Jeśli funkcja $f\left(x\right)$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0$ i ma w tym punkcie ekstremum, to

Sprawdzimy, w którym z punktów: $x_1=-2$, $x_2=0$, $x_3=1$, $x_4=3$ funkcja $f\left(x\right)=x^5-\frac{5}{4}{x}^4$ może mieć ekstremum, a w którym na pewno nie ma.

Rozwiązanie:

Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $\mathrm{ℝ}$. Jej pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=5x^4-5x^3$.

Na mocy pierwszego twierdzenia o warunku koniecznym istnienia ekstremum, funkcja różniczkowalnafunkcja różniczkowalnafunkcja różniczkowalna $f\left(x\right)$ może mieć ekstremum w punkcie, wtedy i tylko, gdy jej pochodna jest w tym punkcie równa zeru.

Sprawdźmy, kiedy pochodna $f\text{'}\left(x\right)=0$. Otrzymujemy kolejno:

$f\text{'}\left(x\right)=0$, gdy $5x^4-5x^3=0$, czyli $x=0$ lub $x=1$.

Stąd rozważana funkcja $f\left(x\right)$ może mieć (ale nie musi) ekstremum tylko w punktach $x_2=0$, $x_3=1$, a na pewno nie ma ich w punktach $x_1=-2$, $x_4=3$.

Sprawdzimy w jakich punktach funkcja $f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x^2+1}$ mogłaby mieć ekstremum.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór $\mathrm{ℝ}$. Funkcja $f\left(x\right)$ jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x\left(1+x^2\right)-2x\left(x^2-4\right)}{{\left(1+x^2\right)}^2}=\frac{10x}{{\left(1+x^2\right)}^2}$.

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f\text{'}\left(x\right)=0$. Otrzymujemy kolejno:

$f\text{'}\left(x\right)=0$, gdy $\frac{10x}{{\left(1+x^2\right)}^2}=0$, czyli $10x=0$, stąd $x=0$.

Punkt $x=0$ jest punktem stacjonarnym, czyli takim w którym funkcja $f$ może (ale nie musi) mieć ekstremum.

Uzasadnimy, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{4}{x^2}$ nie ma ekstremum.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Funkcja $f\left(x\right)$ jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=\frac{-8}{x^3}\ne 0$ dla każdego argumentu ze zbioru $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Zatem nie jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji, czyli nie ma takiego punktu $x_0\in D_f$, dla którego pochodna $f\text{'}\left(x_0\right)=0$.

Stąd rozważana funkcja $f$ nie ma ekstremum.

Sprawdzimy, dla jakiego parametru $a$ funkcja $f\left(x\right)=2x^3-4x^2+2ax$ nie ma punktów stacjonarnych.

Rozwiązanie:

Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $\mathrm{ℝ}$.

Jej pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=2\left(3x^2-4x+a\right)$.

Na mocy Twierdzenia o warunku koniecznym istnienia ekstremum funkcji wiemy, że funkcja nie ma punktów stacjonarnych, wtedy i tylko wtedy, gdy $f\text{'}\left(x\right)\ne 0$. Otrzymujemy kolejno

$f\text{'}\left(x\right)\ne 0$, gdy $2\left(3x^2-4x+a\right)\ne 0$, czyli $\Delta <0$,

$\Delta =16-12a<0$, wtedy i tylko wtedy, gdy $a\in \left(\frac{4}{3}, \infty \right)$.

Zatem rozważana funkcja $f$ nie posiada punktów stacjonarnych dla $a\in \left(\frac{4}{3}, \infty \right)$.

Znajdziemy te wartości parametru $m\in \mathrm{ℝ}$, dla których funkcja $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}\left(m+2\right)x^2+\left(\frac{1}{2}{m}^2-\frac{3}{2}m+5\right)x-3m+2$ ma dwa punkty stacjonarne.

Rozwiązanie:

Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $\mathrm{ℝ}$.

Jej pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=x^2+\left(m+2\right)x+\frac{1}{2}{m}^2-\frac{3}{2}m+5$.

Na mocy Twierdzenia o warunku koniecznym istnienia ekstremum funkcji wiemy, że funkcja ma punkty stacjonarne, wtedy i tylko wtedy, gdy $f\text{'}\left(x\right)=0$.

Mamy zatem $x^2+\left(m+2\right)x+\frac{1}{2}{m}^2-\frac{3}{2}m+5=0$.

Z warunków zadania wynika, że równanie to ma mieć dwa rozwiązania, czyli $\Delta >0$. Otrzymujemy kolejno

$\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4\left(\frac{1}{2}{m}^2-\frac{3}{2}m+5\right)=-m^2+10m-16>0$.

Stąd $m\in \left(2, 8\right)$.

R18f2ILGn2OV3

W aplecie zamieszczono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwadzieścia do dwadzieścia oraz z pionową osią Y od minus osiemdziesięciu do dwudziestu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji wielomianowej podanej w treści zadania dla parametru m równego jeden. Poniżej układu współrzędnych znajduje się suwak, czyli poziomy odcinek, a na nim znajduje się punkt. Punktem można manewrować po całej długości odcinka, zmieniając wartość danego parametru m przypisanego do suwaka. Możemy zmieniać tu wartości od zera (punkt przesuwamy najbardziej na lewo) do dziesięciu (punkt przesuwamy najbardziej na prawo) z krokiem o jedną dziesiątą. Przedstawimy teraz kilka przykładów. Przykład 1. Ustawiamy suwak dla m równego zero. Wówczas na układzie współrzędnych będzie zaznaczony wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+5x+$ bez żadnego zaznaczonego punktu stacjonarnego. Przykład 2. Ustawiamy suwak dla m równego sześć. Wówczas na układzie współrzędnych będzie zaznaczony wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+4x^2-4x-16$ z zaznaczonymi dwoma punktami stacjonarnymi.

W aplecie zamieszczono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwadzieścia do dwadzieścia oraz z pionową osią Y od minus osiemdziesięciu do dwudziestu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji wielomianowej podanej w treści zadania dla parametru m równego jeden. Poniżej układu współrzędnych znajduje się suwak, czyli poziomy odcinek, a na nim znajduje się punkt. Punktem można manewrować po całej długości odcinka, zmieniając wartość danego parametru m przypisanego do suwaka. Możemy zmieniać tu wartości od zera (punkt przesuwamy najbardziej na lewo) do dziesięciu (punkt przesuwamy najbardziej na prawo) z krokiem o jedną dziesiątą. Przedstawimy teraz kilka przykładów. Przykład 1. Ustawiamy suwak dla m równego zero. Wówczas na układzie współrzędnych będzie zaznaczony wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+5x+$ bez żadnego zaznaczonego punktu stacjonarnego. Przykład 2. Ustawiamy suwak dla m równego sześć. Wówczas na układzie współrzędnych będzie zaznaczony wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+4x^2-4x-16$ z zaznaczonymi dwoma punktami stacjonarnymi.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DardqW9ID

funkcję nazywamy różniczkowalną jeśli ma pochodną w każdym punkcie dziedziny