Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją pokazującą przykłady zastosowań twierdzenia Bézouta.

R1abZyRWds1UQ

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DLPnGvAFy

Film nawiązujący do przykładów zastosowań twierdzenia Bézouta.

Korzystając z metod zaprezentowanych w animacji rozwiąż następujące zadania:

Polecenie 2

Sprawdź, czy wielomian $W (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 14 x + 4$ jest podzielny przez dwumian $x + 3$ .

Wystarczy skorzystać z twierdzenia Bézouta i sprawdzić, czy $W (- 3) = 0$ .
$W (- 3) = - 27 - 18 + 42 + 4 = 1$ .
Wielomian $W (x)$ nie jest podzielny przez $x + 3$ .

Polecenie 3

Jednym z pierwiastków wielomianu $W (x) = x^{5} - 11 x^{4} - 25 x + 275$ jest liczba $11$ . Wyznacz wszystkie pierwiastki rzeczywiste tego wielomianu.

Z twierdzenia Bézouta wiemy, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez $x - 11$ .
Po wykonaniu dzielenia (możemy to zrobić różnymi sposobami, np. podzielić pisemnie, zastosować schemat Hornera bądź odpowiednio pogrupować) uzyskujemy
$W (x) = (x - 11) (x^{4} - 25)$ .
Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia (dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów) uzyskujemy zapis $W (x)$ w postaci iloczynowej:
$W (x) = (x - 11) (x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5}) (x^{2} + 5)$ .
Czynnik $x^{2} + 5$ jest nierozkładalny.
Wielomian ma zatem trzy pierwiastki rzeczywiste: $11$ , $\sqrt{5}$ i $- \sqrt{5}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się