Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja
B
Ćwiczenie 1
Wypisz wszystkie znalezione na rysunku pary prostych
równoległych
prostopadłych
przecinających się i nieprostopadłych
RmpkDjKeuapb31
Rysunek pięciu prostych b, c, d, g, t.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
i , i , i , i , i
R9NQgnUGS1wWN1
Animacja pokazuje różnej długości i różnie położone odcinki AB oraz odcinek CD. Wykorzystując ekierkę należy tak zmienić położenie punktów C i D, aby odcinek CD był prostopadły do odcinka AB.
Animacja pokazuje różnej długości i różnie położone odcinki AB oraz odcinek CD. Wykorzystując ekierkę należy tak zmienić położenie punktów C i D, aby odcinek CD był prostopadły do odcinka AB.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iDkxaP4cQp_d5e166
B
Ćwiczenie 2
Narysuj dwie proste równoległe, używając linijki i ekierki.
RFyXxjwzzMs8F1
Animacja pokazuje odcinek AB i punkt C, leżący poza odcinkiem, położone na kratownicy. Punkty A, B, C są zawsze punktami kratowymi. Należy znaleźć takie położenie punktu D, aby odcinek CD był prostopadły do odcinka AB. Poruszamy się po liniach pionowych i poziomych kratownicy, aby dojść od punktu A do punktu B. Odcinek AB jest przekątną pewnego prostokąta. Jeżeli chcemy, aby poszukiwany odcinek CD był prostopadły do odcinka AB, to przesuwamy prostokąt tak, aby jednym z wierzchołków był punkt C. Następnie obracamy go o 90 stopni. Wówczas odcinek CD, w obróconym prostokącie, będzie przekątną prostopadłą do przekątnej AB pierwszego prostokąta. Używając ekierki sprawdzamy czy odcinki AB i CD są prostopadłe.
Animacja pokazuje odcinek AB i punkt C, leżący poza odcinkiem, położone na kratownicy. Punkty A, B, C są zawsze punktami kratowymi. Należy znaleźć takie położenie punktu D, aby odcinek CD był prostopadły do odcinka AB. Poruszamy się po liniach pionowych i poziomych kratownicy, aby dojść od punktu A do punktu B. Odcinek AB jest przekątną pewnego prostokąta. Jeżeli chcemy, aby poszukiwany odcinek CD był prostopadły do odcinka AB, to przesuwamy prostokąt tak, aby jednym z wierzchołków był punkt C. Następnie obracamy go o 90 stopni. Wówczas odcinek CD, w obróconym prostokącie, będzie przekątną prostopadłą do przekątnej AB pierwszego prostokąta. Używając ekierki sprawdzamy czy odcinki AB i CD są prostopadłe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
R1AHN7Do9ntxd1
Animacja pokazuje różnej długości i różnie położone odcinki AB oraz odcinek CD, położone na kratownicy tak, że końce obu odcinków są zawsze punktami kratowymi. Należy bez użycia kątomierza znaleźć położenie punktów C i D tak, aby odcinek CD był prostopadły do odcinka AB.
Animacja pokazuje różnej długości i różnie położone odcinki AB oraz odcinek CD, położone na kratownicy tak, że końce obu odcinków są zawsze punktami kratowymi. Należy bez użycia kątomierza znaleźć położenie punktów C i D tak, aby odcinek CD był prostopadły do odcinka AB.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
B
Ćwiczenie 3
Narysuj prostą i punkt nieleżący na prostej . Następnie narysuj prostą równoległą do prostej i przechodzącą przez punkt .
B
Ćwiczenie 4
Narysuj dwie proste prostopadłe, używając linijki i ekierki.
B
Ćwiczenie 5
Narysuj prostą i punkt nieleżący na prostej . Następnie narysuj prostą prostopadłą do prostej i przechodzącą przez punkt .
A
Ćwiczenie 6
Rw4x6UC7YTV9e1
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iDkxaP4cQp_d5e248
Odległość punktu od prostej
Przykład 1
Co nazywamy odległością punktu od prostej?
Jak konstrukcyjnie wyznaczyć tę odległość?
Jak sprawdzić, czy narysowany odcinek określa odległość danego punktu od danej prostej?
R6NZ4rjtmSnjz1
Animacja pokazuje punkt B leżący na prostej i punkt A, który nie leży na prostej. Zaznaczony jest kąt między prostą i utworzonym odcinkiem BA. Zmieniając położenie punktu B, zmieniamy długość odcinka BA. Należy odpowiedzieć na pytania: w jakim przypadku ta długość jest najmniejsza, jaka jest odległość punktu od prostej, jaki jest kąt pomiędzy odcinkiem AB a prostą, gdy odległość BA jest najmniejsza? Zauważamy, że najmniejsza odległość punktu A od prostej jest wtedy, gdy utworzony kąt ma miarę 90 stopni.
Animacja pokazuje punkt B leżący na prostej i punkt A, który nie leży na prostej. Zaznaczony jest kąt między prostą i utworzonym odcinkiem BA. Zmieniając położenie punktu B, zmieniamy długość odcinka BA. Należy odpowiedzieć na pytania: w jakim przypadku ta długość jest najmniejsza, jaka jest odległość punktu od prostej, jaki jest kąt pomiędzy odcinkiem AB a prostą, gdy odległość BA jest najmniejsza? Zauważamy, że najmniejsza odległość punktu A od prostej jest wtedy, gdy utworzony kąt ma miarę 90 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Odległość punktu od prostej
Definicja: Odległość punktu od prostej
Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z prostą.
RK8ezp7dUd5zX1
Rysunek prostej k oraz punktu P leżącego poza tą prostą. Poprowadzony odcinek PR, którego punkt R leży na prostej. Odcinek PR jest prostopadły do tej prostej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Odległość punktu od prostej to długość odcinka , prostopadłego do prostej .
A
Ćwiczenie 7
Co powiesz o odległości tych punktów od prostej ?
R1L44HsgJI2ym1
Rysunek dwóch prostych równoległych k i l. Na prostej k leżą punkty S, T, U, W, A.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Odległość dwóch prostych równoległych
Definicja: Odległość dwóch prostych równoległych
Odległość dwóch prostych równoległych to długość najkrótszego odcinka łączącego te proste. Odcinek ten jest prostopadły do obu tych prostych.
RJaCg2Z8htCpz1
Rysunek dwóch prostych równoległych k i l. Na prostej k leży punkt T. Na prostej l leży punkt Z. Poprowadzony odcinek TZ jest prostopadły do obu prostych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Odległość prostych i to długość odcinka .
iDkxaP4cQp_d5e351
Odcinki prostopadłe i równoległe
B
Ćwiczenie 8
Wskaż odcinki
równoległe do odcinka
prostopadłe do odcinka
R1AePLYnyDCFh1
Rysunek dwunastokąta E P O D R E C Z N I K X.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Wskazówka. Odcinki leżące na prostych prostopadłych są prostopadłe. Odcinki leżące na prostych równoległych są równoległe.
B
Ćwiczenie 9
37719067627400Używając przyrządów geometrycznych, narysuj na gładkiej kartce figurę o takim samym kształcie, jak figura narysowana poniżej.
RDfvrEfa3BvDg1
Rysunek spirali.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zaprojektuj i narysuj na gładkiej kartce inną figurę, która będzie składała się tylko z odcinków równoległych i prostopadłych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.