Sprawdź czy granica lewo i prawostronna podanej funkcji dla $x=1$ jest taka sama. Jeśli tak - funkcja jest ciągła. Narysuj podaną funkcję i określ wartość największą i najmniejszą na zadanym przedziale.

Zaczniemy od sprawdzenia ciągłości podanej funkcji w punkcie $x=1$. Policzymy granice lewostronną i prawostronną w punkcie $x=1$. Zatem

$\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=1^2+3=4=f\left(x\right)$

oraz

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=3+1=4=f\left(x\right)$.

Stąd wynika, że funkcja jest ciągła na przedziale $⟨-1,3⟩$, można korzystać z twierdzenia Weierstrassa. Rozpoczniemy analizę pierwszej części funkcji dla $x\in ⟨-1,1⟩$.

Liczymy współrzędne wierzchołka $p$ i sprawdzamy, czy należy do przedziału. Łatwo zauważyć, że $p=0$ oraz $q=3$, czyli $p\in ⟨-1,1⟩$. Zatem kresem dolnym tego przedziału jest $3$, a kresem górnym $4$. Zobaczmy jak to wygląda dla drugiego fragmentu funkcji $f$.

Obliczamy wartości funkcji na krańcach przedziału. Otrzymujemy $f\left(1\right)=4$ oraz $f\left(3\right)=6$. Dla tego przedziału kresem górnym jest $6$, natomiast kresem dolnym $4$.

Podsumowując zebrane dane zauważmy, że kres dolny funkcji kwadratowej będzie wartością najmniejszą dla całej funkcji $f$ na przedziale $⟨-1,3⟩$. Wartość funkcji liniowej w $f\left(3\right)$ będzie wartością największą dla funkcji $f$.