Prezentacja multimedialna. Przykład 1. Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{5x+3}{-2x+4}$. Przekształcamy wzór funkcji do postaci kanonicznej w następujący sposób. Przepisujemy wzór funkcji f. Następnie w liczniku wyłączamy przed nawias 5, a w mianowniku minus dwa. Zapisujemy. $\frac{5\left(x+{\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}{-2\left(x-2\right)}$. Liczbę, przez którą pomnożony jest ułamek możemy umiejscowić w liczniku ułamka, gdyż wartość ułamka nie zmieni się. Zapisujemy więc, $\frac{-{\displaystyle \frac{5}{2}}\left(x+{\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}{x-2}$. W liczniku wykonujemy mnożenie. Otrzymujemy $\frac{-{\displaystyle \frac{5}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{5}}}{x-2}$. Przekształcamy odpowiednio licznik ułamka. Otrzymujemy $\frac{-{\displaystyle \frac{5}{2}}\left(x-2\right)-5-{\displaystyle \frac{3}{2}}}{x-2}$. Następnie ułamek zapisujemy w postaci sumy ułamków o takim samym mianowniku x, minus, dwa. $\frac{-{\displaystyle \frac{5}{2}}\left(x-2\right)}{x-2}-\frac{6{\displaystyle \frac{1}{2}}}{x-2}$. Skracamy pierwszy ułamek sumy. Otrzymujemy $-\frac{5}{2}-\frac{6{\displaystyle \frac{1}{2}}}{x-2}$. Suma jest przemienna, więc możemy zamienić ułamki miejscami. $-\frac{6{\displaystyle \frac{1}{2}}}{x-2}-\frac{5}{2}$. Podsumowując. $g\left(x\right)=-\frac{6{\displaystyle \frac{1}{2}}}{x}\stackrel{v=\left[2;-\frac{5}{2}\right]}{\to }f\left(x\right)=-\frac{6{\displaystyle \frac{1}{2}}}{x-2}-\frac{5}{2}$. Zatem wykres funkcji f powstaje w wyniku przesunięcia, translacji, wykresu funkcji g o wektor v. Wykres funkcji postaci $g\left(x\right)=\frac{a}{x}$ posiada asymptoty o równaniach $x=0$ oraz $y=0$. Wraz z przesunięciem wykresu, przesuwają się również asymptoty, zatem wykres funkcji f będzie miał asymptoty o równaniach $x=2$ oraz $y=-\frac{5}{2}$. Przykład 2. Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}$. Przekształcamy wzór funkcji do postaci kanonicznej w następujący sposób. Przepisujemy wzór funkcji f. Następnie w liczniku i w mianowniku ułamka wyłączamy przed nawias współczynniki znajdujące się przed x. Zapisujemy więc $\frac{a\left(x+{\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}{c\left(x+{\displaystyle \frac{d}{c}}\right)}$. Liczbę, przez którą pomnożony jest ułamek możemy umiejscowić w liczniku ułamka, gdyż wartość ułamka nie zmieni się. Zatem, $\frac{{\displaystyle \frac{a}{c}}\left(x+{\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}{x+{\displaystyle \frac{d}{c}}}$. Następnie w liczniku wykonujemy mnożenie. Otrzymujemy $\frac{{\displaystyle \frac{a}{c}}x+{\displaystyle \frac{b}{c}}}{x+{\displaystyle \frac{d}{c}}}$. Następnie mianownik ułamka mnożymy przez współczynnik występujący przed x i otrzymane wyrażenie uzupełniamy tak, aby wartość licznika nie uległa zmianie. $\frac{{\displaystyle \frac{a}{c}}\left(x+{\displaystyle \frac{d}{c}}\right)-{\displaystyle \frac{ad}{c^2}}+{\displaystyle \frac{b}{c}}}{x+{\displaystyle \frac{d}{c}}}$. Ułamek zapisujemy w postaci sumy ułamków o takim samym mianowniku. Zatem, $\frac{{\displaystyle \frac{a}{c}}\left(x+{\displaystyle \frac{d}{c}}\right)}{x+{\displaystyle \frac{d}{c}}}+\frac{-{\displaystyle \frac{ad}{c^2}}+{\displaystyle \frac{b}{c}}}{x+{\displaystyle \frac{d}{c}}}$. Następnie skracamy pierwszy ułamek sumy. Otrzymujemy $\frac{a}{c}+\frac{-{\displaystyle \frac{ad}{c^2}}+{\displaystyle \frac{b}{c}}}{x+{\displaystyle \frac{d}{c}}}$. Suma jest przemienna, więc możemy zamienić ułamki miejscami. Zapisujemy więc $\frac{-{\displaystyle \frac{ad}{c^2}}+{\displaystyle \frac{b}{c}}}{x+{\displaystyle \frac{d}{c}}}+\frac{a}{c}$. Podsumowując. $g\left(x\right)=\frac{-{\displaystyle \frac{ad}{c^2}}+{\displaystyle \frac{b}{c}}}{x}\stackrel{v=\left[-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right]}{\to }f\left(x\right)=\frac{-{\displaystyle \frac{ad}{c^2}}+{\displaystyle \frac{b}{c}}}{x+{\displaystyle \frac{d}{c}}}+\frac{a}{c}=\frac{ax+b}{cx+d}$. Zatem wykres funkcji f powstaje w wyniku przesunięcia, translacji, wykresu funkcji g o wektor v. Wykres funkcji postaci $g\left(x\right)=\frac{a}{x}$ posiada asymptoty o równaniach $x=0$ oraz $y=0$. Wraz z przesunięciem wykresu, przesuwają się również asymptoty, zatem wykres funkcji f będzie miał asymptoty o równaniach $x=-\frac{d}{c}$ oraz $y=\frac{a}{c}$.