$a$, $aq$, $a{q}^2$, $a{q}^3$ – szukane liczby

Zapisujemy równania wynikające z treści zadania.

$aq+a{q}^2=18\Rightarrow a=\frac{18}{q+q^2}$, bo $q\ne 0$ i $q\ne -1$

$a+aq+ a{q}^2+a{q}^3=45$

Do drugiego równania wstawiamy za $aq+a{q}^2$ liczbę $18$.

$a+18+a{q}^3=45$

$a+a{q}^3=27$

$a\left(1+q^3\right)=27$

$a=\frac{27}{1+q^3}$

Porównujemy wyrażenia określające liczbę $a$.

$\frac{18}{q+q^2}=\frac{27}{1+q^3}$

Rozwiązujemy otrzymane równanie.

$2q^3-3q^2-3q+2=0$

$2·\left(q+1\right)\left(q^2-q+1\right)-3q\left(q+1\right)=0$

$\left(q+1\right)\left(2q^2-5q+2\right)=0$

$q=-1$ lub $q=\frac{1}{2}$ lub $q=2$

Dla $q=-1$ otrzymujemy ciąg naprzemienny – nie wszystkie liczby są naturalne (na początku rozwiązania od razu zauważyliśmy, że iloraz ciągu nie  może być                   równy -1).

Dla $q=\frac{1}{2}$ lub $q=2$ otrzymujemy te same liczby, ale zapisane w odwrotnej kolejności.

Odpowiedź:

$45=3+6+12+24$, szukane liczby to $3$, $6$, $12$, $24$.