Funkcja homograficzna jest szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej. Jej wykresem jest hiperbola. Zapoznaj się z symulacją interaktywną, która przedstawia wykres i własności hiperboli. Zmieniając współczynniki , , i obserwuj, jak zmienia się wykres funkcji homograficznej.
Repra3TsZgXg2
Na symulacji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji homograficznej opisanej wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, a x, plus, b, mianownik, c x, plus, d, koniec ułamka. Poniżej, za pomocą suwaka można zmieniać wartości parametrów a, b, c, oraz d. Dla zadanych wartości parametrów wyrysowany zostaje wykres funkcji. Przykład 1. Gdy a, równa się, jeden, b, równa się, trzy, c, równa się, minus, jeden oraz d, równa się, dwa wzór funkcji opisuje równanie f nawias, x, zamknięcie nawiasu, początek ułamka, minus, x, plus, trzy, mianownik, minus, x, plus, dwa, koniec ułamka. Wykres funkcji stanowi hiperbola o wierzchołkach w punktach nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu oraz nawias, trzy, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Asymptotę poziomą opisuje równanie y, równa się, jeden, natomiast pionową x, równa się, dwa. Dziedziną omawianej funkcji jest zbiór liczb nawias, minus, nieskończoność, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu natomiast zbiorem wartości funkcji nawias, minus, nieskończoność, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Miejsce zerowe to x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, miejscem przecięcia wykresu z osią X jest punkt nawias, trzy, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, z osią Y nawias, zero, średnik, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Funkcja jest rosnącą w przedziałach nawias, minus, nieskończoność, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Postać kanoniczna wygląda następująco f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka, plus, jeden. Przykład 2. Gdy a, równa się, osiem, b, równa się, zero, c, równa się, minus, osiem oraz d, równa się, osiem wzór funkcji opisuje równanie f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, osiem x, mianownik, minus, osiem x, plus, osiem, koniec ułamka. Wykres funkcji stanowi hiperbola o wierzchołkach w punktach nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu oraz nawias, dwa, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Asymptotę poziomą opisuje równanie y, równa się, jeden, natomiast pionową x, równa się, jeden. Dziedziną omawianej funkcji jest zbiór liczb nawias, minus, nieskończoność, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu natomiast zbiorem wartości funkcji nawias, minus, nieskończoność, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Miejsce zerowe to x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, zero, miejscem przecięcia wykresu z osią X jest punkt nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Funkcja jest malejąca w przedziałach nawias, minus, nieskończoność, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Postać kanoniczna wygląda następująco f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, plus, jeden. Przykład 3. Gdy a, równa się, minus, sześć, b, równa się, minus, trzy, c, równa się, trzy oraz d, równa się, trzy wzór funkcji opisuje równanie f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, sześć x, minus, trzy, mianownik, trzy x, plus, trzy, koniec ułamka. Wykres funkcji stanowi hiperbola o wierzchołkach w punktach nawias, minus, dwa, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu oraz nawias, zero, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Asymptotę poziomą opisuje równanie y, równa się, minus, dwa, natomiast pionową x, równa się, minus, jeden. Dziedziną omawianej funkcji jest zbiór liczb nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu natomiast zbiorem wartości funkcji nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, dwa, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Miejsce zerowe to x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, miejscem przecięcia wykresu z osią X jest punkt nawias, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Funkcja jest malejąca w przedziałach nawias, minus, nieskończoność, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Postać kanoniczna wygląda następująco f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, minus, dwa.
Na symulacji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji homograficznej opisanej wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, a x, plus, b, mianownik, c x, plus, d, koniec ułamka. Poniżej, za pomocą suwaka można zmieniać wartości parametrów a, b, c, oraz d. Dla zadanych wartości parametrów wyrysowany zostaje wykres funkcji. Przykład 1. Gdy a, równa się, jeden, b, równa się, trzy, c, równa się, minus, jeden oraz d, równa się, dwa wzór funkcji opisuje równanie f nawias, x, zamknięcie nawiasu, początek ułamka, minus, x, plus, trzy, mianownik, minus, x, plus, dwa, koniec ułamka. Wykres funkcji stanowi hiperbola o wierzchołkach w punktach nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu oraz nawias, trzy, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Asymptotę poziomą opisuje równanie y, równa się, jeden, natomiast pionową x, równa się, dwa. Dziedziną omawianej funkcji jest zbiór liczb nawias, minus, nieskończoność, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu natomiast zbiorem wartości funkcji nawias, minus, nieskończoność, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Miejsce zerowe to x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, miejscem przecięcia wykresu z osią X jest punkt nawias, trzy, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, z osią Y nawias, zero, średnik, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Funkcja jest rosnącą w przedziałach nawias, minus, nieskończoność, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Postać kanoniczna wygląda następująco f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka, plus, jeden. Przykład 2. Gdy a, równa się, osiem, b, równa się, zero, c, równa się, minus, osiem oraz d, równa się, osiem wzór funkcji opisuje równanie f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, osiem x, mianownik, minus, osiem x, plus, osiem, koniec ułamka. Wykres funkcji stanowi hiperbola o wierzchołkach w punktach nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu oraz nawias, dwa, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Asymptotę poziomą opisuje równanie y, równa się, jeden, natomiast pionową x, równa się, jeden. Dziedziną omawianej funkcji jest zbiór liczb nawias, minus, nieskończoność, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu natomiast zbiorem wartości funkcji nawias, minus, nieskończoność, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Miejsce zerowe to x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, zero, miejscem przecięcia wykresu z osią X jest punkt nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Funkcja jest malejąca w przedziałach nawias, minus, nieskończoność, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Postać kanoniczna wygląda następująco f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, plus, jeden. Przykład 3. Gdy a, równa się, minus, sześć, b, równa się, minus, trzy, c, równa się, trzy oraz d, równa się, trzy wzór funkcji opisuje równanie f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, sześć x, minus, trzy, mianownik, trzy x, plus, trzy, koniec ułamka. Wykres funkcji stanowi hiperbola o wierzchołkach w punktach nawias, minus, dwa, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu oraz nawias, zero, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Asymptotę poziomą opisuje równanie y, równa się, minus, dwa, natomiast pionową x, równa się, minus, jeden. Dziedziną omawianej funkcji jest zbiór liczb nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu natomiast zbiorem wartości funkcji nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, dwa, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Miejsce zerowe to x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, miejscem przecięcia wykresu z osią X jest punkt nawias, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Funkcja jest malejąca w przedziałach nawias, minus, nieskończoność, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Postać kanoniczna wygląda następująco f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, minus, dwa.
Narysuj wykres funkcji , opisz jej własności, a następnie korzystając z symulacji z Polecenia 1 sprawdź swoją odpowiedź.
Opisz jak narysować wykres funkcji .
Przekształcamy wzór funkcji do postaci kanonicznej:
następnie rysujemy wykres funkcji i przesuwamy o wektor .
Polecenie 3
R1X0WmaPYVXPP
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są: początek układu współrzędnych oraz punkty przecięcia wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy x, minus, sześć, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka z osiami układu współrzędnych wynosi Tu uzupełnij.
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są: początek układu współrzędnych oraz punkty przecięcia wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy x, minus, sześć, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka z osiami układu współrzędnych wynosi Tu uzupełnij.
Obliczamy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych:
z osią :
punkt:
z osią :
punkt:
RoVhn2x3iLl7h
Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią od minus jeden do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, który stanowi hiperbola. Asymptotę pionową opisuje równanie , natomiast poziomą . Gałęzie hiperboli przechodzą przez punkty oraz . Zacieniowano trójkąt prostokątny, którego wierzchołki stanowią punkty , B i C.
1
Polecenie 4
Rn51hhzlJMag2
Odpowiedz na pytania lub uzupełnij tekst. 1. Wzór F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, a x, plus, b, mianownik, c x, plus, d, koniec ułamka, c, nie równa się, zero, a d, minus, b c, nie równa się, zero to postać ogólna funkcji ...., 2. Wzór F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, r, mianownik, x, minus, p, koniec ułamka, plus, q to postać .... funkcji homograficznej., 3. Prosta x, równa się, pięć to ... wykresu funkcji F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, x, minus, pięć, koniec ułamka, plus, cztery, 4. Punkt nawias, pięć, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu jest ... symetrii wykresu funkcji F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, x, minus, pięć, koniec ułamka, plus, cztery, 5. Proste y, równa się, x, minus, jeden, y, równa się, minus, x, plus, dziewięć są osiami .... wykresu funkcji F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, x, minus, pięć, koniec ułamka, plus, cztery, 6. jjj, 7. Zbiór liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego to zbiór ..... funkcji F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, x, minus, pięć, koniec ułamka, plus, cztery, 8. Funkcja F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, x, minus, pięć, koniec ułamka, plus, cztery jest .... w każdym z przedziałów nawias, minus, nieskończoność, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, pięć, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. Zbiór liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego to .... funkcji F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, x, minus, pięć, koniec ułamka, plus, cztery
Odpowiedz na pytania lub uzupełnij tekst. 1. Wzór F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, a x, plus, b, mianownik, c x, plus, d, koniec ułamka, c, nie równa się, zero, a d, minus, b c, nie równa się, zero to postać ogólna funkcji ...., 2. Wzór F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, r, mianownik, x, minus, p, koniec ułamka, plus, q to postać .... funkcji homograficznej., 3. Prosta x, równa się, pięć to ... wykresu funkcji F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, x, minus, pięć, koniec ułamka, plus, cztery, 4. Punkt nawias, pięć, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu jest ... symetrii wykresu funkcji F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, x, minus, pięć, koniec ułamka, plus, cztery, 5. Proste y, równa się, x, minus, jeden, y, równa się, minus, x, plus, dziewięć są osiami .... wykresu funkcji F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, x, minus, pięć, koniec ułamka, plus, cztery, 6. jjj, 7. Zbiór liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego to zbiór ..... funkcji F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, x, minus, pięć, koniec ułamka, plus, cztery, 8. Funkcja F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, x, minus, pięć, koniec ułamka, plus, cztery jest .... w każdym z przedziałów nawias, minus, nieskończoność, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, pięć, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. Zbiór liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego to .... funkcji F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, x, minus, pięć, koniec ułamka, plus, cztery
