Kątem wpisanym w okrąg nazywamy kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a jego ramionami są półproste zawierające dwie cięciwy tego okręgu.

RjLABXAbrMsYG1

Rysunek okręgu o środku w punkcie S. Na okręgu leżą punkty A, B i C. Zaznaczony kąt wpisany A B C (ostry), równy alfa, oparty na łuku AC okręgu. Pomiędzy punktami A i C zaznaczono łuk okręgu.

RmUYIESeMsEyB1

Rysunek okręgu o środku w punkcie S. Na okręgu leżą punkty A, B i C. Zaznaczony kąt wpisany A B C (rozwarty), równy alfa, oparty na łuku AC okręgu. Pomiędzy punktami A i C zaznaczono łuk okręgu.

Punkty $A$ i $C$ wyznaczają dwa łuki na okręgu. Mówimy, że kąt wpisany $\alpha$ jest oparty na łuku $\mathrm{AC}$, mając na myśli łuk zaznaczony na rysunku, na którym nie leży wierzchołek $B$ (łuk zawarty w kącie $\mathrm{ABC}$). Czasem mówimy też, że kąt $\alpha$ jest oparty na cięciwie $\mathrm{AC}$.

Kątem środkowym okręgu nazywamy kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu.

RPgvZ0Zo6p0nE1

Rysunek okręgu o środku w punkcie S. Na okręgu leżą punkty A i C. Zaznaczony kąt środkowy A S C (rozwarty), równy alfa, oparty na łuku AC okręgu. Pomiędzy punktami A i C zaznaczono łuk okręgu.

RIgTw3FgTFLvd1

Rysunek okręgu o środku w punkcie S. Na okręgu leżą punkty A i C. Zaznaczony kąt środkowy A S C (wklęsły), równy alfa, oparty na łuku AC okręgu. Pomiędzy punktami A i C zaznaczono łuk okręgu.

Mówimy, że kąt środkowy $\alpha$ jest oparty na łuku $\mathrm{AC}$, mając na myśli łuk zaznaczony na rysunku.

• W przypadku kątów mniejszych niż $180°$ kąt środkowy jest oparty na krótszym z łuków $\mathrm{AC}$.

• W przypadku kątów większych niż $180°$ kąt środkowy oparty jest na dłuższym z łuków $\mathrm{AC}$.

• W przypadku kąta równego $180°$ kąt środkowy oparty jest na półokręgu.

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

W $I$ w. p.n.e. rzymski architekt Witruwiusz zaproponował sposób pomiaru odległości drogowych, wykorzystujący poruszający się rydwan. Koło takiego rydwanu miało promień $\mathrm{0,6}\mathrm{ m}$. Na pokonanie jednej mili rzymskiej $\left(1400\mathrm{ m}\right)$ musiało wykonać $400$ obrotów.

ROAIaHA0MV0mK1

Rysunek rydwanu.

Oblicz wartość liczby $\pi$, przyjmowaną przez Witruwiusza.
Odpowiedź.

Średnica kółka do deskorolki jest równa $50\mathrm{ mm}$. Obliczymy, ile razy obróci się to kółko na drodze długości $1\mathrm{ m}$.
Obliczamy długość drogi, jaką pokona kółko podczas jednego obrotu, czyli obwód kółka.

Zamieniamy metr na milimetry.

Obliczamy, ile razy obróci się kółko.

Kółko obróci się około $6$ razy.

Koniec dużej wskazówki zegara w ciągu godziny pokonał drogę długości $\mathrm{94,2}\mathrm{ cm}$. Obliczymy przybliżoną długość tej wskazówki.
Oznaczmy przez $x$ długość (w $\mathrm{cm}$) dłuższej wskazówki zegara i skorzystajmy ze wzoru na obwód koła.

Wskazówka ma około $15\mathrm{ cm}$ długości.
Wynik obliczeń związanych z długością okręgu często musi być dokładny.

Obliczymy długość okręgu o promieniu $9\mathrm{ cm}$.
Korzystamy ze wzoru na długość okręgu, tym razem nie zastępując liczby $\pi$ jej wartością przybliżoną.

Długość okręgu jest równa $18\mathrm{\pi cm}$.
Wiemy już, że w każdy trójkąt można wpisać okrąg i na każdym trójkącie można opisać okrąg.
Jeśli trójkąt jest równoboczny, to promień okręgu wpisanego w ten trójkąt stanowi $\frac{1}{3}$ wysokości trójkąta. Natomiast promień okręgu opisanego jest równy $\frac{2}{3}$ wysokości trójkąta.

RpPl1aO8oJ6CG1

Rysunek trójkąta równobocznego o boku a. Na trójkącie opisany jest okrąg o promieniu R i jednocześnie w trójkąt wpisany jest okrąg o promieniu r.

Długość okręgu jest równa $4\pi \sqrt{3}$. Na okręgu tym opisano trójkąt równoboczny. Oblicz obwód tego trójkąta.

R12kdoTHdcdk61

Rysunek trójkąta równobocznego o boku a, w który wpisany jest okrąg o promieniu r.

Oznaczmy
$r$ - promień okręgu
$a$ - długość boku trójkąta
$h$ - wysokość trójkąta
Obliczamy promień okręgu, korzystając z tego, że długość okręgu jest równa $4\pi \sqrt{3}$.

Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, można zapisać $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Natomiast promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy $\frac{1}{3}h$. Zatem

Porównujemy uzyskane liczby i wyznaczamy długość boku trójkąta.

W trójkącie równobocznym wszystkie boki są równe. Możemy już obliczyć obwód trójkąta.

Obwód trójkąta jest równy $36$.

Punkty $A,\mathrm{ B},\mathrm{ D}$ leżą na okręgu o środku w punkcie $C$. Kąt wpisany w okrąg, oparty na cięciwie $\mathrm{AB}$, tak jak na rysunku, ma miarę $30°$. Obwód trójkąta $\mathrm{ABC}$ jest równy $6$. Wykaż, że długość tego okręgu jest większa od $\mathrm{12,5}$.

RW6Hn37ZXLnOd1

Rysunek okręgu o środku w punkcie C. Na okręgu leżą punkty A, B i D. Zaznaczony kąt wpisany A D B, oparty na łuku AB, ma miarę 30 stopni.

Kąt $\mathrm{ACB}$ jest kątem środkowym, opartym na tym samym łuku co kąt $\mathrm{ADB}$. Zatem jego miara jest dwa razy większa od miary kąta $\mathrm{ADB}$.

Trójkąt $\mathrm{ACB}$ jest trójkątem równoramiennym, w którym kąt między ramionami ma miarę $60°$. Zatem każdy z pozostałych kątów też jest równy $60°$. Trójkąt jest więc równoboczny i długość jego boku jest równa promieniowi okręgu.
Zatem promień okręgu jest równy $6:3=2$, a długość okręgu wynosi

Ponieważ $\mathrm{12,56}>\mathrm{12,5}$, zatem długość okręgu jest większa od $\mathrm{12,5}$, co należało wykazać.