Slajd pierwszy. Przyjrzyjmy się wykresom funkcji f i h przedstawionym na rysunkach i spróbujmy zastanowić się, czym charakteryzują się punkty A i B. Na ilustracji widać dwa układy współrzędnych. Dwa obok siebie. Układy mają poziomą oś X od minus trzech do trzech i pionową oś Y od minus dwa do cztery. W pierwszym od lewej układzie widać wykres funkcji f będący w kształcie fali. Wykres zaczyna się w minus nieskończoności, przecina oś X na przedziale $\left(-2;-1\right)$. Następnie w punkcie A o współrzędnych $\left(-0,5;2,5\right)$ wykres funkcji zmienia swój zwrot, przechodzi przez punkt $\left(0;1\right)$ i w punkcie o współrzędnych w pobliżu punktu $\left(0,5;-0,5\right)$ zmienia swój zwrot. Przecina oś X na przedziale $\left(0,5;1\right)$ i biegnie do nieskończoności. Drugi wykres to wykres funkcji h. Wykres funkcji ma nieregularny kształt. Na przedziale $\left(-3;0\right)$ od minus nieskończoności do punktu $\left(0;2\right)$ funkcja ma kształt łuku, następnie łukiem zmierza do punktu B o współrzędnych $\left(1;1\right)$. W tym punkcie wykres funkcji zmienia zwrot i zaczyna dążyć do plus nieskończoności. Slajd drugi. Ilustracja pozostaje ta sama. Napis: Każda z tych funkcji ma ekstremum odpowiednio w punktach A i B. Pierwsza z nich jest w punkcie A różniczkowalna i ma w nim również ekstremum. Druga nie jest w punkcie B różniczkowalna, ale ma w nim ekstremum. Slajd trzeci. Ilustracja wykresu funkcji f. Narysowana równoległa linia do osi X przechodząca przez punkt A. Napis: Poprowadzona styczna do wykresu funkcji f w punkcie A to styczna, która jest równoległa do osi X. Slajd czwarty. Ilustracja wykresu funkcji f. Narysowana równoległa linia do osi X przechodząca przez punkt A. Dodano napis na ilustracji $f\text{'}\left(x_0\right)=0$. Napis: Łatwo zauważyć, że w punktach, w których funkcja osiąga swoje ekstrema styczna do krzywej jest funkcją stałą. Wynika z tego, że jej współczynnik kierunkowy, który jest równy wartości pochodnej w tym punkcie jest równy zeru. Slajd piąty. Ilustracja pozostaje ta sama. Napis: Jest tak zawsze, gdy funkcja ma ekstremum w jakimś punkcie i jest w tym punkcie różniczkowalna. Tak więc przy pomocy warunku znikania pochodnej w danym punkcie można znajdować punkty, w których funkcja ma ekstremum. Slajd szósty. Na ilustracji widać twierdzenie warunek konieczny istnienia ekstremum. Treść twierdzenia. Jeśli funkcja f ma ekstremum w punkcie x indeks dolny zero koniec indeksu dolnego i jest w tym punkcie różniczkowalna, to $f\text{'}\left(x_0\right)=0$. Napis: Możemy zatem sformułować następujące twierdzenie o warunku koniecznym istnienia ekstremum funkcji. Slajd siódmy. Ilustracja pozostaje ta sama. Napis: Zgodnie z tym twierdzeniem rozwiązując równanie $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ znajdziemy wszystkie punkty, w których funkcja f może (ale nie musi)mieć ekstremum. Punkty te nazywamy punktami stacjonarnymi. Slajd ósmy. Ilustracja pozostaje ta sama. Napis: Podsumowując, twierdzenie orzeka, że warunkiem koniecznym na to, aby funkcja różniczkowalna w punkcie x indeks dolny zero koniec indeksu dolnego miała w tym punkcie ekstremum jest to, aby liczba x indeks dolny zero koniec indeksu dolnego była miejscem zerowym pochodnej rozpatrywanej funkcji. Podkreślamy tu, że ten warunek dotyczy tylko funkcji różniczkowalnych. Slajd dziewiąty. Na ilustracji widać układ współrzędnych z poziomą osią od minus trzech do trzech i pionową osią Y od minus dwóch do czterech. W układzie narysowano wykres funkcji g będący w kształcie litery v. Zwrot wykresu funkcji jest w punkcie $\left(0;0\right)$. Napis: Mamy na przykład funkcję określoną wzorem $g\left(x\right)=\left|x\right|$. Popatrzmy na jej wykres. Ma ona w punkcie x indeks dolny zero koniec indeksy dolnego równa się zero minimum, chociaż nie jest w tym punkcie różniczkowalna. Należy pamiętać, że warunek sformułowany w twierdzeniu nie jest warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum funkcji, tzn. nie jest prawdziwa implikacja odwrotna do tego twierdzenia. Slajd dziesiąty. Na ilustracji widać trzy układy współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do czterech i pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Układy są położone jeden obok drugiego. Na wszystkich trzech są narysowane wykresy funkcji f. Na pierwszym z nich jest wykres funkcji będący parabolą o wierzchołku w punkcie $\left(1;5\right)$ z ramionami skierowanymi do dołu. Drugi wykres jest także parabolą o wierzchołku w punkcie $\left(1;1\right)$ z ramionami skierowanymi ku górze. Trzeci wykres funkcji to wykres funkcji wielomianowej. Biegnie od minus nieskończoności do punktu $\left(1;1\right)$ w którym się wypłaszcza i dalej biegnie do plus nieskończoności. Napis: Na koniec przeanalizujemy wykresy funkcji przedstawionych na rysunku. Zauważmy, że wszystkie funkcje mają w punkcie x indeks dolny zero koniec indeksu dolnego równa się jeden pochodną równą zeru (styczna do wykresu funkcji w punkcie x indeks dolny zero koniec indeksu dolnego równa się jeden jest równoległa do osi X), ale tylko dwie pierwsze funkcje posiadają ekstremum w tym punkcie.