Przypomnijmy, że siatką wielościanu nazywamy przedstawienie wszystkich ścian wielościanu na płaszczyźnie w taki sposób, aby można było wyciąć z nich wielokąt, z którego po zgięciu wzdłuż krawędzi ścian powstanie ten wielościan.
Siatka graniastosłupasiatka graniastosłupaSiatka graniastosłupa składa się z dwóch rozłącznych ze sobą wielokątów będących podstawami tego graniastosłupa połączonych równoległobokami (w szczególnym przypadku są to prostokąty) stanowiącymi ściany boczne. W szczególnych przypadkach siatka graniastosłupa składa się z sześciu przystających czworokątów: siatka sześcianu składa się z sześciu przystających kwadratów, siatka rombościanu składa się z sześciu przystających rombów.
Przykład 1
Poniżej przedstawiamy różne siatki tego samego graniastosłupa prostego trójkątnego, w którego podstawie znajduje się trójkąt prostokątny o bokach , , , a wysokość graniastosłupa wynosi .
Rh2HLPOOBYzrg
RkYpY5oEupWtq
RVZ5yK0KSWYo1
Ilustracja 1 przedstawia siatkę graniastosłupa prostego trójkątnego. Zbudowana jest z kwadratu, dwóch prostokątów. Do jednego z prostokątów dołożone są dwa przystające trójkąty prostokątne.
Ilustracja 2 przedstawia siatkę graniastosłupa prostego trójkątnego. Zbudowana jest z kwadratu oraz dwóch różnych prostokątów. Do kwadratu oraz większego prostokąta dołożono przystające trójkąty prostokątne.
Ilustracja 3 przedstawia siatkę graniastosłupa prostego trójkątnego. Zbudowana jest z kwadratu, dwóch trójkątów przystających dołożonych do kwadratu oraz dwóch prostokątów różnej wielkości. Do przeciwprostokątnej trójkąta dołożono jeden prostokąt, a do jednej z przyprostokątnych tego samego trójkąta dołożono drugi mniejszy prostokąt.
R1McGjl6nImLD
Przykład 2
Poniżej dana jest siatka rombościanu (jedna kratka to jedna jednostka).
R1qSwkmkGPqNg
Obliczymy jego pole powierzchni.
Rozwiązanie
Zauważmy, że z pierwszego rombu od lewej możemy odczytać długości przekątnych ścian tego rombościanurombościanrombościanu. Mają one długość i .
Czyli pole powierzchni wynosi .
Mając siatkę graniastosłupa możemy również obliczyć objętość i długości odcinków w graniastosłupie, a także miary kątów pomiędzy odcinkami, odcinkami i płaszczyznami.
Przykład 3
W graniastosłupie, którego siatkę przedstawiamy poniżej, tangens jednego z kątów pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi wynosi . Obliczymy objętość tego graniastosłupa.
R5qJU9bI781zP
Rozwiązanie:
Jest to graniastosłup prosty, więc kąty liniowe kątów pomiędzy ścianami bocznymi są kątami w podstawie graniastosłupa.
Trójkąt w podstawie jest prostokątny, mamy więc . A zatem .
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta w podstawie graniastosłupa mamy: .
A stąd . Czyli przyprostokątne trójkąta w podstawie mają długość i , a wysokość .
Obliczmy zatem objętość tego graniastosłupa: .
Przykład 4
Dana jest siatka graniastosłupa czworokątnego (jedna kratka to jedna jednostka).
RnoDx47YvxYnp
Obliczymy długość przekątnej tego graniastosłupa.
Rozwiązanie:
Odcinek jest krótszą przekątną tego graniastosłupa.
Wysokość graniastosłupa wynosi . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że długość krótszej przekątnej podstawy wynosi .
Narysujemy model trójwymiarowy tego graniastosłupa:
R4Ay6ZrGbB624
Obliczamy długość odcinka z twierdzenia Pitagorasa: . A zatem .
Przykład 5
Mamy daną siatkę graniastosłupa prostego jak na rysunku (jedna kratka to jedna jednostka).
R1ZdIM3Rrkstj
Obliczymy miarę kąta nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.
Rozwiązanie:
Zauważmy, że krótsza przekątna podstawy ma długość (wynika to z twierdzenia Pitagorasa). Wysokość graniastosłupa wynosi . Narysujmy model trójwymiarowy tego graniastosłupa:
Ryi6Uk4HwQFmo
Zaznaczony kąt jest kątem nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy. Mamy więc . A stąd .
Przykład 6
Wyznaczymy wzór na objętość rombościanu o krawędzi długości i kącie ostrym ściany o mierze .
Rozwiązanie
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku
RBpoiFJovOBxl
Zauważmy, że , zatem:
W trójkącie : .
W trójkącie : .
W trójkącie : .
Zatem:
.
Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta: i mamy:
.
Wzór ten możemy przekształcić, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń oraz na sumę i różnicę cosinusów dwóch kątów:
co daje ostatecznie:
Słownik
siatka graniastosłupa
siatka graniastosłupa
przedstawienie wszystkich ścian graniastosłupa na płaszczyźnie w taki sposób, aby można było wyciąć z nich wielokąt, z którego po zgięciu wzdłuż krawędzi ścian powstanie ten graniastosłup
rombościan
rombościan
graniastosłup, którego wszystkie ściany są przystającymi rombami