Slajd pierwszy. Przyjrzyjmy się wykresom funkcji f i h przedstawionym na rysunkach i spróbujmy zastanowić się, czym charakteryzują się punkty A i B. Na ilustracji widać dwa układy współrzędnych. Dwa obok siebie. Układy mają poziomą oś X od minus trzech do trzech i pionową oś Y od minus dwa do cztery. W pierwszym od lewej układzie widać wykres funkcji f będący w kształcie fali. Wykres zaczyna się w minus nieskończoności, przecina oś X na przedziale nawias, minus, dwa, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Następnie w punkcie A o współrzędnych nawias, minus, zero przecinek pięć, średnik, dwa przecinek pięć, zamknięcie nawiasu wykres funkcji zmienia swój zwrot, przechodzi przez punkt nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu i w punkcie o współrzędnych w pobliżu punktu nawias, zero przecinek pięć, średnik, minus, zero przecinek pięć, zamknięcie nawiasu zmienia swój zwrot. Przecina oś X na przedziale nawias, zero przecinek pięć, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu i biegnie do nieskończoności. Drugi wykres to wykres funkcji h. Wykres funkcji ma nieregularny kształt. Na przedziale nawias, minus, trzy, średnik, zero, zamknięcie nawiasu od minus nieskończoności do punktu nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu funkcja ma kształt łuku, następnie łukiem zmierza do punktu B o współrzędnych nawias, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. W tym punkcie wykres funkcji zmienia zwrot i zaczyna dążyć do plus nieskończoności. Slajd drugi. Ilustracja pozostaje ta sama. Napis: Każda z tych funkcji ma ekstremum odpowiednio w punktach A i B. Pierwsza z nich jest w punkcie A różniczkowalna i ma w nim również ekstremum. Druga nie jest w punkcie B różniczkowalna, ale ma w nim ekstremum. Slajd trzeci. Ilustracja wykresu funkcji f. Narysowana równoległa linia do osi X przechodząca przez punkt A. Napis: Poprowadzona styczna do wykresu funkcji f w punkcie A to styczna, która jest równoległa do osi X. Slajd czwarty. Ilustracja wykresu funkcji f. Narysowana równoległa linia do osi X przechodząca przez punkt A. Dodano napis na ilustracji f prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, zero. Napis: Łatwo zauważyć, że w punktach, w których funkcja osiąga swoje ekstrema styczna do krzywej jest funkcją stałą. Wynika z tego, że jej współczynnik kierunkowy, który jest równy wartości pochodnej w tym punkcie jest równy zeru. Slajd piąty. Ilustracja pozostaje ta sama. Napis: Jest tak zawsze, gdy funkcja ma ekstremum w jakimś punkcie i jest w tym punkcie różniczkowalna. Tak więc przy pomocy warunku znikania pochodnej w danym punkcie można znajdować punkty, w których funkcja ma ekstremum. Slajd szósty. Na ilustracji widać twierdzenie warunek konieczny istnienia ekstremum. Treść twierdzenia. Jeśli funkcja f ma ekstremum w punkcie x indeks dolny zero koniec indeksu dolnego i jest w tym punkcie różniczkowalna, to f prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, zero. Napis: Możemy zatem sformułować następujące twierdzenie o warunku koniecznym istnienia ekstremum funkcji. Slajd siódmy. Ilustracja pozostaje ta sama. Napis: Zgodnie z tym twierdzeniem rozwiązując równanie f prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, zero znajdziemy wszystkie punkty, w których funkcja f może (ale nie musi)mieć ekstremum. Punkty te nazywamy punktami stacjonarnymi. Slajd ósmy. Ilustracja pozostaje ta sama. Napis: Podsumowując, twierdzenie orzeka, że warunkiem koniecznym na to, aby funkcja różniczkowalna w punkcie x indeks dolny zero koniec indeksu dolnego miała w tym punkcie ekstremum jest to, aby liczba x indeks dolny zero koniec indeksu dolnego była miejscem zerowym pochodnej rozpatrywanej funkcji. Podkreślamy tu, że ten warunek dotyczy tylko funkcji różniczkowalnych. Slajd dziewiąty. Na ilustracji widać układ współrzędnych z poziomą osią od minus trzech do trzech i pionową osią Y od minus dwóch do czterech. W układzie narysowano wykres funkcji g będący w kształcie litery v. Zwrot wykresu funkcji jest w punkcie nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Napis: Mamy na przykład funkcję określoną wzorem g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej. Popatrzmy na jej wykres. Ma ona w punkcie x indeks dolny zero koniec indeksy dolnego równa się zero minimum, chociaż nie jest w tym punkcie różniczkowalna. Należy pamiętać, że warunek sformułowany w twierdzeniu nie jest warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum funkcji, tzn. nie jest prawdziwa implikacja odwrotna do tego twierdzenia. Slajd dziesiąty. Na ilustracji widać trzy układy współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do czterech i pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Układy są położone jeden obok drugiego. Na wszystkich trzech są narysowane wykresy funkcji f. Na pierwszym z nich jest wykres funkcji będący parabolą o wierzchołku w punkcie nawias, jeden, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu z ramionami skierowanymi do dołu. Drugi wykres jest także parabolą o wierzchołku w punkcie nawias, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu z ramionami skierowanymi ku górze. Trzeci wykres funkcji to wykres funkcji wielomianowej. Biegnie od minus nieskończoności do punktu nawias, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu w którym się wypłaszcza i dalej biegnie do plus nieskończoności. Napis: Na koniec przeanalizujemy wykresy funkcji przedstawionych na rysunku. Zauważmy, że wszystkie funkcje mają w punkcie x indeks dolny zero koniec indeksu dolnego równa się jeden pochodną równą zeru (styczna do wykresu funkcji w punkcie x indeks dolny zero koniec indeksu dolnego równa się jeden jest równoległa do osi X), ale tylko dwie pierwsze funkcje posiadają ekstremum w tym punkcie.