Film samouczek

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone pod nim.

R1CMAF5xmNxCM

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DNDcPXJga

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący wyznaczania przedziałów monotoniczności funkcji.

Polecenie 2

RNuLSshDsooeT

Łączenie par. . Jeżeli

f^{'} (x) > 0

dla wszystkich lub prawie wszystkich

x \in (a, b)

, to funkcja

f

jest w tym przedziale malejąca.. Możliwe odpowiedzi: Tak, Nie. Sformułowanie "dla prawie wszystkich" oznacza dla wszystkich poza skończenie wieloma.. Możliwe odpowiedzi: Tak, Nie. Jeżeli

f^{'} (x) > 0

dla wszystkich lub prawie wszystkich

x \in (a, b)

, to funkcja

f

jest w tym przedziale rosnąca.. Możliwe odpowiedzi: Tak, Nie. Jeśli funkcja

f

w pewnym przedziale

(a, b)

jest malejąca i ma pochodną, to

f^{'} (x) ⩽ 0

dla każdego

x \in (a, b)

.. Możliwe odpowiedzi: Tak, Nie

Na podstawie informacji zawartych w filmie zaznacz prawidłową odpowiedź:

Zdanie	Tak	Nie
Jeżeli $f^{'} (x) > 0$ dla wszystkich lub prawie wszystkich $x \in (a, b)$ , to funkcja $f$ jest w tym przedziale malejąca.	□	□
Sformułowanie "dla prawie wszystkich" oznacza dla wszystkich poza skończenie wieloma.	□	□
Jeżeli $f^{'} (x) < 0$ dla wszystkich lub prawie wszystkich $x \in (a, b)$ , to funkcja $f$ jest w tym przedziale rosnąca.	□	□
Jeśli funkcja $f$ w pewnym przedziale $(a, b)$ jest malejąca i ma pochodną, to $f^{'} (x) ⩽ 0$ dla każdego $x \in (a, b)$ .	□	□

Polecenie 3

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 11$ .

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = ℝ$ .

Obliczymy pochodną funkcji:

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 18 x + 15 = 3 (x^{2} + 6 x + 5)$ , $D_{f^{'}} = D_{f}$ .

Funkcja $f$ jest rosnąca, jeśli $f^{'} (x) ⩾ 0$ oraz malejąca, gdy $f^{'} (x) ⩽ 0$ .

Zbadamy „znak” pochodnej analizując szkic pochodnej. Otrzymujemy

$f^{'} (x) = 3 (x^{2} + 6 x + 5) = 3 (x + 5) (x + 1)$ .

Rx3WOvwW590xM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus szesnastu do czternastu z podziałką co dwa oraz z pionową osią Y od minus dwunastu do ośmiu z podziałką co dwa. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w górę, której wierzchołek ma współrzędne nawias minus trzy przecinek minus dwanaście zamknięcie nawiasu. Miejsca zerowe funkcji mają współrzędne x równa się minus 5 oraz x równa się minus jeden. Przedziały od minus nieskończoności do minus pięć i od minus jeden do plus nieskończoności oznaczono plusami, gdyż funkcja przyjmuje w tym zbiorze wartości dodatnie. Przedział od minus pięć do minus jeden oznaczono minusem, gdyż funkcja przyjmuje w nim wartości ujemne.

Z wykresu pochodnej odczytujemy, że $f^{'} (x) ⩾ 0$ dla $x \in (- \infty, - 5⟩ \cup ⟨- 1, \infty)$ oraz $f^{'} (x) ⩽ 0$ dla $x \in ⟨- 5, - 1⟩$ .

Zatem funkcja rośnie w przedziałach $(- \infty, - 5⟩$ , $⟨- 1, \infty)$ oraz maleje w przedziale $⟨- 5, - 1⟩$ .

Przeczytaj

Sprawdź się