3. Własności równoległoboku i rombu

R881PRCK8V32A

W bieżącym materiale przekonamy się jak dużo ciekawych problemów można rozwiązać dostrzegając własności czworokąta, którego przeciwległe boki są równoległe.

Przedstawimy i udowodnimy kilka warunków równoważnych, które opisują równoległobok. Ważną grupą problemów, które można rozwiązać wykorzystując własności równoległoboku są te, w których w założeniach lub tezie występuje środek odcinka.

Materiał ten opierał się będzie głównie na wiadomościach ze szkoły podstawowej, co nie znaczy, że przedstawione przykłady i ćwiczenia będą łatwe.

Twoje cele

Określisz warunki równoważne opisujące równoległobok.
Wykorzystasz równoległobok do uzasadnienia własności środkowej w trójkącie prostokątnym.
Zastosujesz własność równoległoboku do wyznaczania najkrótszej drogi.
Zastosujesz własności równoległoboku do rozwiązywania zadań z geometrii płaskiej.

Zacznijmy od definicji:

równoległobok

Definicja: równoległobok

Czworokąt, którego przeciwległe boki są równoległe, nazywany równoległobokiem.

Jeśli w dowolnym równoległoboku poprowadzimy przekątne, to ich punkt przecięcia dzieli je na połowy. Fakt ten jest powszechnie wykorzystywany i zgodny z intuicją.

o przekątnych równoległoboku

Twierdzenie: o przekątnych równoległoboku

Niech $A B C D$ będzie równoległobokiem oraz niech $S$ będzie punktem przecięcia przekątnych $A C$ i $B D$ .

RmbOdrMZqq806

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD. Przekątne równoległoboku BD i AC przecinają się w punkcie S. — Przekątne w równoległoboku

Wówczas: $|A S| = |S C|$ oraz $|B S| = |S D|$ .

Dowód twierdzenia

Zauważmy, że kąty $A B D$ i $B D C$ oraz $B A C$ i $A C D$ , jako naprzemianległe, są równe. Ponadto $|A B| = |C D|$ . Zatem na mocy cechy kąt‑bok‑kąt mamy, że $△ A B S \equiv △ C D S$ . Stąd w szczególności $|B S| = |D S|$ oraz $|A S| = |C S|$ , co oznacza, że punkt $S$ dzieli przekątne $B D$ oraz $A C$ na połowy.

Pozostaje dodać, że otrzymane równości $|B S| = |D S|$ oraz $|A S| = |C S|$ , przy równości kątów wierzchołkowych, pozwalają stwierdzić, że również trójkąty $A S D$ oraz $C S B$ są przystające.

Romb jest oczywiście równoległobokiem, ale istnieje zasadniczy powód, dla którego warto ten czworokąt wyróżnić i omówić oddzielnie. Istnieje własność, z której korzysta się bardzo często, nie wgłębiając się w jej uzasadnienie – przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą go na cztery trójkąty przystające.

o przekątnych rombu

Twierdzenie: o przekątnych rombu

Niech $A B C D$ będzie rombem oraz niech $S$ będzie punktem przecięcia przekątnych $A C$ i $B D$ .

RveMnR4zIQPqT

Ilustracja przedstawia romb ABCD. Zaznaczono przekątne BD i AC przecinające się w punkcie S. — Triangulacja rombu

Wówczas: trójkąty $S A B$ , $S C B$ , $S C D$ i $S A D$ są przystające i prostokątne.

Dowód twierdzenia

Zauważmy, na mocy cechy bok‑bok‑bok, że $△ A B C \equiv △ A D C$ . Ale każdy z trójkątów $A B C$ i $A D C$ jest równoramienny, zatem $|∢ B A C| = |∢ D A C| = |∢ B C A| = |∢ D C A|$ . Wiemy, że w dowolnym równoległoboku przekątne się połowią, zatem $|B S| = |D S|$ oraz $|A S| = |C S|$ . Stąd, na mocy cechy bok‑kąt‑bok przystające są trójkąty $S A D$ i $S C D$ oraz $S A B$ i $S C B$ . Analogicznie, na mocy cechy bok‑kąt‑bok przystające są trójkąty $S C D$ i $S C B$ . Relacja przystawania jest przechodnia, co oznacza, że $△ S A D \equiv △ S C D \equiv △ S A B \equiv △ S C B$ .

Oczywiście, kąty tych przystających trójkątów przy wierzchołku $S$ są równe, co oznacza, że każdy z nich jest kątem prostym. Tym samym wykazaliśmy nie tylko, że przekątne rombu dzielą go na cztery trójkąty przystające, ale, że każdy z tych trójkątów jest prostokątny.

Warto wspomnieć, że prostopadłość przekątnych równoległoboku jest warunkiem wystarczającym, by taki równoległobok był rombem.

Przyjrzyjmy się teraz zadaniom w których występują równoległoboki.

Przykład 1

Na bokach $B C$ i $C D$ równoległoboku $A B C D$ zbudowano kwadraty $C D E F$ i $B C G H$ . Udowodnij, że $|A C| = |F G|$ .

R1FDX8S7VS1O2

Rysunek przedstawia równoległobok A B C D, w którym poziome podstawy dolna A B oraz górna C D są dłuższymi bokami figury. Na górnej podstawie zbudowano większy kwadrat D C F E. Na prawym ukośnym boku równoległoboku zbudowano mniejszy kwadrat B H G C. Następnie linią przerywaną poprowadzono dwa odcinki: przekątną równoległoboku A C oraz odcinek G F leżący poza wszystkimi figurami.

Rozwiązanie:

W równoległoboku $A B C D$ oznaczmy przez $a$ długość boku $A B$ , przez $b$ długość boku $B C$ , przez $α$ miarę kąta wewnętrznego $D A B$ .

RQU8XUCPQAV3O

Rysunek równoległoboku A B C D i zbudowanych na jego bokach kwadratów C D E F i B C G H. Rysunek pomocniczy do rozwiązania zadania.

Wtedy każdy z boków kwadratu $C D E F$ ma długość $a$ oraz każdy z boków kwadratu $B C G H$ jest równy $b$ , a każdy z kątów $A B C$ i $A D C$ ma miarę $180 ° - α$ .
Trójkąty $A B C$ i $F C G$ są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę bok – kąt – bok, gdyż

$|A B| = |F C| = a$ ,
$|∢ A B C| = 180 ° - α$ oraz $|∢ F C G| = 360 ° - (|∢ F C D| + |∢ D C B| + |∢ B C G|) =$
$= 360 ° - (90 ° + α + 90 °) = 180 ° - α$ , zatem $|∢ A B C| = |∢ F C G|$ ,
$|B C| = |C G| = b$ .

Wobec tego $|A C| = |F G|$ .

Przykład 2

Punkty $K$ , $L$ , $M$ , $N$ są odpowiednio środkami boków $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ czworokąta $A B C D$ (rysunek). Pokażemy, że $K L M N$ to równoległobok.

R1ONV6UFLXSD6

Na ilustracji przedstawiono czworokąt A B C D. Zaznaczono cztery punkty. Punkt K stanowi środek boku A B, punkt L stanowi środek boku B C, punkt M stanowi środek boku D C, punkt N stanowi środek boku A D.

Rozwiązanie:

R1NPSQJZBKS11

Wystarczy, że wykorzystamy tezę poprzedniego przykładu analizując trójkąty $A B C$ i $A C D$ . Otrzymamy, że odcinki $K L$ i $N M$ są równoległe do $A C$ oraz równe połowie tego odcinka, więc czworokąt (na podstawie własności $3$ ) jest równoległobokiem.

Podobnie, odcinki $M L$ i $N K$ są równoległe do odcinka $D B$ oraz równe połowie tego odcinka, więc czworokąt $K L M N$ jest równoległobokiem.

Spójrzmy, jak możemy wykorzystać równoległobok w zadaniach optymalizacyjnych.

Przykład 3

Po dwóch stronach rzeki o równoległych brzegach znajdują się dwa domki położone w punktach $A$ i $B$ (rysunek). W którym miejscu należy wybudować most $X Y$ , prostopadły do brzegów rzeki, aby droga łącząca oba domki i biegnąca przez most była najkrótsza?

R1TBT3E9S5KJO

Na ilustracji przedstawiono rzekę, której szerokość stanowi odległość od punktu X do Y. Po jednej stronie rzeki znajduje się domek w punkcie A, oraz po drugiej stronie znajduje się domek w punkcie B. Linią zaznaczono drogę łączącą kolejno punkty A, X, Y, B.

Rozwiązanie:

R1NJSS77T28GV

Zastanowimy się, kiedy łamana $A X Y B$ jest najkrótsza. Zauważmy, że brzegi rzeki są równoległe, więc jej szerokość, a więc długość mostu jest zawsze taka sama.

Możemy zatem pominąć długość mostu $X Y$ . Nasze zadanie polega więc na znalezieniu takiego miejsca przy brzegu rzeki, żeby suma długości odcinków $A X + Y B$ była najmniejsza z możliwych.

Wyznaczmy taki punkt $C$ , aby czworokąt $A X Y C$ był równoległobokiem. Wtedy

$|A X| + |Y B| = |C Y| + |Y B| \geq |C B|$

Ostatnia nierówność wynika z nierówności trójkąta.
Równość zachodzi, jeżeli punkt $Y$ leży na odcinku $C B$ .

Zatem szukanym punktem na brzegu rzeki jest punkt przecięcia prostej $C B$ z „górnym” brzegiem rzeki – punkt $Z$ .
W tym miejscu należy wybudować most.

Aplet

Polecenie 1

Na każdym boku równoległoboku zbudowano kwadrat. Środki symetrii kwadratów są wierzchołkami pewnego czworokąta. Poruszaj wierzchołkami równoległoboku i obserwuj zachodzące zmiany. Zauważ, że powstały czworokąt jest zawsze kwadratem.

Zapoznaj się z opisem apletu, który dotyczy równoległoboku i kwadratów zbudowanych na każdym z jego boków.

R19BPXRS3JGOM

Polecenie 2

W równoległoboku $A B C D$ o bokach $6$ i $12$ połączono środek $S$ boku $A B$ $(|A B| = 12)$ z wierzchołkami $C$ i $D$ . Wykaż, że kąt $D S C$ jest kątem prostym.

Narysujmy równoległobok $A B C D$ .

RLPR7CXHRRGQ1

Na ilustracji przedstawiono równoległobok A B C D. Długość ramienia A D. wynosi 6, natomiast długość podstawy A B. wynosi dwanaście. Zaznaczono punkt S, stanowiący środek podstawy A B.

Skoro punkt $S$ jest środkiem boku $|A S| = 6$ . Zatem trójkąt $A S D$ jest trójkątem równoramiennym. Analogicznie trójkąt $S B C$ jest trójkątem równoramiennym. Oznaczmy przez $α$ kąt ostry tego równoległoboku. Kąt rozwarty ma zatem miarę $180 ° - α$ .

RG6JK9QJCHTGJ

W trójkącie $A S D$ mamy: $|∢ A S D| = |∢ A D S| = \frac{180 ° - α}{2} = 90 ° - \frac{1}{2} α$ . W trójkącie $S B C$ mamy: $|∢ B S C| = |∢ B C S| = \frac{180 ° - (180 ° - α)}{2} = \frac{1}{2} α$ .

Stąd:

$|∢ D S C| = 180 ° - |∢ A S D| - |∢ B S C| = 180 ° - (90 ° - \frac{1}{2} α) - \frac{1}{2} α =$

$= 180 ° - 90 ° + \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} α = 90 °$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

R1Z49GZUSSVGD1

Ćwiczenie 1

R19TK857KABXM1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Punkt $E$ jest takim punktem na boku $A B$ równoległoboku $A B C D$ , że $\frac{|A E|}{|E B|} = \frac{1}{2}$

Prosta $D E$ przecina przekątną $A C$ w punkcie $F$ . Pole równoległoboku $A B C D$ jest równe $60$ . Oblicz pole trójkąta $A E F$ .

Wykaż, że trójkąty $A E F$ i $C D F$ są podobne. Oblicz i wykorzystaj ich skalę podobieństwa.

Wiemy, że $\frac{|A E|}{|E B|} = \frac{1}{2}$ , więc możemy oznaczyć: $|A E| = a$ , $|E B| = 2 a$ .

RSFL734XVUT5G

Na ilustracji przedstawiono równoległobok A B C D, o podstawie dolnej A B i górnej D C. Zaznaczono punkt E na równoległoboku, taki że odległość A E wynosi a, natomiast odległość E B wynosi dwa a. Zaznaczono przekątną A C równoległoboku, oraz odcinek D E, które przecinają się w punkcie F. Zacieniowano trójkąt A F E.

Wtedy długość boku $|A B| = |C D| = 3 a$ .

Z równoległości boków otrzymujemy równość kątów $|∢ F A B| = |∢ F C D|$ oraz $|∢ A E F| = |∢ C D F|$ .

Zatem trójkąty $A E F$ i $C D F$ są podobne w skali $\frac{|A E|}{|C D|} = \frac{a}{3 a} = \frac{1}{3}$ .

Wysokości opuszczone z odpowiednich wierzchołków są również w tej samej skali, więc możemy oznaczyć je odpowiednio $h$ i $3 h$ .

R48XZZ466ZLKA

Zatem wysokość równoległoboku to $4 h$ .

Wiemy, że: $P = 3 a \cdot 4 h = 60$ , czyli $a h = 5$ .

Zatem szukane pole trójkąta $A E F$ jest równe: $P = \frac{1}{2} a h = \frac{5}{2}$ .

Ćwiczenie 4

Udowodnij, że w równoległoboku $A B C D$ suma kwadratów długości boków jest równa sumie kwadratów długości przekątnych:

${|A B|}^{2} + {|B C|}^{2} + {|C D|}^{2} + {|D A|}^{2} = {|A C|}^{2} + {|B D|}^{2}$

Oznaczmy jak na rysunku:

R1J1EXM4GPR99

Na ilustracji przedstawiono równoległobok A B C D. Długość podstaw A B i D C oznaczono literą a, natomiast długość ramion AD i BC oznaczono literą b. Wartości kątów w równoległoboku wynoszą odpowiednio BETA dla kąta ostrego, oraz ALFA dla kąta rozwartego.

$|A B| = |C D| = a$ ; $|B C| = |D A| = b$ ; $|∢ A B C| = α$ , $|∢ B A D| = β$ . Zapiszmy twierdzenie cosinusów dla trójkąta $A B C$ oraz dla trójkąta $A B D$ . Otrzymujemy:

${|A C|}^{2} = {|A B|}^{2} + {|B C|}^{2} - 2 \cdot |A B| \cdot |B C| \cdot \cos α = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos α$ oraz

${|B D|}^{2} = {|A B|}^{2} + {|A D|}^{2} - 2 \cdot |A B| \cdot |A D| \cdot \cos β = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos β$

Ponieważ w równoległoboku $α + β = 180 °$ to $\cos β = \cos (180 ° - α) = - \cos α$ . Uwzględniając powyższą uwagę i dodając stronami wcześniejsze równości otrzymujemy, co należało udowodnić:

${|A C|}^{2} + {|B D|}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos α + a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos β =$

$= a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos α + a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos α = 2 a^{2} + 2 b^{2} =$

$= {|A B|}^{2} + {|C D|}^{2} + {|B C|}^{2} + {|D A|}^{2}$ .

Ćwiczenie 5

W równoległoboku $A B C D$ punkt $E$ jest środkiem boku $B C$ , natomiast punkt $F$ środkiem boku $C D$ . Odcinki $A E$ i $A F$ przecinają przecina przekątną $B D$ odpowiednio w punktach $G$ i $H$ .

R1G4TU9NSFAX8

Na ilustracji przedstawiono równoległobok A B C D. Zaznaczono punkt F stanowiący środek boku D C, oraz punkt E stanowiący środek boku B C. Zaznaczono przekątną B Drównoległoboku. Wierzchołek A połączono z punktem F i E, przecinając przekątną kolejno w punkcie H i G.

R8664KUAQ1MUQ

Ćwiczenie 6

Na przekątnej $A C$ równoległoboku $A B C D$ wybrano punkty $E$ i $F$ , takie że $|A E| = |C F|$ . Wykaż, że $|B F| = |D E|$ .

Oprzyj swoje rozważania na trójkątach $A D E$ i $C B F$ w równoległoboku.

Szkic dowodu.
Ponieważ

$|A D| = |C B|$ , jako przeciwległe boki równoległoboku $A B C D$ ,
$|∢ E A D| = |∢ F C B|$ ,
$|A E| = |C F|$ , z warunków zadania,

to na mocy cechy bok – kąt – bok trójkąty $A D E$ i $C B F$ są przystające.
Wynika z tego, że $|D E| = |B F|$ .

Ćwiczenie 7

Na bokach $A B$ i $C D$ równoległoboku $A B C D$ zbudowano kwadraty $A B K L$ i $C D M N$ .

R1I6gzYSscVbY1

Rysunek przedstawia równoległobok A B C D o dłuższych poziomych podstawach górnej C D i dolnej A B. Na boku A B zbudowano pod równoległobokiem kwadrat L K B A oraz na boku C D zbudowano nad równoległobokiem kwadrat D C N M. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykaż, że trójkąty $B N K$ i $D L M$ są przystające.

Oznacz kąt ostry równoległoboku jako $α$ . Wtedy kąt rozwarty równoległoboku będzie miał miarę $180 ° - α$ . Oznacz także boki $A B$ i $C D$ jako $a$ i pozostałe dwa boki jako $b$ .

Szkic dowodu.
W równoległoboku $A B C D$ oznaczmy przez $a$ długość boku $A B$ , przez $b$ długość boku $B C$ , przez $α$ miarę kąta wewnętrznego $D A B$ (patrz rysunek).

R7UR9wgQvp7dB1

Rysunek przedstawia równoległobok A B C D opisany w zadaniu. Na boku A B zbudowano pod równoległobokiem kwadrat L K B A oraz na boku C D zbudowano nad równoległobokiem kwadrat D C N M. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wtedy każdy z boków kwadratów $A B K L$ i $C D M N$ jest równy $a$ , kąt $B C D$ ma miarę $α$ , a każdy z kątów $A B C$ i $A D C$ ma miarę $180 ° - α$ .
Trójkąty $A D L$ i $C B N$ są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę bok – kąt – bok, ponieważ

$|A D| = |C B| = b$ ,
$|∢ D A L| = |∢ D A B| + |∢ B A L| = α + 90 ° = |∢ B C D| + |∢ D C N| = |∢ B C N|$ ,
$|A L| = |C N| = a$ .

R1JHN8D6UzzTc1

Rysunek równoległoboku A B C D i zbudowanych na jego bokach kwadratach A B K L i C D M N oraz zaznaczonymi kątami D A B i B C D równymi alfa oraz odcinkami LD i BN. Rysunek pomocniczy do rozwiązania zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wobec tego $|D L| = |B N|$ i $|∢ A D L| = |∢ C B N|$ . Ponieważ

$|L D| = |N B|$ ,
$|∢ L D M| = |∢ L D A| + |∢ A D M| = |∢ L D A| + 360 ° - (|∢ A D C| + |∢ C D M|) =$
$= |∢ L D A| + 360 ° - (90 ° + 180 ° - α) = |∢ L D A| + 90 ° + α$ ,
$|∢ N B K| = |∢ C B N| + |∢ C B K| = |∢ C B N| + 360 ° - (|∢ K B A| + |∢ A B C|) =$
$= |∢ C B N| + 360 ° - (90 ° + 180 ° - α) = |∢ C B N| + 90 ° + α$ ,
skąd $|∢ L D M| = |∢ N B K|$ (skorzystaliśmy z równości miar kątów $A D L$ i $C B N$ ),
$|D M| = |B K| = α$ ,

to trójkąty $L D M$ i $N B K$ są przystające na mocy cechy bok – kąt – bok.

RwLibHzD8w5Dv1

Rysunek równoległoboku A B C D i zbudowanych na jego bokach kwadratach A B K L i C D M N oraz zaznaczonym odcinkami LD, BN, LM i KN. Rysunek pomocniczy do rozwiązania zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

W czworokącie wypukłym $A B C D$ przekątne $A C$ i $B D$ są równej długości (rysunek). Punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami boków $A D$ i $B C$ . Wykaż, że prosta $M N$ tworzy równe kąty z przekątnymi $A C$ i $B D$ .

RD5MOUOM1OBHS

Na ilustracji przedstawiono czworokąt A B C D. Zaznaczono odcinek M N, łączący środki boków A D i B C. Poprowadzono przekątne A C i B D. Zaznaczono kąty między prostą M N a przekątnymi czworokąta.

Oznacz środek odcinka $A B$ przez $K$ , środek $C D$ przez $L$ . Uzasadnij, że czworokąt $K N L M$ jest rombem. (Porównaj z zadaniem z przykładu 2).

Oznaczmy środek odcinka $A B$ przez $K$ , środek $C D$ przez $L$ , punkt przecięcia przekątnych przez $G$ , punkt przecięcia prostej $M N$ z przekątnymi $A C$ i $B D$ odpowiednio przez $E$ , $F$ (rysunek):

RUGEUCBO8XJ7J

Na ilustracji przedstawiono czworokąt A B C D. Zaznaczono odcinek M N, łączący środki boków A D i B C. Środek boku D C stanowi punkt L, natomiast środek boku A B stanowi punkt K. Zielonym kolorem połączono punkty M, K, N, L tworząc czworokąt. Poprowadzono przekątne A C i B D, które przecinają się w punkcie G.. Przekątna A C przecina odcinek M N w punkcie E. Przekątna B D przecina odcinek M N w punkcie F. Zacieniowano powstały trójkąt E F G. Zaznaczono kąty między prostą M N a przekątnymi, czyli przy wierzchołkach E, F i G.

Z własności odcinka łączącego środki ramion w trójkącie otrzymujemy, że proste $K N$ i $M L$ są równoległe do przekątnej $A C$ , natomiast proste $K M$ i $N L$ są równoległe do przekątnej $B D$ . Zatem czworokąt $K N L M$ jest równoległobokiem.

Co więcej, długości tych odcinków są równe połowie długości przekątnych. Z założeń zadania wiemy, że $|A C| = |B D|$ , więc czworokąt $K N L M$ jest rombem.

Wnioskujemy więc, że trójkąt $M N L$ jest trójkątem równoramiennym.

Wiemy też, że $M L ∥ A C$ i $N L ∥ B D$ , czyli, że kąty przy wierzchołkach $M$ i $N$ w trójkącie $M N L$ są równe kątom przy wierzchołkach $E$ i $F$ w trójkącie $E F G$ .

Trójkąt $E F G$ jest więc również trójkątem równoramiennym, a to jest równoważne z tezą naszego zadania.

Uwaga! W rozwiązaniu zadania nie było konieczne rozważanie punktu $K$ . Można było rozwiązanie sprowadzić do podobieństwa trójkątów $M N L$ i $E F G$ .
Jednak fakt, że środki boków czworokąta są wierzchołkami równoległoboku (lub rombu, gdy przekątne czworokąta są równe) jest na tyle ważny i użyteczny, że warto było to odnotować w rozwiązaniu tego zadania.

Słownik

linia środkowa w trójkącie

odcinek łączący środki pewnych dwóch boków trójkąta

implikacja

zdanie „jeżeli $p$ , to $q$ ”, co zapisujemy $p \Rightarrow q$

2. Trapez i jego własności

4. Deltoid i jego własności