Równanie $x^2+y^2-10x+24y-56=0$ sprowadzimy do postaci ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$.

Zapiszemy równanie w postaci $x^2-2·5x+25-25+y^2+2·12y+144-144-56=0$, a dalej $$

${\left(x-5\right)}^2+{\left(y+12\right)}^2-25-144-56=0$.

Po wykonaniu działań otrzymujemy ${\left(x-5\right)}^2+{\left(y+12\right)}^2=225$, co daje

$r=15$.

Z powyższego równania odczytujemy współrzędne środka okręgu $O=\left(5,-12\right)$.

Środkiem symetrii okręgu $x^2+y^2-10x+24y-56=0$ jest punkt $O=\left(5,12\right)$.

Wyznaczamy punkty przecięcia prostej $m$ danej równaniem $y=-x+4$ z osiami układu współrzędnych.

Dla punktu przecięcia z osią $Y$, $x=0$, a zatem $y=4$, co daje punkt $D=\left(0, 4\right)$.

Dla punktu przecięcia z osią $X$, $y=0$, a zatem $x=4$, co daje punkt $B=\left(4,0\right)$. 

Zauważmy, że czworokąt $ABCD$ jest kwadratem.

Środek symetrii kwadratu jest środkiem przekątnej $BD$.

R1G5dGJa5oF0r

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 2 do sześciu. Na płaszczyźnie znajduje się prosta m oraz punkty A, B, C, D, O. Prosta m przecina oś y w punkcie : początek nawiasu, 4, 0, zamknięcie nawiasu, oraz oś x w punkcie : początek nawiasu, 4, 0, zamknięcie nawiasu. Współrzędne punktów to kolejno : punkt A : początek nawiasu, 0, 0, zamknięcie nawiasu, punkt B : początek nawiasu, 4, 0, zamknięcie nawiasu, punkt D: początek nawiasu, 0, 4, zamknięcie nawiasu, punkt C: początek nawiasu, 4, 4, zamknięcie nawiasu, punkt O: początek nawiasu, 2, 2, zamknięcie nawiasu. Punkty D, O, B, znajdują się na prostej m. Punkty D i A oraz A i B połączone są liniami ciągłymi. Punkty D i C oraz C i B połączone są liniami przerywanymi.

Korzystając ze wzorów na środek odcinka wyliczamy współrzędne środka odcinka $DB$. Oznaczmy ten punkt jako punktu $O$:

$O=\left(x_0,y_0\right)$, $x_0=\frac{x_B+x_D}{2}$, $y_0=\frac{y_B+y_D}{2}$.

Otrzymujemy zatem $x_0=\frac{x_B+x_D}{2}=\frac{4+0}{2}=2$ i $y_0=\frac{y_B+y_D}{2}=\frac{0+4}{2}=2$.

Otrzymujemy punkt $O=\left(2,2\right)$ – środek symetrii kwadratu.

Współrzędne wierzchołka $C$ możemy w tym przypadku odczytać z rysunku: $C=\left(4,4\right)$.

Formalnie współrzędne punktu $C$ wyznaczamy wykorzystując np. wzory na współrzędne środka odcinka $AC$. Zapisujemy zatem:

$x_0=\frac{x_A+x_C}{2}$, po przekształceniu $2·x_0=x_A+x_C$, a w rezultacie $x_C=2·x_0-x_A$.

Podobnie, dla $y_0=\frac{y_A+y_C}{2}$ otrzymamy $y_C=2\cdot y_0-y_A$. Zatem szukane współrzędne to:

$x_C=2·2-0=4$,

$y_C=2·2-0=4$.

Środkiem symetrii prostokąta $ABCD$ jest punkt $O=\left(2,2\right)$, a czwartym wierzchołkiem jest punkt $C=\left(4,4\right)$.