W rozdziale poświęconym własnościom funkcji mówiliśmy o przesuwaniu wykresu funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych. Teraz wykorzystamy te wiadomości do przesuwania hiperboli.

Przykład 1

Narysuj wykres funkcji fx=3x+2.
Zauważmy, że do narysowania wykresu funkcji f możemy wykorzystać hiperbolę g(x)=3x. Jeśli przesuniemy ją o 2 wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres funkcji fx=3x+2.

R1Mutvvc7p3sW1
Animacja prezentuje okazuje wykres funkcji f(x) = 3 dzielone przez x +2. Aby narysować wykres tej funkcji f, należy narysować wykres funkcji g(x) =3 dzielone przez x, a następnie przesunąć go o dwie jednostki w górę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Na podstawie wykresu omówmy własności funkcji fx=3x+2.

  • Funkcja f jest określona dla wszystkich x0 (wykres funkcji nie przecina osi Oy).

  • Zbiorem wartości jest przedział -,22,+.

  • Miejscem zerowym funkcji jest x0=-32.

  • Funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów -,0 oraz 0,+.

  • Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów ze zbioru -,-320,+ oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału -32,0.

Przykład 2

Narysuj wykres funkcji fx=3x-4.
Podobnie jak poprzednio do narysowania wykresu funkcji f wykorzystamy hiperbolę gx=3x. Jeśli przesuniemy ją o 4 w prawo wzdłuż osi Ox, to otrzymamy wykres funkcji fx=3x-4.

RMmRtvU9vnepL1
Animacja ilustruje rysowanie wykresu funkcji f(x) =3 dzielone przez (x -4). Aby narysować wykres tej funkcji f, należy narysować wykres funkcji g(x) =3 dzielone przez x a następnie przesunąć go o cztery jednostki w prawo.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Na podstawie wykresu omówmy własności funkcji fx=3x-4.

  • Funkcja f jest określona dla argumentów z przedziału -,44,+.

  • Zbiorem wartości jest przedział -,00,+.

  • Funkcja nie ma miejsca zerowego.

  • Funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów -,4 oraz 4,+.

  • Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału 4,+ oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału -,4.

Przykład 3

Narysuj wykres funkcji fx=-3x-5-3.
Do narysowania tego wykresu wykorzystamy wykres funkcji gx=-3x i jego przesunięcie o 5 wzdłuż osi Ox-3 wzdłuż osi Oy.
Z wykresu możemy odczytać własności funkcji fx=-3x-5-3.

  • Funkcja f jest określona dla argumentów z przedziału -,55,+ .

  • Zbiorem wartości jest przedział -,-3-3,+.

  • Miejscem zerowym funkcji jest x0=4.

  • Funkcja f jest rosnąca w każdym z przedziałów -,5 oraz 5,+.

  • Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału 4,5 oraz wartości ujemne dla argumentów ze zbioru -,45,+.

Przykład 4
R108TPPLAqwtS1
Animacja prezentuje różne hiperbole f(x). Należy tak przesunąć wykres funkcji f, aby otrzymać wykres funkcji g o danej dziedzinie funkcji oraz danym zbiorze wartości funkcji.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iD72UsX2V7_d5e199
A
Ćwiczenie 1

Sprawdź, który z punktów A=4,32, B=332, 2, C=-332,-34  należy do wykresu funkcji fx=23x.

A
Ćwiczenie 2

Wyznacz współczynnik a tak, aby do wykresu funkcji fx=ax należał punkt o współrzędnych

  1. -4,2

  2. 412,-13

  3. -34,-827 

  4. 25,1100

  5. 33,-133

A
Ćwiczenie 3

Naszkicuj wykres funkcji fx=-5x+3-5. Określ, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości nieujemne.

A
Ćwiczenie 4

Naszkicuj wykres funkcji fx=6x+3. Określ jej dziedzinę i zbiór wartości. Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od 6?

A
Ćwiczenie 5

Określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji f opisanej wzorem

  1. fx=-2x+12-1

  2. fx=41x-5+23

  3. fx=-7x-8-15

  4. fx=-25x+2+18

  5. fx=5x-2-5

A
Ćwiczenie 6

Funkcja f opisana jest wzorem fx= 17x-34+54. Wyznacz wartość m, dla której funkcja f nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu =m.

A
Ćwiczenie 7

Wyznacz takie wartości liczby p, dla których punkt A=4,12 należy do wykresu funkcji fx=-12x-p2.