2. Monotoniczność ciągu - M_R_W16_M1 Własności ciągów

R1VHgm27XULAK

2. Monotoniczność ciągów

Być może zdarzyło ci się w młodszych klasach szkoły podstawowej tworzyć szlaczki składające się z figur geometrycznych.

Na poniższym rysunku szlaczek zbudowany jest z półkoli. Przyjrzyj się kolejnym półkolom – co zauważasz?

R1NxkRgwqNKpL

Ilustracja przedstawia pięć kolejnych figur. Pierwsza od lewej to górne półkole. Druga to górne półkole, w które wpisano dwa górne półkola oparte na średnicy dużego półkola. Suma średnic małych półkoli jest równa średnicy dużego półkola. W każdej kolejnej figurze dodano kolejne mniejsze półkola według opisanej zasady.

Każde następne półkole ma średnicę dwukrotnie mniejszą niż półkole poprzednie (oprócz oczywiście półkola pierwszego - figura 1) . Długości średnic tych półkoli tworzą więc ciąg malejący. O ciągu malejącym mówimy, że jest to ciąg monotoniczny.

Ciągami monotonicznymi oraz odkrywaniem zależności między wyrazami ciągów monotonicznych będziemy zajmować się właśnie w tym materiale.

Twoje cele

Rozpoznasz ciąg monotoniczny.
Określisz monotoniczność ciągu opisanego różnymi sposobami.
Uzasadnisz, że dany ciąg nie jest monotoniczny.
Wykorzystasz własności ciągów monotonicznych.
Określisz monotoniczność danego ciągu.
Korzystając ze wzoru ciągu, zbadasz jego monotoniczność.
Udowodnisz, że dany ciąg jest rosnący albo malejący.

Przykład 1

Wypiszemy kilka początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = n^{3} - 10$ dla $n \in ℕ_{+}$ .

$a_{1} = 1 - 10 = - 9$

$a_{2} = 8 - 10 = - 2$

$a_{3} = 27 - 10 = 17$

$a_{4} = 64 - 10 = 54$

$a_{5} = 125 - 10 = 115$

$a_{6} = 216 - 10 = 206$

Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego, czyli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem rosnącym.

Ciąg rosnący

Definicja: Ciąg rosnący

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} > a_{n}$ .

R9zxhkHpFn4Tl

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią an od minus dziesięciu do trzydziestu z podziałką co dziesięć. Na płaszczyźnie zaznaczono pięć punktów i poprowadzono przez nie linią przerywaną krzywą w kształcie prawego ramienia paraboli skierowanego do góry. Krzywa ma początek w punkcie 0;0 i biegnie w pierwszej ćwiartce.

Przykład 2

Uzasadnimy, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = 4 n - 1$ dla $n \in ℕ_{+}$ jest ciągiem rosnącymciąg rosnącyciągiem rosnącym.

W tym celu określimy wyraz $a_{n + 1}$ .

$a_{n + 1} = 4 (n + 1) - 1 = 4 n + 3$

Zatem

$a_{n + 1} = 4 n + 3 = (4 n - 1) + 4$

$a_{n + 1} = a_{n} + 4$

$a_{n + 1} > a_{n}$

c.n.d

Przykład 3

W tabelce zapisanych jest kilka początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ .

	Początkowe wyrazy ciągu $(a_{n})$
$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$a_{n}$	$18$	$15$	$12$	$9$	$6$

Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego, czyli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem malejącym.

Ciąg malejący

Definicja: Ciąg malejący

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} < a_{n}$ .

RF8Mj3LV7dQAv

Przykład 4

Uzasadnimy, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = - 2 n + 1$ dla $n \in ℕ_{+}$ jest ciągiem malejącymciąg malejącyciągiem malejącym.

W tym celu określimy wyraz $a_{n + 1}$ .

$a_{n + 1} = - 2 (n + 1) + 1 = - 2 n - 1$

Zatem

$a_{n + 1} = - 2 n - 1 = (- 2 n + 1) - 2$

$a_{n + 1} = a_{n} - 2$

$a_{n + 1} < a_{n}$

c.n.d

Przykład 5

Ciąg $(a_{n})$ o wyrazach dodatnich jest malejący. Zbadamy monotoniczność ciągu $(b_{n})$ określonego wzorem $b_{n} = \frac{\sqrt{2 + a_{n}^{2}}}{2}$ .

Określamy zależność między wyrazami $b_{n + 1}$ i $b_{n}$ .

$b_{n + 1} = \frac{\sqrt{2 + a_{n + 1}^{2}}}{2} < \frac{\sqrt{2 + a_{n}^{2}}}{2} = b_{n}$

Ponieważ

$b_{n + 1} < b_{n}$ , więc wynika z tego, że ciąg $(b_{n})$ jest malejący.

Przykład 6

Na wykresie zaznaczono kilka początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ .

ROdxiDwxMZMpy

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią an od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono siedem następujących punktów: 1;3, 2;3, 3;3, 4;3, 5;3, 6;3, 7;3.

Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu, czyli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem stałymciąg stałyciągiem stałym.

Ciąg stały

Definicja: Ciąg stały

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu.

Czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} = a_{n}$ .

Nie każdy ciąg jest rosnący, malejący lub stały.

Przykład 7

Liczby:

$1$ , $2$ , $2$ , $3$ , $3$ , $3$ , $4$ , $4$ , $4$ , $4$ , $5$ , $5$ , $5$ , $5$ , $5$ , $5$ , $. . .$ są kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu $(a_{n})$ określonego dla $n \in ℕ_{+}$ .

Każdy wyraz ciągu (oprócz pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub większy od tego wyrazu. O takim ciągu mówimy, że jest niemalejący.

Ciąg niemalejący

Definicja: Ciąg niemalejący

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub większy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} \geq a_{n}$ .

W podobny sposób możemy określić ciąg nierosnący.

Ciąg nierosnący

Definicja: Ciąg nierosnący

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub mniejszy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} \leq a_{n}$ .

O ciągach rosnących, malejących, stałych, nierosnących, niemalejących mówimy, że są to ciągi monotoniczne.

Nie wszystkie ciągi są monotoniczne. Żeby to udowodnić, wystarczy pokazać, że w danym ciągu $(a_{n})$ istnieją dwa wyrazy takie, że $a_{k + 1} < a_{k}$ i dwa wyrazy takie, że $a_{t + 1} > a_{t}$ , gdzie $k, t \in ℕ_{+}$ .

RDVMoLCdPqAvc

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od minus jeden do ośmiu oraz z pionową osią an od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie zaznaczono siedem punktów. Punkty o parzystej pierwszej współrzędnej znajdują się w pierwszej ćwiartce. Poprowadzono przez nie linią przerywaną krzywą w kształcie łuku o wybrzuszeniu w kierunku początku układu współrzędnych. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do poziomej dodatniej półosi. Punkty o nieparzystej pierwszej współrzędnej znajdują się w czwartej ćwiartce. Poprowadzono przez nie linią przerywaną krzywą w kształcie łuku o wybrzuszeniu w kierunku początku układu współrzędnych. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do poziomej dodatniej półosi.

Przykład 8

Uzasadnimy, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = {(- 2)}^{n}$ nie jest monotoniczny.

Niech $n$ będzie liczbą parzystą. Wtedy $n + 1$ jest liczbą nieparzystą.
Wówczas $a_{n} = {(- 2)}^{n} = 2^{n} > 0$ oraz $a_{n + 1} = {(- 2)}^{n + 1} = - 2^{n + 1} < 0$
Zatem $a_{n + 1} < a_{n}$ .
Niech $n$ będzie liczbą nieparzystą. Wtedy $n + 1$ jest liczbą parzystą.
Wówczas $a_{n} = {(- 2)}^{n} = - 2^{n} < 0$ oraz $a_{n + 1} = {(- 2)}^{n + 1} = 2^{n + 1} > 0$
Zatem $a_{n + 1} > a_{n}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem pokazującym wykresy ciągów. Określ w każdym przypadku monotoniczność ciągów. Porównaj z zapisami w aplecie.

RFjm5eJvDsfbv

RedtFteWkmvrI

Polecenie 2

Sporządź wykres każdego z ciągów i określ, czy jest to ciąg stały, malejący czy rosnący.

Podaj pierwsze sześć wyrazów każdego z ciągów. Oblicz różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ i na tej podstawie określ, czy jest to ciąg stały, malejący czy rosnący.

$a_{n} = - n (n - 1) + n^{2}$

$b_{n} = - 2 n + 6$

$c_{n} = n - 7$

$d_{n} = n^{2} + 2$

$e_{n} = (n - 2) (n + 1) - (n + 1) (n + 2) + 4 n$

(a_{n})

– ciąg rosnący

(a_{n})

– ciąg rosnący

RLjwB8LUmVIWT

(b_{n})

– ciąg malejący

(b_{n})

– ciąg malejący

R1Cb0Lc1AwJqZ

(c_{n})

– ciąg rosnący

(c_{n})

– ciąg rosnący

R1FaqiSGion4E

(d_{n})

– ciąg rosnący

(d_{n})

– ciąg rosnący

R1W9e5OJnBa5f

(e_{n})

– ciąg stały

(e_{n})

– ciąg stały

RYNS0Od83UVEA

Rozpatrzymy najpierw ciąg $a_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = 3, a_{4} = 4, a_{5} = 5, a_{6} = 6$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $a_{n + 1} - a_{n} = - (n + 1) (n + 1 - 1) + {(n + 1)}^{2} - (- n (n - 1) + n^{2}) = 1 > 0$ , więc ciąg jest rosnący.

Rozpatrzymy następnie ciąg $b_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $b_{1} = 4, b_{2} = 2, b_{3} = 0, b_{4} = - 2, b_{5} = - 4, b_{6} = - 6$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $b_{n + 1} - b_{n} = - 2 (n + 1) + 6 - (- 2 n + 6) = - 2 < 0$ , czyli ciąg jest malejący.

Rozpatrzymy następnie ciąg $c_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $c_{1} = - 6, c_{2} = - 5, c_{3} = - 4, c_{4} = - 3, c_{5} = - 2, c_{6} = - 1$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $c_{n + 1} - c_{n} = (n + 1) - 7 - (n - 7) = 1 > 0$ , czyli ciąg jest rosnący.

Rozpatrzymy następnie ciąg $d_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $d_{1} = 3, d_{2} = 6, d_{3} = 11, d_{4} = 18, d_{5} = 27, d_{6} = 38$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $d_{n + 1} - d_{n} = {(n + 1)}^{2} + 2 - (n^{2} + 2) = 2 n + 1 > 0$ , ponieważ $n = 1, 2, 3, . . .$ . Zatem ciąg ten jest rosnący.

Rozpatrzymy następnie ciąg $e_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $e_{1} = - 4, e_{2} = 4, e_{3} = - 4, e_{4} = - 4, e_{5} = - 4, e_{6} = - 4$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $e_{n + 1} - e_{n} = (n + 1 - 2) (n + 1 + 1) - (n + 1 + 1) (n + 1 + 2) +$

$+ 4 (n + 1) - (n - 2) (n + 1) + (n + 1) (n + 2) - 4 n = 0$ , więc ciąg jest stały.

Na rysunku poniżej przedstawiono wykresy trzech ciągów.

RDMfYRR3Igeyk

Ilustracja przedstawia interpretację graficzną trzech ciągów: an, bn oraz cn. Na każdym rysunku znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią n od zera do sześciu i z pionową osią na każdym rysunku oznaczoną inaczej, kolejno an, bn i cn, każda pionowa oś jest od minus jeden do pięciu. Ciąg an składa się z następujących punktów: 0,1, 1,32, 2,2, 3,52, 4,3, 5,72, 6,4. Ciąg bn składa się z następujących punktów: 0,72, 1,3, 2,52, 3,2, 4,32, 5,1, 6,12. Ciąg cn składa się z następujących punktów: 0,32, 1,32, 2,32, 3,32, 4,32, 5,32, 6,32.

Pierwszy wykres jest wykresem ciągu rosnącego – każdy kolejny wyraz ciągu $(a_{n})$ jest większy od wyrazów poprzednich.

Drugi wykres – to wykres ciągu malejącegociąg malejącymalejącego – każdy kolejny wyraz ciągu $(b_{n})$ jest mniejszy od wyrazów poprzednich.

Trzeci wykres, to wykres ciągu stałego – każdy kolejny wyraz ciągu $(c_{n})$ jest równy wyrazom poprzednim.

Definicję ciągu rosnącego $(a_{n})$ można zapisać w sposób równoważny w postaci nierówności

a_{n + 1} - a_{n} > 0

która jest spełniona dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$ .

Przykład 9

Wykażemy, że ciąg $(a_{n})$ określony dla $n \in ℕ_{+}$ wzorem $a_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 3}$ jest rosnący.

Badamy znak różnicy $a_{n + 1} - a_{n}$ .

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2 (n + 1) - 1}{n + 1 + 3} - \frac{2 n - 1}{n + 3}$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 4} - \frac{2 n - 1}{n + 3}$

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i wykonujemy wskazane działania.

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{(2 n + 1) (n + 3) - (2 n - 1) (n + 4)}{(n + 4) (n + 3)}$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2 n^{2} + 7 n + 3 - 2 n^{2} - 7 n + 4}{(n + 4) (n + 3)}$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{7}{(n + 4) (n + 3)} > 0$

Dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} - a_{n} > 0$ , zatem ciąg jest rosnący, co należało wykazać.

Przykład 10

Zbadamy monotoniczność ciągu $(b_{n})$ określonego dla $n > 1$ wzorem ogólnym

$b_{n} = \sqrt{n^{2} - n}$ .

Badamy znak różnicy $b_{n + 1} - b_{n}$ .

$b_{n + 1} - b_{n} = \sqrt{{(n + 1)}^{2} - (n + 1)} - \sqrt{n^{2} - n}$

$b_{n + 1} - b_{n} = \sqrt{n^{2} + n} - \sqrt{n^{2} - n}$

Przekształcamy zapisaną różnicę, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$b_{n + 1} - b_{n} = \sqrt{n^{2} + n} - \sqrt{n^{2} - n} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} - n}}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} - n}}$

$b_{n + 1} - b_{n} = \frac{2 n}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} - n}} > 0$

Dla każdej liczby naturalnej $n > 1$ spełniona jest nierówność $b_{n + 1} - b_{n} > 0$ , zatem ciąg jest rosnący.

Jeśli wszystkie wyrazy ciągu $(a_{n})$ są dodatnie, to ciąg jest rosnący, gdy dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > 1

Przykład 11

Zbadamy monotoniczność ciągu $(c_{n})$ określonego dla $n \in ℕ_{+}$ wzorem $c_{n} = {(\frac{3}{2})}^{n}$ .

Badamy znak ilorazu $\frac{c_{n + 1}}{c_{n}}$ .

$\frac{c_{n + 1}}{c_{n}} = {(\frac{3}{2})}^{n + 1} : {(\frac{3}{2})}^{n}$

Przekształcamy otrzymane wyrażenie.

$\frac{c_{n + 1}}{c_{n}} = \frac{3}{2} \cdot {(\frac{3}{2})}^{n} \cdot {(\frac{2}{3})}^{n}$

$\frac{c_{n + 1}}{c_{n}} = \frac{3}{2} > 1$

Dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $\frac{c_{n + 1}}{c_{n}} > 1$ , zatem ciąg jest rosnący.

Definicję ciągu malejącego $(a_{n})$ można zapisać w sposób równoważny w postaci nierówności

a_{n + 1} - a_{n} < 0

która jest spełniona dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$ .

Przykład 12

Wykażemy, że ciąg $(d_{n})$ określony dla $n \in ℕ_{+}$ wzorem $d_{n} = 6 - 5 n$ jest malejącyciąg malejącymalejący.

Badamy znak różnicy $d_{n + 1} - d_{n}$ .

$d_{n + 1} - d_{n} = 6 - 5 (n + 1) - 6 + 5 n$

$d_{n + 1} - d_{n} = 6 - 5 n - 5 - 6 + 5 n$

$d_{n + 1} - d_{n} < - 5$

Dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ spełniona jest nierówność $d_{n + 1} - d_{n} < 0$ , zatem ciąg jest malejący, co należało wykazać.

Jeśli wszystkie wyrazy ciągu $(a_{n})$ są dodatnie, to ciąg jest malejący, gdy dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < 1

Przykład 13

Zbadamy monotoniczność ciągu $(t_{n})$ określonego dla $n \in ℕ_{+}$ wzorem $t_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Badamy znak ilorazu $\frac{t_{n + 1}}{t_{n}}$ .

$\frac{t_{n + 1}}{t_{n}} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

$\frac{t_{n + 1}}{t_{n}} = \frac{1}{2} < 1$

Wyrazy ciągu są dodatnie i dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $\frac{t_{n + 1}}{t_{n}} < 1$ zatem ciąg jest malejący.

RkDJhoiuZ8sal1

Ćwiczenie 1

RwFrgHJN2iuTP1

Ćwiczenie 2

Rywkghc4PFHhb2

Ćwiczenie 3

RpWHr5sYJlfH32

Ćwiczenie 4

Ciągi określone są podanymi wzorami. Przeciągnij wzór każdego ciągu do odpowiedniego pola. Ciągi rosnące Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. c indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery n, 4. t indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, jeden, minus, n, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, n, zamknięcie nawiasu, 5. k indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa n, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. d indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, nawias, jeden, minus, n, zamknięcie nawiasu, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Ciagi malejące Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. c indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery n, 4. t indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, jeden, minus, n, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, n, zamknięcie nawiasu, 5. k indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa n, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. d indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, nawias, jeden, minus, n, zamknięcie nawiasu, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Ciągi stałe Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. c indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery n, 4. t indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, jeden, minus, n, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, n, zamknięcie nawiasu, 5. k indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa n, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. d indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, nawias, jeden, minus, n, zamknięcie nawiasu, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu

RBsnQK8Z0l3tq2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

R9eJ7X9uZzcIM

Rw1iq3OhR8xZ7

Ćwiczenie 7

Znajdź wszystkie takie liczby $t$ , dla których ciąg $a_{n} = - (t - 1) (t + 3) n - 1$ jest rosnący.

Ciąg $(a_{n})$ jest rosnący, gdy $- (t - 1) (t + 3) > 0$ .

$- (t - 1) (t + 3) > 0 | : (- 1)$

gdy $(t - 1) (t + 3) < 0$

$t \in (- 3, 1)$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = |n - 4| + 1$ nie jest monotoniczny.

Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu

$a_{1} = 4$

$a_{2} = 3$

$a_{3} = 2$

$a_{4} = 1$

$a_{5} = 2$

$a_{6} = 3$

Zauważmy, że $a_{3} < a_{2}$ , natomiast $a_{6} > a_{5}$ .

Czyli wyraz trzeci jest mniejszy od drugiego, a wyraz szósty jest większy od piątego.

Pokaż ćwiczenia:

R1sPwjvjGfx0S1

Ćwiczenie 9

RY0AOOU1yMobB1

Ćwiczenie 10

RWC9lmkdve7LB2

Ćwiczenie 11

R1Ww0lV5BAnx721

Ćwiczenie 12

Ru4MpSp42igt72

Ćwiczenie 13

RaLsVvrO8WjFq2

Ćwiczenie 14

Poukładaj w odpowiedniej kolejności badanie monotoniczności ciągu nawias, a indeks dolny, n, zamknięcie nawiasu określonego wzorem ogólnym a indeks dolny, n, równa się, początek ułamka, dwa, plus, cztery, plus, sześć, plus, . . ., plus, dwa n, mianownik, n indeks górny, dwa, koniec ułamka. Elementy do uszeregowania: 1. Wyrazy ciągu są dodatnie i dla każdej liczby naturalnej n, należy do, N indeks dolny, plus spełniona jest nierówność początek ułamka, a indeks dolny, n, plus, jeden, mianownik, a indeks dolny, n, koniec ułamka, mniejszy niż, jeden, zatem ciąg jest malejący., 2. Określimy znak ilorazu początek ułamka, a indeks dolny, n, plus, jeden, mianownik, a indeks dolny, n, koniec ułamka., 3. a indeks dolny, n, równa się, początek ułamka, początek ułamka, dwa nawias, jeden, plus, n, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n, mianownik, n indeks górny, dwa, koniec ułamka, 4. Zapiszemy wzór ciągu w najprostszej postaci
a indeks dolny, n, równa się, początek ułamka, dwa, plus, cztery, plus, sześć, plus, . . ., plus, dwa n, mianownik, n indeks górny, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, początek ułamka, dwa, plus, dwa n, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n, mianownik, n indeks górny, dwa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, a indeks dolny, n, plus, jeden, mianownik, a indeks dolny, n, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, początek ułamka, dwa, plus, n, mianownik, n, plus, jeden, koniec ułamka, mianownik, początek ułamka, jeden, plus, n, mianownik, n, koniec ułamka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, plus, n, mianownik, n, plus, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, n, mianownik, n, plus, jeden, koniec ułamka, 6. Zauważmy najpierw, że
dwa, plus, cztery, plus, sześć, plus, . . ., plus, dwa n, równa się, początek ułamka, dwa, plus, dwa n, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n, 7. a indeks dolny, n, równa się, początek ułamka, nawias, jeden, plus, n, zamknięcie nawiasu, razy, n, mianownik, n indeks górny, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, plus, n, mianownik, n, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a indeks dolny, n, plus, jeden, mianownik, a indeks dolny, n, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n indeks górny, dwa, plus, dwa n, mianownik, n indeks górny, dwa, plus, dwa n, plus, jeden, koniec ułamka, mniejszy niż, początek ułamka, n indeks górny, dwa, plus, dwa n, plus, jeden, mianownik, n indeks górny, dwa, plus, dwa n, plus, jeden, koniec ułamka, 9. początek ułamka, a indeks dolny, n, plus, jeden, mianownik, a indeks dolny, n, koniec ułamka, mniejszy niż, jeden

Ćwiczenie 15

Wykaż, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = \cos (n π)$ nie jest monotoniczny.

$a_{1} = \cos π = - 1$

$a_{2} = \cos (2 π) = 1$

$\cos (3 π) = - 1$

Zauważmy, że jeśli $n$ – liczba nieparzysta to $\cos (n π) = - 1$ , jeśli $n$ – liczba parzysta, to $\cos (n π) = 1$ .

Zatem $\cos (2 k π) = 1$ , $\cos ((2 k + 1) π) = - 1$ .

Ćwiczenie 16

Zbadaj monotoniczność ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{3^{n}}{n!}$ .

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{3^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{3^{n}} = \frac{3}{n + 1}$

$\frac{3}{n + 1} < 1$

$3 < n + 1$

$n > 2$

Dla $n > 2$ ciąg jest malejący.

Słownik

ciąg rosnący

ciąg $(a_{n})$ nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego; czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} > a_{n}$

ciąg malejący

ciąg $(a_{n})$ nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego; czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} < a_{n}$

ciąg stały

ciąg $(a_{n})$ nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu; czyli dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} = a_{n}$

1. Określenie ciągu. Ciąg liczbowy.

3. Ciąg określony rekurencyjnie

2. Monotoniczność ciągów

Słownik