Bryły obrotowe

Oś obrotu

Definicja: Oś obrotu

Obracając figurę płaską dookoła prostej $p$ , zawartej w tej samej płaszczyźnie, otrzymujemy powierzchnię, która ogranicza figurę, zwaną bryłą obrotową. Prostą $p$ nazywamy osią obrotu. Jest ona osią symetrii bryły obrotowej.

RulOviL2Szwnw1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DHE26ZBp5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

RuN9ETU59mdhi1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DHE26ZBp5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 1

ReI7unuxwcu301

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykłady brył obrotowych

R13DKRlhAgfox1

Rysunki: pomarańczy, szklanki, pojemnika z jogurtem, balona, bączka do zabawy, śruby. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1bHEGdFysoqV1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DHE26ZBp5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 2

Przez całą noc padał deszcz i beczka na deszczówkę została napełniona w połowie. Beczka ma wysokość $1,4 m$ . Jej średnica w najszerszym miejscu wynosi $1 m$ , a w najwęższym $80 cm$ .
Ile litrów wody znajduje się w beczce ? Przyjmij, że $π = \frac{22}{7}$ . Skorzystaj z podanego wzoru na pojemność beczki.
Wzór na pojemność beczki.

V = \frac{1}{12} πH (2 D^{2} + d^{2})

$V$ – pojemność
$H$ – wysokość beczki
$D$ – średnica w najszerszym miejscu
$d$ - średnica w najwęższym miejscu

Mamy podać pojemność beczki w litrach.
Jeden litr to jeden decymetr sześcienny. Zapisujemy więc wymiary beczki w decymetrach.

H = 1, 4 m = 14 dm

D = 1 m = 10 dm

d = 80 cm = 8 dm

Beczka napełniona jest w połowie, zatem obliczamy połowę jej pojemności.

\frac{1}{2} V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} πH (2 D^{2} + d^{2})

\frac{1}{2} V = \frac{1}{24} \cdot \frac{22}{7} \cdot 14 (2 \cdot 1 0^{2} + 8^{2})

\frac{1}{2} V = \frac{44}{24} \cdot 264

\frac{1}{2} V = 484

W beczce jest $484 l$ wody.

Przykład 3

Bryła $G$ powstaje w wyniku obrotu figury $F$ wokół prostej $p$ .

R1Ma5Tvl2dl1F1

Przykład 4

R1LHBrZQhImVR1

Ciekawostka

Nasza planeta nie ma kształtu idealnej kuli. Na skutek ruchu wirowego (czyli ruchu wokół własnej osi) Ziemia uległa spłaszczeniu przy biegunach. W wyniku tego powstała bryła zwana geoidą ( z greckiego: gea $-$ Ziemia, eidos $-$ kształt).
Bryłą najbardziej zbliżoną kształtem do Ziemi jest elipsoida obrotowa.

RTvB1gLHvBTwt1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DHE26ZBp5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iYhF5bshk2_d5e242

Przekroje brył obrotowych

Figurę płaską, która powstanie po przecięciu bryły płaszczyzną, nazywamy przekrojem tej bryły.

Ważne!

Przekrój osiowy bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną zawierającą oś obrotu.
Przekrój poprzeczny bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu.

Przykład 5

R2NxbxpxzQXyb1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DHE26ZBp5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 6

Określ, jaki kształt mają przekroje narysowanych brył. Jeśli nie wiesz, jak nazywa się dana figura, sprawdź w internecie jej nazwę.

RRxZPpCqBmsjI1

Przykład 7

Arbuz przekrojono na pół. Otrzymany przekrój jest w kształcie koła o polu $452, 16 {cm}^{2}$ . Oblicz średnicę tego koła. Przyjmij $π = 3,14$ .
Korzystamy ze wzoru na pole koła o promieniu r.

P = π r^{2}

\begin{array}{l} 452,16 = 3,14 \cdot r^{2} \end{array}

r^{2} = 144

r = \sqrt{144} = 12

r > 0

Obliczamy średnicę koła.

2 \cdot 12 cm = 24 cm

Średnica koła, będąca przekrojem arbuza, jest równa $24 cm$ .

Przykład 8

RrTu4blcQIL771

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DHE26ZBp5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iYhF5bshk2_d5e374

Ćwiczenie 1

Narysuj bryłę, która powstanie w wyniku obrotu danej figury wokół prostej $p$ .

R1DRbGu85WMTd1

Rysunki czterech figur z zaznaczonymi osiami obrotu p. Prostokąt z zaznaczoną osią obrotu wzdłuż dłuższego boku. Trójkąt prostokątny – oś obrotu zawiera dłuższą przyprostokątną. Deltoid – oś obrotu zawiera dłuższą przekątną figury. Trójkąt równoramienny – oś obrotu zawiera wysokość poprowadzoną do podstawy figury. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Narysuj bryłę, która powstała w wyniku obrotu prostokąta wokół prostej

na której leży jeden z boków
równoległej do dłuższego boku
równoległej do krótszego boku

Ćwiczenie 3

Bryła na rysunku powstała w wyniku obrotu pewnej figury płaskiej dookoła prostej.
Narysuj tę figurę i tę prostą.

RACyvS5EPYftg1

Rysunek trzech brył obrotowych: wazonu, pieczęci, solniczki. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Naszkicuj przekrój osiowy przedstawionych figur.

Ron3ueGoRcZ2E1

Rysunki czterech brył obrotowych: odważnika, arbuza, metalowej puszki, donicy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

trójkątem równoramiennym
trójkątem równobocznym

Ćwiczenie 6

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

prostokątem
kwadratem

iYhF5bshk2_d5e494

Ćwiczenie 7

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój poprzeczny jest kołem.

Ćwiczenie 8

Bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta $P$ wokół jednego z jego boków. Przekątna prostokąta $P$ ma długość $5 cm$ i jest nachylona do jego boku pod kątem $60 °$ . Jaką długość ma promień r podstawy tej bryły? Znajdź wszystkie rozwiązania.

$r =$ $\frac{5}{2}$ lub $r =$ $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

classicmobile

Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R8aa48cVdd5Iv

Bryła, której każdy przekrój poprzeczny jest kołem, jest bryłą obrotową.
Sześcian jest bryłą obrotową.
Istnieje bryła obrotowa, której przekrój osiowy jest inny niż przekrój poprzeczny.

static

Ćwiczenie 10

Uzupełnij zdania.

Część wspólna bryły obrotowej z płaszczyzną zawierającą oś obrotu to przekrój … bryły.
Przekrój poprzeczny bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną … do osi obrotu.

Ćwiczenie 11

Arbuz przekrojono na pół. Pole tak otrzymanego przekroju jest w kształcie koła o polu $530,66 {cm}^{2}$ . Skóra arbuza ma grubość $2 cm$ . Oblicz, ile procent przekroju stanowi miąższ arbuza. Przyjmij $π = 3.14$ . Odpowiedź zaokrąglij do jednej cyfry po przecinku.

$71,6 %$

Ćwiczenie 12

Narysuj bryłę obrotową powstałą w wyniku obrotu

trapezu prostokątnego wokół krótszego ramienia
trapezu równoramiennego wokół dłuższej podstawy

Pola figur podobnych

Walec. Pole powierzchni walca

Bryły obrotowe

Bryły obrotowe

Przekroje brył obrotowych