, 81)$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RZs7Fme5b921T

R13oL8wlz1v24

RQ9nT6T19I44X1

Ćwiczenie 2

R1BIL1ClhZL922

Ćwiczenie 3

Rz8pa5Hc4hczl2

Ćwiczenie 4

R1R3PcCiwFQOA2

Ćwiczenie 5

R1FwvHKDlGHUV2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Pierwszy wyraz niemonotonicznego ciągu geometrycznego jest równy $96$ i jest o $90$ większy od wyrazu trzeciego. Oblicz czwarty wyraz tego ciągu.

Zauważ, że z treści zadania wynika, że: $a_{3} = 96 - 90 = 6$ .

Z definicji ciągu geometrycznego wynika, że $a_{3} = 96 q^{2}$ .

Na podstawie tych informacji ułóż równanie i rozwiąż je. Ustal, które z rozwiązań spełniają warunki zadania.

Ciąg nie jest monotoniczny, zatem $q < 0$ .

$a_{3} = 96 - 90 = 6$

Z definicji ciągu geometrycznego wynika, że

$a_{3} = 96 q^{2}$

Czyli:

$96 q^{2} = 6$

$q^{2} = \frac{1}{16}$

$q = - \frac{1}{4}$ , bo $q < 0$

Obliczamy czwarty wyraz ciągu.

$a_{4} = 6 \cdot (- \frac{1}{4}) = - \frac{3}{2}$

Odpowiedź:

Czwarty wyraz ciągu jest równy $- \frac{3}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{2^{n + 1}}{4^{n + 2}}$ jest malejący.

Zapisujemy wzór ciągu w prostszej postaci.

$a_{n} = \frac{2^{n + 1}}{4^{n + 2}} = \frac{2 \cdot 2^{n}}{16 \cdot 2^{2 n}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

Badamy znak różnicy między kolejnymi wyrazami ciągu. Najpierw zapisujemy odpowiednią różnicę i przekształcamy ją.

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n + 1} - \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} - \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} - \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

$a_{n + 1} - a_{n} = - \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

Ponieważ nierówność $- \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} < 0$ jest spełniona dla każdej liczby naturalnej niemniejszej od $1$ , zatem $a_{n + 1} - a_{n} < 0$ , co oznacza, że ciąg $(a_{n})$ jest malejący.

Słownik

ciąg geometryczny rosnący

niech $(a_{n})$ będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ ; ciąg ten jest ciągiem rosnącym, gdy:

$a_{1} > 0$ i $q > 1$
lub

$a_{1} < 0$ i $0 < q < 1$

ciąg geometryczny malejący

niech $(a_{n})$ będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ ; ciąg ten jest ciągiem malejącym, gdy:

$a_{1} > 0$ i $0 < q < 1$
lub

$a_{1} < 0$ i $q > 1$

ciąg geometryczny stały

Niech $(a_{n})$ będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ .

Ciąg ten jest ciągiem stałym, gdy:

$a_{1} \neq 0$ i $q = 1$
lub

$a_{1} = 0$ i $q \in ℝ$

4. Ciąg geometryczny

6. Zależność między wyrazami ciągu geometrycznego